高中数学联赛培训讲义
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义第一讲《复数》练习
高中数学竞赛第一讲复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(常考知识点归纳汇总)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学联赛培训讲义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。
第一讲 集合、函数、方程例1.集合{x|－1≤log x110<－21，1<x ∈N}的真子集个数为 。
(96年全国高中联赛) 【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2n －1 【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。
练习①.已知集合A ＝{y|2<y<3}，x ＝31log 121＋31log 151，则x 与A 的关系是 。
(83年)②(93年)若M ＝{(x,y)||tg πy|＋sin 2πx ＝0}，N ＝{(x,y)|x 2＋y 2≤2}，则|M ∩N|＝ 。
A. 4B. 5C. 8D. 9 附：|A|表示A 的元素个数 （93年）③若非空集合A ＝{x|2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x|3≤x ≤22}，则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是 。
（98年）例2.f(x) （x ∈R ）是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x 19981，则：f(1998)、 f(17101)、f(15104)由小到大的排列是 。
(98年全国高中联赛)【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间[0,1]，再比大小。
【解】【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。
练习①设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f(x)＝x ，则当x ∈[-2,0]时，f(x)的解析式是 。
(90年)A. f(x)＝x ＋4B. f(x)＝2－xC. f(x)＝3－|x ＋1|D. f(x)＝2＋|x ＋1|②若a>1，b>1，且lg(a ＋b)＝lga ＋lgb ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值 。
(98年) A.等于lg2 B.等于1 C.等于0 D.不是与a 、b 无关的常数③设f(x)是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：f(10＋x)＝f(10－x), f （20－x ）＝－f(20＋x)，则f(x)是 。
(92年) A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数例 3.设x 与y 为实数，满足(x －1)3＋1997(x －1)＝－1，(y －1)3＋1997(y －1)＝1，则x ＋y ＝ 。
（97年全国高中联赛）【分析】构造函数f(t)＝t 3＋1997t ，将两等式变成函数值，再利用函数性质。
【解】【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。
练习①已知方程|x －2n|＝k x （n ∈N ）在区间(2n －1，2n ＋1)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
(95年) A. k>0 B. 0<k ≤121+n C.121+n <k ≤121+n D.以上都不正确 ②用[x]表示不大于实数x 的最大整数。
方程lg 2x －[lgx]－2＝0的实根个数是 。
(95年)③设函数y ＝f(x)对一切实数x 都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且方程f(x)＝0恰有6个不同的根，则这6个实根的和为 。
（91年）第二讲 三角变换、三角不等式例1.设x ∈(－21,0)，以下三数a ＝cos(sinx π)、b ＝sin(cosx π)、c ＝cos(x ＋1)π的大小关系是(96年全国高中联赛)A. c<b<aB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a 【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。
【解】【小结】比大小，可以先与0、1比较，先后利用函数单调性、比较法等。
也可特值法。
练习①.已知0<b<1，0<a<4π，则下列三数x ＝(sin α)αcos log b 、y ＝(cos α)αcos log b 、z ＝(sin α)αsin log b 的从小到大排列为 。
（94年）②.设α∈(4π,2π)，则(cos α)αcos 、 (sin α)αcos 、 (cos α)αsin 从小到大的排列为 。
（90年）③.四个数log 1sin cos1、log 1sin tg1、log 1cos sin1、log 1cos tg1从小到大的排列为 。
（95年）例2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若c －a 等于AC 边上的高h,则sin 2AC -＋cos2AC +的值等于 。
(9年全国高中联赛) 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，通过三角变换解决问题。
【解】【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。
练习①. cos 210°＋cos 250°－sin40°sin80°＝ 。
（91年）②.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，已知三内角成等差数列，且c －a 等于AC 边上的高h,则sin 2AC -的值等于 。
（91年）③. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c (b ≠1)，且A C 、ABsin sin 都是方程log b x ＝log b (4x－4)的根，则△ABC 。
（92年）A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形例3.设x ≥y ≥z ≥12π，且x ＋y ＋z ＝2π，求cosxsinycosz 的最大值和最小值。
(97年)【解】【小结】积化和差；放缩法。
练习①.已知0<θ<π，则sin 2ϑ（1＋cos θ）的最大值是 。
(94年)②.已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋4 (a 、b 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)＝ 。
A. –5 B.–3 C. 3 D.随a 、b 取不同值而取不同值 (93年)③.设a 、b 、c 是实数，那么对任意实数x ，不等式asinx ＋bcosx ＋c>0都成立的充要条件是 。
(94年)A. a 与b 同时为0，且c>0B. 22b a +＝cC. 22b a +<cD. 22b a +>c④.已知x 、y ∈[－4π,4π]，a ∈R ，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，则cos(x ＋2y)＝ 。
（提示：构造函数法） （94年）第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{a n }首项a 1＝1536,公比q ＝－21。
用πn 表示它的前n 项之积，则πn （n ∈N ）最大是 。
A. π9 B. π11 C. π12 D. π13 (96年全国高中联赛)【分析】先求出πn的表达式，再讨论该式的最大值问题。
【解】【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。
练习①.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么1234a a b b --＝ 。
（88年）②. 设x,y,z 是实数，3x 、4y 、5z 成等比数列，且x 1、y 1、z 1成等差数列，则z x ＋xz的值是 。
（92年）③.设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项之和。
则S n (n ∈N)中最大的是 。
A. S 10 B. S 11 C. S 20 D. S 21 (95年)例2.已知数列{a n }满足3a 1+n ＋a n ＝4 (n ≥1)，且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1251的最小整数n 是 。
（94年全国高中联赛） 【分析】先求S n【解】【小结】构造法。
数列前n 项和公式。
练习①.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有 。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (97年)②.对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n)x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点间距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 1992B 1992|＝ 。
(92年)③.一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。
(89年)例3.设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，… 满足2-n n a a －21--n n a a ＝2a 1-n （n ≥2），且a 0＝a 1＝1，求a 100/ a 99的值。
【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。
【解】【小结】构造法。
练习①.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n 组有(2n －1)个奇数进行分组：第一组{1}、第二组{3,5,7}、第三组{9,11,13,15,17}、…。
则1991位于第 组中。
（91年）②. 已知数列{x n }满足x 1+n ＝x n －x 1-n (n ≥2)，x 1＝a ，x 2＝b ，记S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n 。
则下列结论正确的是 。
（97年）A. x 100＝－a ， S 100＝2b －aB. x 100＝－b ， S 100＝2b －aC. x 100＝－b ， S 100＝b －a B. x 100＝－a ， S 100＝b －a ③.已知集合M ＝{x,xy,lg(xy)}，N ＝{0,|x|,y}，并且M ＝N ，那么(x ＋y 1)＋（x 2＋21y ）＋（x 3＋31y）＋…＋（x 2001＋20011y）的值等于 。
（87年）第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{a n } (96年全国高中联赛) 【分析】【解】 【小结】 练习①.②. ③. 例2. 【分析】 【解】 【小结】 练习①.②. ③.例3.【解】 【小结】 练习①.②. ③.第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{a n } (96年全国高中联赛) 【分析】 【解】 【小结】 练习①.②. ③. 例2. 【分析】 【解】 【小结】 练习①.②. ③.例3. 【解】 【小结】 练习①.②. ③.2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试(2001年10月14日 8:00—9:40)一、选择题(每小题6分，满分36分) 1. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R}的子集的个数为( ) 2. A.1B.2C.4D.不确定3. 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；4. 命题2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；5. 命题1 长方体中，必存在到各面离相等的点；6. 以上三个命题中正确的有( )7. A.0个B.1个C.2个D.3个8. 在四个函数y ＝sin|x|，y ＝cos|x|，y ＝|ctgx|，y ＝lg|sinx|中以π为周期、在(0，2)上单调递增的偶函数是( ) 9.A.y ＝sin|x|B.y ＝cos|x|C.y ＝|ctgx|D.y ＝lg|sinx|10. 如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) 11. A.k ＝83B.0＜k ≤12C.k ≥12D. 0＜k ≤12或k ＝8312. 若(1＋x ＋x 2)1000的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋……＋a 2000x 2000，则a 0＋a 3＋a 6＋a 9＋……＋a 1998的值为( ) 13. A.3333B.3666C.3999D.3200114. 已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( ) 15. A.2枝玫瑰花价格高 B.3枝康乃馨价格高 16. C.价格相同D.不确定二、填空题(每小题9分，满分54分)17. 椭圆ρ＝θ-cos 21的短轴长等于______________.18. 若复数z 1，z 2满足|z 1|＝2，|z 2|＝3，3z 1－2z 2＝23－i ，则z 1z 2＝_____________. 19. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是_____________. 20. 不等式232x log 121>+的解集为________________. 21. 函数y ＝x ＋2x 3x 2+-的值域为_______________.22. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块种种植一种植物，相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案.三、解答题(每小题20分，满分60分)23. 设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1＝a 12， b 2＝a 22， b 3＝a 32(a 1＜a 2)，又 ∞→n lim (b 1＋b 2＋……＋b n )＝2＋1，试求{a n }的首项与公差.24. 设曲线C 1：222y ax +＝1(a 为正常数)与C 2：y 2＝2(x ＋m)在x 轴上方仅有一个公共点P25. (1)求实数m 的取值范围(用a 表示)26. (2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0＜a ＜21时，试求△OAP 的面积的最大值(用a 表示) 27. 用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6(a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞a 6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小证明你的结论.。