高二数学3月月考试题 理2

山东省济宁市曲阜市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理

说明： 1、本卷答题时间为 120分钟；

2、本试卷分为试卷和答题卷，请将答案答在“答题卷”上。

一、选择题（本题共10题，每题5分,共50分） 1. 函数y=(2x ＋1)3在x=0处的导数是 （ ） A.0

B.1

C.3

D.6

2.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：2

0a >，那么这个演绎推理

出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程

D ．没有出错

3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）

A.假设至少有一个钝角 B ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

C.假设没有一个钝角 D ．假设至少有两个钝角

4.直线32+=x y 与抛物线2

x y =所围成的图形面积是 （ ）

A ．20

B ．328

C ．332

D ． 343

5若函数

32

()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)

3+∞ D.

1

(,]3-∞ 6现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515

211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比“若数列{}n

b

为等比数列，则有

1515

215

1076b b b b b b ??=?? 成立”，则得出的两个结论( )

A ． 都正确

B ． 只有②正确

C ．只有①正确

D ． 都不正确 7.函数x x y ln =的单调递减区间是

（ ）

A 、（1

-e ，+∞）

B 、（－∞，1

-e ） C 、 （e ，+∞） D 、（0，1

-e ）

8.设曲线

1*

()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n

x x x ???的值

为( )

A ． 1

n B ． 1n n + C ． 1

1n +

D ． 1

9．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，

则导函数y=f

(x)可能为（ ）

10.设()f x 是R 上的可导函数，且满足()()f x f x >'，对任意的正实数a ，下列不等式恒成立的是( )

x

y

O A

x

y

O B

x

y

O C

x

y

O D

x

y

O

A ．()(0)a f a e f <

B ． ()(0)a

f a e f > C ．

(0)()a f f a e <

D ．

(0)()a f f a e >

二、填空题（本题共5个题，每题5分，共25分）

11.函数

sin x

y x =

的导数为_________________

12设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π???

???，，

则点P 横坐标的取值范围为 _________________ 13设函数

f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2

2k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是

_________________

14已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1

n ＝2?

????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k(k≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立

15.已知()f x 为定义在(0，+∞)上的可导函数，且()'()f x x f x >，则不等式2

1

()()0x

f f x x

-<的解集为___________．

三、解答题（本题共6个答题，共75分）

16．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．

17．证明：

(1)如果a ，b>0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b

2；

(2)6＋10>23＋2.

18、已知

322

()3(1)f x x ax bx a a =+++>在x =-1时有极值0。

（1）求常数 ,a b 的值； （2）求f x ()的单调区间。

（3）方程()f x c =在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数c 的范围。

19. 如图，设铁路AB 长为50，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小？

20. （13分）已知函数

1()ln x

f x x ax -=

+

(1）若函数()f x 在[1,+∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围； (2）当1a =时，求()f x 在[1,e e

]上的最大值和最小值.

A

B C

M

21．已知函数)0(2ln )(2

≠++

=a x x

a x a x f 。

（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 垂直，求实数a 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调性；

（3）当)0,(-∞∈a 时，记函数)(x f 的最小值为)(a g ，求证：2

2

1)(e a g ≤ ．

答案

一选择题DADCC ADCDB 二填空题 11.

2

1

cos x x - 12. [-1，-12] 13. k ≤1

2

14. k+2 15. (0,1)

16抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面

积S ＝???0

1(x －x 2)d x ＝

???? ????x 22－x 3310＝12－13＝1

6. 又?????

y ＝x －x 2，

y ＝kx ，

由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以

S 2＝???0

1-k (x －x 2－kx)d x ＝

???? ????1－k 2x 2－x 3

31－k 0＝16(1－k)3.又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－3

4

2.

17【证明】 (1)当a ，b>0时，有a ＋b 2≥

ab ，

∴lg a ＋b 2

≥lg

ab ，

∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.

(2)要证6＋10>2

3＋2， 只要证(6＋

10)2>(2

3＋2)2，

即2

60>248，这是显然成立的，

所以，原不等式成立．

18、解：（1）

f x x ax b '()=++362

，由题知： f f a b a b a '()()-=-=????-+=<>-+-+=<>???1010360113022

………………2分

联立<1>、<2>有：a b ==???13（舍去）或a b ==???29 ………………4分

（2）当a b ==29，时，()()f x x x x x '()=++=++31293312

故方程f x '()=0有根x =-3或x =-1 ……………………6分

x

()-∞-，3

-3

()--31，

-1

()-+∞1，

f x '() ＋ 0 － 0 ＋ f x ()

↑

极大值

↓

极小值

↑

由表可见，当x =-1时，f x ()有极小值0，故a b ==??

?

2

9符合题意 ……8分 由上表可知：f x ()的减函数区间为()

--31

，

f x ()的增函数区间为()-∞-，3或()

-+∞1， ………………10分

（3）因为(4)0,(3)4,(1)1,(0)4f f f f -=-=-=-= ，

由数形结合可得04c <<。 ……12分

19.解：(1)依题，铁路AM 上的运费为2（50－x ），公路MC 上的运费为2

4100x +，则由A 到C

的总运费为

2

2(50)4100(050)y x x x =-++ ≤≤ …………………………… 6分 （2）

2

2(050)

100y x x '=-+

≤≤+，令0y '=，解得

1,3

x =

23x =-

（舍）……9分 当

03x ≤<

时，0y '<，y

；当

503x ≥>

时，0y '>，y

故当

3x =

时，y 取得最小值.

20. 解： 【答案】（1）由已知得'21

()(0)ax x a ax -=

?> …1分

依题意得：

2

1

0ax ax -≥对一切的x ≥1 都成立

即10[1,)ax -≥∈+对一切x ∞恒成立，也就是1

[1,)a x

≥∈+对一切x ∞ 恒成立,∴max 1()1a x

≥=

(2）当'

211

1(),[,]x a f x x e x e

-==

∈时， 若1[,1)x e

∈则'()0,f x <若(1,]x e ∈则'

()0f x >故1x =是()f x 在区间

1

[,]e e

上的惟一极小值点，也是最小值点，故min ()(1)0f x f ==；

1111()2,()22

f e f e e e =-=><，∴ ()f x 在 1

[,]e e 上最大值为e-2

综上知函数()f x 区间 1

[,]e e

上最大值是e-2,最小值是0

21．（1）由已知得，)(x f 的定义域为}

0|{>x x ，)0(12)('22

>+-=x x

a x a x f . 根据题意，有2

)1('-=f ，即0322

=--a a ， 解得1-

=a 或2

3

=a .……………………………………………………4分 （2）)0()2)((212)('2

22

222>+-=-+=+-=x x

a x a x x a ax x x a x a x f . （i ）当0>a 时，由0)('>x f 及0>x 得a x >；由0)('x 得a x <<0. 所以当0>a 时，函数)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在（a ,0）上单调递减.

（ii ）当0x f 及0>x 得a x 2->；由0)('x 得a x 20

-<<. 所以当0

故a a a a a

a

a a a f a g 3)2ln(222)2ln()2()(2

--=--+-=-=.

2)2ln(322)2ln()('--=---?+-=a a

a a a g ，令0)('=a g ，得221

e a -=.

当a 变化时，)('a g ，)(a g 的变化情况如下表：