第6章 连续时间信号与系统的复频域分析

f(t)
f(t)
信号与系统
t
e at u(t ) 1
a j
t
指数增长信号怎么办？
如果系统的h(t)不衰减，导致 H ( j )不存在，如何进 行变换域的分析？
信号与系统
Ch6 连续时间信号和系统的复频域分析
本章内容：
拉普拉斯变换及反变换 系统的复频域分析 系统函数H(s)
重点：
求解系统响应y(t) 系统函数及其系统特性分析
右边信号的收敛域是收敛轴右边平面收敛； 左边信号的收敛域是收敛轴左边平面收敛； 双边信号的收敛域是带状收敛。
收敛域不包含收敛轴，即不包含极点。
二、LT的收敛域
小结：
a)无ROC，LT不存在
b)f(t)为有限时间信号且绝对可积，整个复平面 ROC :
c)部分复平面
右边信号，ROC位于收敛轴的右侧平面。Re{s} c 左边信号，ROC位于收敛轴的左侧平面。Re{s} c 双边信号，ROC是一条带状区域。 c1 Re{s} c2
再进行Fourier变换。
4
§6.1 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换（LT）
F (s) f (t )estdt
f (t ) 1 j F (s)estds
2 j j
£[ f (t)]
拉普拉斯变换
£1[F (s)]
LT
f (t)F (s)
原函数
象函数
二、LT的收敛域(Region of Convergence 记作ROC)
s j
j
u(t)
1 R e [ s ] 0 ( ) 1 X ( j ) X ( s )
s
j
s j
eat u(t ) a0
j
1 Re[s] a
sa
不存在
§6.2 LT与FT关系
结论：
(1) 当F(s)收敛域包含虚轴时，拉氏变换和傅氏变换都存在
F ( j ) F ( s ) s j
如单边指数衰减信号 f ( t ) e at u ( t ), a 0
6
§6.1 拉普拉斯变换
二、LT的收敛域(Region of Convergence 记作ROC) 1. ROC定义
满足 lim f (t)et 0 的σ范围，即 Re[s] 的范围， t
称为LT的ROC。 2. 确定ROC
当lim f (t)et 0时，求出σ，即 Re[s]的范围 t
7
3
Ch6 连续时间信号和系统的复频域分析
§6.1 拉普拉斯变换 (Laplace Transform记作LT)
一、拉普拉斯变换（LT）
F (
j )＝
f
(t) e
jt dt
f (t)
1
F ( j ) e jtd
2
若f (t )不满足绝对可积条件，则按如下办法：
将f (t ) e t，选择合适的，使f (t ) e t满足绝对可积条件，
s2
s
02
,Re[s]
0
sin(0t )u(t )
s2
0 02
,Re[s]
0
u(t) 1 s
RO C：Re[ s] 0
t nu(t )
n! sn1
(2) 冲激信号 ( t )
(t) 1
四、常用信号的（单边）LT
Re[s]
(3) 如信号e t 2 , t t , e e t 等，增长过快, 不存在拉氏变换
f (t ) 1 j F ( s)e st ds
2 j j
s j
f(t)的拉氏变换是 f ( t )e t 的傅氏变换 f(t)的傅氏变换是σ=0的拉氏变换
信号
eat u(t ) a0
LT ROC
FT
j
1 sa
Re[s] a
1
j a
§6.2 LT与FT关系
关系 X ( j ) X ( s )
超指数信号
常见信号大都为指数阶函数，总能找到合适的值使其收 敛，故常见信号的单边拉氏变换总是存在的。
Ch6 连续时间信号和系统的复频域分析
§6.2 LT与FT关系
F ( j ) f (t )e jtdt
f (t ) 1 F ( j )e jtd
2
F (s) f (t )e st dt
课程内容和方法
确定性信号 研究对象 研究内容
信号与系统
研究方法
连续时间信号 离散时间信号 连续时间系统 离散时间系统
LTI系统
信号 系统
信号描述 特性分析 信号运算
系统描述 特性分析 响应求解
信号处理
时域分析方法 频域分析方法 复频域分析方法 Z域分析方法
1
CTFT：
F ( j )
f ( t ) e j t dt
§6.1 拉普拉斯变换
四、常用信号的（单边）LT
(1) 复指数信号 f ( t ) e s0t u ( t )
e s0t u(t )
1 s s0
,Re[s]
Re[s0 ]
eatu(t) 1
Re[s] a e j0t u(t ) 1
Re[s] 0
sa
s j0
cos(0t )u(t )
d)因果与反因果信号的关系
因果信号，ROC位于收敛轴的右侧平面，
反因果信号，ROC位于收敛轴的左侧平面。
例如：
e at u(t ) e at u( t )
Re[s] Re[s]
a
a
1 sa
10
§6.1 拉普拉斯变换
三、单边拉氏变换
若：t 0, f (t ) 0或f (t) f (t) u(t)
例4：有限长信号
f (t ) G (t )
当 a b时 ， F (s) a b , a b； (s a)(s b)
否则，拉氏变换不存在。
X
(s)
1
1 s
(e 2
1 s
e2 )
Re[s] -
8
s
二、LT的收敛域
j
j
j
极点
a× 0
收敛轴
0
× a
× a
0
× b
右边信号的ROC 左边信号的ROC 双边信号的ROC
F
(s)
0－
f (t ) estdt
则：
f
(t
)
1
2
j
j F (s) estds ，t 0
j
0
，t 0
单边Laplace变换
单边拉氏变换
￡[f (t)] F (s)
0
f (t)e stdt
双边拉氏变换
￡ [ f (t)] FB (s)
f (t)e stdt
单边LT，若存在，其收敛域位于收敛轴的右侧平面，即 c
二、LT的收敛域
求下列信号的拉氏变换 例1： f ( t ) e at u( t )
例2： f ( t ) e at u ( t )
eatu t 1
sa
Re[s] a
eatu t 1
sa
例3：双边信号
e at
fΒιβλιοθήκη Baidu
(t
)
e
bt
Re[s] a
t 0 eatu(t ) ebtu(t ) t0