巧用复数运算求一类函数迭代式
高考数学中的复数方程与不等式求解技巧
高考数学中的复数方程与不等式求解技巧在高考数学考试中，复数方程与不等式求解是一个重要的考点。
掌握了这些求解技巧，可以帮助考生更好地解题，提高数学成绩。
本文将介绍一些常见的复数方程与不等式求解技巧，帮助考生更好地应对高考数学考试。
一、复数方程的求解技巧1. 一元复数方程求解技巧对于一元复数方程，一般可以采用以下的求解思路：（1）观察方程，确定是否存在虚根，即方程中是否含有负数的平方根。
（2）如果存在虚根，可以转化为求解实系数方程。
将复数解表示为实数解的形式，然后联立相关实系数方程，利用常规的代数方法求解。
（3）如果方程中只存在实根，直接使用求解实数方程的方法进行求解即可。
2. 复数方程组的求解技巧对于复数方程组，可以利用以下的技巧进行求解：（1）将复数表示为实部与虚部的形式，然后联立相关的实系数方程组。
（2）利用方程组的性质，使用消元法、代入法等方法求解。
（3）在方程组求解过程中，注意虚部的运算规则，以免出现计算错误。
二、复数不等式的求解技巧1. 一元复数不等式求解技巧对于一元复数不等式，可以采用以下的求解思路：（1）观察不等式的性质，判断是否存在虚解。
如果存在虚解，可以转化为求解实系数不等式。
（2）利用复数的模表示法，进行运算，并结合不等式性质进行推导和求解。
2. 复数不等式组的求解技巧对于复数不等式组，可以利用以下的技巧进行求解：（1）将复数表示为实部与虚部的形式，然后联立相关的实系数不等式组。
（2）利用不等式组的性质，使用消元法、代入法等方法求解。
（3）在不等式组求解过程中，注意虚部的运算规则，并合理利用不等式的性质进行推导和求解。
三、应对高考中的复数方程与不等式求解题目的技巧1. 理解问题在解决复数方程与不等式问题时，首先要对问题进行仔细的理解和分析。
理解问题的关键点，确定所求的未知数以及方程或不等式的条件，这对于后面的解题过程非常重要。
2. 总结规律通过大量的练习和复习，总结复数方程与不等式求解的常见规律和技巧，这将帮助考生在解题过程中更快、更准确地找到解法和答案。
如何在高考数学中用复数和一些数学工具来解决问题
如何在高考数学中用复数和一些数学工具来解决问题高考数学是每位学生都必须要面对的科目，其中更是让许多学生感到头痛的便是数学中关于复数的问题解决。
然而，如果我们掌握了正确的方法、学会了运用一些数学工具，就能够在高考数学中轻松地处理涉及到复数的问题。
1. 深入理解复数复数是数学中的一类特殊数，由实部和虚部组成，常用符号为a+bi（a, b 为实数，i 为虚数单位，i²=-1）。
在高考数学中，我们需要掌握复数的基本概念、运算法则以及各种定理，以便可以对复数进行正确的加减乘除和求解等操作。
2. 运用复数求解三角函数在高中数学中的三角函数，我们经常需要用到角度π/3、π/4、π/6等，这些角度的正弦、余弦、正切等值都很难直接计算，但是通过引入复数和欧拉公式，就可以用复数来表示代数运算中求不可解的三角函数了。
比如，sinx=(eˆix-e^(-ix))/2i, cosx=(eˆix+e^(-ix))/2，tanx=(eˆix-e^(-ix))/i(eˆix+e^(-ix))。
3. 利用解析几何解析化简式子解析几何中的坐标系，是让我们可以直观地理解几何图形变换的重要工具，同时也可以方便解决各种计算题目。
即使涉及到复数，通过将数据以坐标的形式表示，再用复数的运算法则，就可以将原先复杂的式子转换为简化的坐标形式。
4. 用矩阵和向量优化问题矩阵和向量都是线性代数的重要学科内容，是数学中非常重要的概念。
在高考数学中，运用矩阵和向量处理问题，可以让复杂的数学问题变得简单，并且可以方便我们将数学问题的计算复杂度降到最低，提高解决问题的效率。
5. 应用数学软件进行计算数学软件可以帮助我们快速准确地解决数学问题，比如Matlab、Mathematica、Maple等软件，这些软件都能够对于复杂的数学问题进行计算，可以帮助我们提高数学的学习效果。
总之，我们需要学会运用复数和一些数学工具来解决高考数学中的问题，这些方法并不是很难，只需要将数学知识和计算工具相结合，就能够轻松解决各种数学问题，提高自己的数学水平。
巧用复数运算求一类函数迭代式
三
＋ ｉ ） ．
ｃ ｏ ｓ 蠡 ＋ ｉ ｓ ｉ ｎ 蠡 ） （ ｃ 。 ｓ 磊＋ ｉ ｓ ｉ ｎ 磊 ） ： Ｃ Ｏ Ｓ 萎 ＋ ｓ ｉ ｎ 磊 ． 对 应 复 数 （ 口 ｃ 一 ） ＋ （ 口 ｄ ＋ ｂ ｃ ） ｉ ， （
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１ ． 因为复数 ‘ 一１对应 的 Ｈ
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一
Ｈ 一』 ＾ （ ｚ ） ｌ ＾ （ ｚ ） 一 孕 ， ｎ ∈ Ｒ ， ｂ Ｅ Ｒ ｝ ．
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ＺＨ ＯＮＧＸ ＵＥ Ｊ Ｉ ＡＯ ＸＵＥ Ｃ ＡＮ ＫＡＯ
巧 用 复数 运 算 求 一 类 函数 迭 代 式
江 苏省海 门中学 （ ２ ２ ６ １ ０ ０ ） 顾 华
我们经 常会遇到形 如 ＾ （ ｚ ） 一 这里介 绍一种复数解法． 首 先给出定义 ， 把形 如 （ ｚ ） ： ＝ ＝ 一
ｌ ｌ， — — — — — — — 一
一（
一
堡 ±垒
一
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解题技巧如何利用复数的性质解决高中数学问题
解题技巧如何利用复数的性质解决高中数学问题高中数学在解题过程中，常常会遇到一些复杂的问题。
然而，利用复数的性质，我们可以巧妙地解决这些问题。
本文将介绍如何运用复数性质的解题技巧，帮助我们更好地应对高中数学难题。
I. 复数的基本概念复数是由实数和虚数部分组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i表示虚数单位。
复数具有加法、减法、乘法和除法运算，这些运算规则在解题中起到重要作用。
II. 复数与方程在解决某些高中数学方程时，我们可以运用复数的性质来简化计算过程，使解题更加方便。
下面以二次方程为例，介绍如何利用复数解决高中数学问题。
1. 关于复数根的判别式对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，判别式△=b^2-4ac可以用来判断方程的根的性质。
当△<0时，方程的根为共轭复数；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 利用共轭复数性质当一元二次方程的根为共轭复数时，我们可以利用共轭复数的性质简化方程的求解过程。
设方程的一个根为a+bi，则另一个根为a-bi，其中a和b均为实数。
因此，我们可以得出一个重要结论：如果一个一元二次方程的根为共轭复数，那么它的系数必然为实数。
III. 复数与向量在高中数学中，我们经常会遇到关于向量的问题。
而复数与向量有着密切的联系，可以帮助我们更好地解决相关问题。
1. 复数表示向量复数在平面直角坐标系中可以表示为一个有序数对(a,b)，表示复平面上的一个点。
我们可以将复数a+bi看作点(a,b)在平面直角坐标系中的坐标，从而将复数与向量建立起了联系。
2. 利用复数表示向量的运算复数的加、减、乘法运算与向量的加、减、数量积等运算规则相同。
因此，我们可以将复数和向量的运算相互转化，从而解决一些涉及向量的数学问题。
IV. 复数与几何问题利用复数的性质，我们还可以解决一些与几何相关的问题。
下面以坐标系中的旋转问题为例，说明复数在解决几何问题中的应用。
利用复数的运算求解复数方程的解
利用复数的运算求解复数方程的解在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
复数方程是指含有复数的方程，其中未知数是复数。
在解复数方程时，运用复数的运算规则和性质是一种有效的方法。
一、复数的加法和减法复数的加法可以按照实部和虚部分别相加，例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i同理，复数的减法也可以按照实部和虚部分别相减，例如：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i二、复数的乘法复数的乘法可以通过分配律进行计算，例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的性质，i^2 = -1，因此可以化简为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行计算。
共轭复数是指保持实部相同而虚部的符号相反的复数，例如：(a+bi)的共轭复数是(a-bi)因此，对于复数的除法，可以使用以下公式：(a+bi) / (c+di) = (a+bi) * (c-di) / (c+di) * (c-di)根据乘法的规则，化简后可得：(a+bi) / (c+di) = [(a+bi)(c-di)] / (c^2 + d^2)四、利用复数的运算求解复数方程在解复数方程时，首先可以将方程进行整理和化简，将未知数的复数形式展开，然后按照加减法、乘法、除法的运算规则进行求解。
举例说明：解方程：(2+3i)x + (4-5i) = 0首先将方程整理为一元一次复数方程的形式：(2+3i)x = - (4-5i)然后移项得到：x = - (4-5i) / (2+3i)根据复数的除法规则，可以计算出：x = [(4-5i)(2-3i)] / (2^2 + 3^2)化简后得到：x = (-2-23i) / 13因此，该复数方程的解为x = (-2-23i) / 13。
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
在复数范围内解方程
在复数范围内解方程在复数范围内解方程是一种常见的数学问题。
这种问题通常涉及到复数的运算和复数的性质。
下面将介绍如何在复数范围内解方程。
首先，我们需要了解什么是复数。
复数是由实数和虚数组成的数，通常用a+bi 的形式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+4i就是一个复数。
当我们解复数方程时，我们需要将方程中的实数和虚数分别提取出来，然后进行运算。
例如，对于方程x²+2x+5=0，我们可以使用求根公式来求解：x = (-b ±√(b²-4ac)) / 2a其中，a、b、c分别是方程的系数。
将方程中的系数代入公式中，我们可以得到：x = (-2 ±√(-16)) / 2由于√(-16)是虚数，我们需要将其化简为虚数单位i的形式，即√(-16) = 4i。
因此，我们可以得到：x = (-2 ±4i) / 2化简得：x = -1 ±2i因此，方程的解为x=-1+2i或x=-1-2i。
在解复数方程时，我们还需要注意一些特殊情况。
例如，当方程中出现平方项时，我们可以将其化简为虚数单位i的形式，例如：x²+4x+13=0x = (-4 ±√(4²-4*1*13)) / 2化简得：x = (-4 ±2i) / 2x = -2 ±i另外，当方程中出现分式时，我们需要将分式中的分母有理化，例如：(2x+3)/(x-1) = 4+3i2x+3 = (4+3i)(x-1)化简得：x = (1+3i)/2 或x = (-5-i)/2总之，在解复数方程时，我们需要将实数和虚数分别提取出来，然后进行运算，最后将结果化简为虚数单位i的形式。
数学公式知识：复数与方程求解的应用
数学公式知识：复数与方程求解的应用复数是由实部和虚部组成的数，它在解决方程和表示波动等方面有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论复数和方程求解的应用。
一、复数的定义与运算复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，i²=-1。
即i=i*i。
复数的加法和减法与实数类似，直接对实部和虚部分别进行加减运算。
如(z1+z2)=(a1+a2)+(b1+b2)i，(z1-z2)=(a1-a2)+(b1-b2)i。
复数的乘法可以用分配律进行展开，如(z1*z2)=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
而复数的除法需要进行有理化，首先将分母分子分别乘以分母的共轭形式，即(z1/z2)=(a1*a2+b1*b2)/(a2²+b2²)+(a2*b1-a1*b2)/(a2²+b2²)i。
二、方程求解复数在求解方程中有着较大的应用，特别是对于二次方程，如果其判别式小于0，则无实数解，但可以用复数解来表示。
例如，对于方程x²+2x+5=0，其判别式为Δ=4-20i，显然无实数解。
但可以用公式x1=(-2+i√(- Δ))/2，x2=(-2-i√(-Δ))/2来求解它的复数解，其中√(-Δ)就是虚数单位i乘以Δ的平方根。
更进一步，对于高次方程，我们可以根据求根公式（比如求二次方程x²+bx+c的解为x=(-b±√(b²-4ac))/2a的公式）推导出求解复数解的公式，进而求解实数解。
三、波动中的应用在物理学、电子学、通信等领域，复数也有着重要的应用。
例如，在波动理论中，波函数可以用复数表示，即Ψ=Ψr+iΨi，其中Ψr和Ψi分别是波函数的实部和虚部。
根据波动方程，我们可以得到Ψ的偏微分方程，其中含有虚数单位i，因此需要将实部和虚部分别求解再合并。
这种解法称为复数运算。
此外，在信号处理中，我们也常常用到傅里叶变换和傅里叶级数，这些都是复数分析的基础。
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巧用复数运算求一类函数迭代式 江苏省海门中学顾华 邮编226100
在函数中，我们经常会遇到形如a bx b
ax x h +-+=)(型迭代问题，这儿介绍一种复数解法。
首先给出定义，把形如a
bx b
ax x h +-+=)(函数组成的集合记为H ，即
.,,)()(⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+-+==R b R a a bx b ax x h x h H
引例 若,)(),(21H x h x h ∈则,))(()),((1221H x h h x h h ∈且))(())((1221x h h x h h =
证明：设,)(,)(21c dx d
cx x h a bx b ax x h +-+=+-+=则
H bd ac x bc ad bc ad x bd ac a c dx d cx b b
c dx
d cx a x h h ∈-++-++-=++-+-++-+⋅=
)()()()())((21 H bd ac x bc ad bc ad x bd ac c
a
bx b ax d d
a bx
b ax
c x h h ∈-++-++-=++-+-++-+⋅=)()()()())((12
且有))(())((1221x h h x h h =。
引例可以推广到任意个H 型函数，即若,)(,),(),(21H x h x h x h n ∈ 则)),(((21x h h h n 且
))),((()))(((21
21x h h h x h h h n n '''= 这里)(),(),(21x h x h x h n ''' 是)(,),(),(21x h x h x h n 的任一个排列。
从引例证明过程中可受到启发：若a bx b ax x h +-+=
)(1对应复数,bi a +c
dx d
cx x h +-+=)(2对
应复数di c +，则)()()()())((21bd ac x bc ad bc ad x bd ac a c
dx d cx b b
c dx
d cx a x h h -++-++-=++-+-++-+⋅
=对应复数
i bc ad bd ac )()(++-，且i bc ad bd ac )()(++-恰好等于它们的乘积).)((di c bi a ++
由此可得到解法如下：
要求由任意个H 型函数迭代式所确定的函数表达式，首先将已知函数所对应的复数写出，然后写出乘积复数所对应的H 型函数即为所求。
例1、已知,322
3)(,414)(,2332)(+-=+-=+-+=
x x x h x x x g x x x f 试求)))((())),(((x h f g x h g f
解：因为,3
22
3)(,414)(,2332)(+-=+-=+-+=
x x x h x x x g x x x f 对应的复数分别为,23,4,32i i i --+且i i i i 853)23)(4)(32(+=--+，写出H 型函数53
88
53+-+x x
所以538853)))(((+-+=
x x x h g f ，由引理可知5388
53)))(((+-+=x x x h f g
例2、已知3
1
3)(+-=x x x f ，求 1986
)))((()(x f f f x g =
解：2
3
2121
23313)(+-
=+-=
x x x x x f 故对应复数为i z 2123-= 所以
1986
)))((()(x f f f x g =故对应复数为1986
19861986
)6sin()6cos()2123(⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡-+-=-=ππi i z =
1)6
1986sin()61986cos(-=-+-
π
πi 因为复数-1对应的H 型函数为,100
x x x =-⋅--所以.)))((()(1986x x f f f x g ==
例3、已知,48
cos
48sin 48sin
48cos
)(,96cos 96sin 96sin
96
cos
)(πππ
π
πππ
π
+-+=+-+=
x x x g x x x f
求
2000
(()(f g f x H =)))(x g
解：因为)(),(x g x f 对应的复数分别为48
sin
48
cos
,96
sin
96
cos π
π
π
π
i i ++
所以))((x g f 所对应的复数为32
sin
32cos
)48sin
48)(cos
96
sin
96
(cos π
π
π
π
π
π
+=++i i
故)(x H 对应的复数为i i i 2
222321000sin 321000cos )32
sin
32
(cos
1000
--=+=+πππ
π
所以11112
2
2222
22)(-+-=---=---
=
x x x x x x x H 。
对高中数学中某些常见问题，如能注重知识的横向联系，寻找数学知识模块间的关联，会有意
料之外的发现！。