2017-2018学年高二3月月考数学(文)试卷

2017-2018学年下学期3月月考卷高二文科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

)1.在数列55,,1,1x中，x等于（）,8,5,3,2,,3421A.11B.12C.13D.142.从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是（）A. B. C. D.3.如图，程序执行后的结果是（）A.3，5B.5，3C.5，5D.3，34.设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下面不等式中正确的是（）A.b﹣a＞0B.+＜0C.b+a＜0D.﹣＞05.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示平面区域的面积等于2，则a的值为（）A.-5B.1C.2D.36.已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A.6B.-3C.-12D.-67.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若c=2a ，bsinB ﹣asinA=asinC ，则sinB 等于（ ）A. B. C. D.8.数列{a n }满足()1121nn n a a n ++-=-，则{a n }的前60项和为（ ） A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 18309.已知点（n ，a n ）在函数y=2x ﹣13的图象上，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为（ ）A.36B.﹣36C.6D.﹣610.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且asinA ﹣csinC=（a ﹣b ）sinB ，c=3．则△ABC 面积的最大值为（ ）A. B. C. D.11.已知 ，且满足 ，那么 的最小值为（ ）A.B.C.D.12.已知S n 是等差数列{a n }（n ∈N *）的前n 项和，且S 5＞S 6＞S 4 ， 以下有四个命题：①数列{a n }中的最大项为S 10；②数列{a n }的公差d ＜0； ③S 10＞0；④S 11＜0；其中正确的序号是（ ）A.②③B.②③④C.②④D.①③④第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

)13.在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 sinA+cosA=2，a=3，C=，则b= ．14.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A ，B 两点的距离为 m ．15.函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 中， 1111,n n n n a a a a a ++=-⋅=-，则n a =_________。

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。

) 17. (10分)已知各项均为正数的数列{a n }满足a n+2+2=4a n+1﹣a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=4． 证明：数列{}是等差数列18. (12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足 =，=3．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）若b+c=6，求a 的值．19. (12分)已知函数()()cos (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2co s a B C =，求sin 2A f C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.20. (12分)已知数列{a n }满足3（n+1）a n =na n+1（n ∈N *），且a 1=3， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ；（3）若=，求证： ≤ + +…+＜1．21. (12分)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为cos ac B ，BC 的中点为D ．(Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 若2c =， sin 5sin a A c C =，求AD 的长．22. (12分)有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[)[)[]70,80,80,90,90,100中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[]80,100的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[)80,90中的概率参考答案1.C【解析】数列规律为21++=+n n n a a a ，所以218=+x ，解得：13=x ，故选C. 2.C【解析】因为的子集有：共8个（也可用公式计算的子集数：， 其中3表示集合中元素的个数），而集合的子集有：共4个，故所求的概率为 ， 故选C. 3.C【解析】由程序语句知：执行A=5， B=5， ∴输出5，5． 故选：C ． 4.D【解析】4.∵a﹣|b|＞0，∴a＞|b|，∴a 2＞b 2 ， 即a 2﹣b 2＞0． 故选D ． 5.D【解析】设直线与轴、轴分别交于点， 则.直线过点且与轴垂直，直线的过定点.依题意，该不等式组表示的平面区域即直线右上方、直线左方以及直线下方的区域，设直线与直线交于点C ，则点C必在点A 上方，又该平面区域的面积等于2，点B 到AC 的距离为1，所以AC=4，即C（1，4），代入直线方程中，得的值为3.6.D【解析】根据已知条件，由于数列，，，且有，将因此可知因此可知数列是有周期性的，并且数列的第五项为-6，故选D.7.A【解析】∵bsinB﹣asinA= asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2= ，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣ =3a2，∴利用余弦定理可得：cosB= = = ，∴由于0＜B＜π，解得：sinB= = = ．故答案为：A．8.D【解析】∵a n+1+(-1)n a n=2n-1,∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1①当n=2k+1(k∈N)时,a2k+2-a2k+1=4k+1②①+②得:a2k+a2k+2=8k.则a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 60=(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+…+(a 58+a 60)=8(1+3+…+29)=8×()151292⨯+=1800.由②得a 2k+1=a 2k+2-(4k+1),所以a 1+a 3+a 5+…+a 59=a 2+a 4+…+a 60-*4×(0+1+2+…+29)+30+=1800-(4×30292⨯+30)=30, ∴a 1+a 2+…+a 60=1800+30=1830. 9.B【解析】∵点（n ，a n ）在函数y=2x ﹣13的图象上，则a n =2n ﹣13，a 1=﹣11=n 2﹣12n∵n∈N + ， ∴当n=6时，S n 取得最小值为﹣36． 故选：B点（n ，a n ）在函数y=2x ﹣13的图象上，的a n =2n ﹣13，a 1=﹣11，=n 2﹣12n 10.D【解析】∵asinA﹣csinC=（a ﹣b ）sinB ，由正弦定理 ，得a 2=（a ﹣b ）b+c 2，即a 2+b 2﹣c 2=ab ．① 由余弦定理得cosC= = ，结合0＜C ＜π，得C= ． ∵c=3，∴由余弦定理可得：9=a 2+b 2﹣ab≥2ab﹣ab=ab ，当且仅当a=b 等号成立，∴S △ABC = ≤ = ，即△ABC 面积的最大值为 ．故选：D ． 11.C【解析】依题意 . 故答案为：C12.B【解析】∵S 5＞S 6＞S 4，∴a 6＜0，a 5+a 6＞0，a 5＞0，∴d＜0，数列{a n }中的最大项为S 5． S 10==5（a 5+a 6）＞0，S 11==11a 6＜0．因此只有②③④正确． 故答案为：B ．先根据S 5＞S 6＞S 4判断相应项的正负，再利用等差数列前n 项和的特点判断S 10与S 11的大小. 13.【解析】∵sinA+cosA=2，∴2sin（A+ ）=2，即sin （A+ ）=1，∵A∈ ，∴（A+ ）∈，∴A+ = ，解得A= ．∴B=﹣ = ，在△ABC 中，则b= = = ．故答案为：．sinA+cosA=2，化为2sin （A+ ）=2，解得A ，再利用正弦定理即可得出． 14.50【解析】在△ABC 中，∵∠ACB=45°，∠CAB=105° ∴∠B=30°由正弦定理可得：∴=50 m故答案为：50先利用三角形的内角和求出∠B=30°，再利用正弦定理，即可得出结论． 15.5【解析】因为1x > ，所以10x -> ，函数()441+11511y x x x x =+=-+≥=-- ，当且仅当411x x -=- ，即3x = 时等号成立． 16.1n-【解析】11n n n n a a a a ++⋅=-变形为1111n n a a +-=- 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为1-，公差1d =-，所以通项为11n n n a a n=-∴=- 考点：数列递推公式求通项公式17.解：∵且a n ＞0，∴(+)2=(2)2 ，∴+=2， ∴{}是首项为=1，公差为-=1的等差数列．【解析】通过已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中项形式，判断数列是等差数列．18.解：（Ⅰ）因为，∴ ，又由=3，得bccosA=3，∴bc=5，∴（Ⅱ）对于bc=5，又b+c=6， ∴b=5，c=1或b=1，c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=20，∴【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式利用 = 求得cosA ，进而求得sinA ，进而根据=3求得bc 的值，进而根据三角形面积公式求得答案．（Ⅱ）根据bc 和b+c 的值求得b 和c ，进而根据余弦定理求得a 的值．19.（Ⅰ）()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（Ⅱ）(]0,3.【解析】（I ）利用函数的图象，求出A ，通过函数的周期求出ω，通过函数的图象经过 26π（，），求出φ，即可解出函数f （x ）的解析式；（II ）利用()2cos cos a B C -=，结合正弦定理，求出cosB ，利用函数的解析式求sin 2A f C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围．解（Ⅰ）由图像知， 22,236A T πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴22T πω==， 由图像可知， 26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2cos 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴cos 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴23k πϕπ+=， 又∵2πϕ<， ∴3πϕ=-， ∴()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）依题设， ()2cos cos a B C =，∴()2sin cos cos A C B B C -=，即)2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+ ()B C A =+=，∴cos B =， 又()0,B π∈， ∴6B π=. ∴56A C π+=.由（Ⅰ）知， 5sin 2cos sin cos sin 236A f C A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos cos 3sin 226A A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，又∵50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴,66A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴(]sin 0,16A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 2A f C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是(]0,3. 20.（1）解：∵数列{a n }满足3（n+1）a n =na n+1（n∈N *），且a 1=3，∴ = ，∴a n = •…• =3n ﹣1• … • ×3=n•3n （2）解：数列{a n }的前n 项和S n =3+2×32+3×33+…+n•3n ，3S n =32+2×33+…+（n ﹣1）•3n +n•3n+1，∴﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n•3n+1=﹣n•3n+1， ∴S n = ×3n+1+（3）证明： =，∴ = = = ﹣． ∴ + +…+ =+ +…+ =1﹣ ∈ ． ∴ ≤ + +…+ ＜1【解析】（1）数列{a n }满足3（n+1）a n =na n+1（n∈N *），且a 1=3，可得 = ，利用“累乘求积”方法即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（3） =，可得 = = =﹣．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．21.（1） (2)【解析】（I ）根据三角形面积公式得11sin cos ,sin cos ,224ac B ac B B B B π===，所以cos 2B =.（II ）用正弦定理化简sin 5sin a A cC =，得225a c =，由此求得,a BD 的值，利用余弦定理可求得AD 的值.解： (Ⅰ) 由1sin cos 2ABC S ac B ac B ∆==，得sin 2cos B B =，①∵0B π<< ∴sin 0B > 故cos 0B >，又22sin cos 1B B +=，②①代入②得21cos5B =，∴cos B = (Ⅱ)由sin 5sin a A c C =及正弦定理得225a c =，∵2c =，∴a = 12BD a ==， 在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 4525AD c BD BD c B =+-⋅⋅=+-=，∴AD =．22.（Ⅰ）0.005m =（Ⅱ）6，4，2（Ⅲ）25【解析】（Ⅰ）由题意()10234561m m m m m ⨯++++=， 0.005m =（Ⅱ）成绩落在[)70,80中的学生人数为20100.036⨯⨯=，成绩落在[)80,90中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[]90,100中的学生人数20100.012⨯⨯=.（Ⅲ）设落在[)80,90中的学生为1234,,,a a a a ，落在[]90,100中的学生为12,b b ， 写出所有事件，则可知基本事件个数为15n =， 而设A ＝“此2人的成绩都在[)80,90”，则事件A 包含的基本事件数6m =，所以事件A 发生概率()62155m P A n === 试题解析：（Ⅰ）由题意()10234561m m m m m ⨯++++=， 0.005m =. （Ⅱ）成绩落在[)70,80中的学生人数为20100.036⨯⨯=，成绩落在[)80,90中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[]90,100中的学生人数20100.012⨯⨯=. …（Ⅲ）设落在[)80,90中的学生为1234,,,a a a a ，落在[]90,100中的学生为12,b b ， 则{}1121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb Ω=， 基本事件个数为15n =设A ＝“此2人的成绩都在[)80,90”，则事件A 包含的基本事件数6m =，所以事件A 发生概率()62155m P A n ===。