2019年广西梧州市中考数学试卷(19)
2019年广西梧州市中考数学试卷附分析答案
B．2x+3x＝5x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故此选项错误；
B、2x+3x＝5x，故此选项错误； C、（2x）2＝4x2，正确； D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选：C．
3．（3 分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）
B．中位数是 105
C．平均数是 101
D．方差是 93
【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，
h ∴众数是 108，中位数为
hh h h h 105，平均数为
101，
方差为 [（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110 ﹣101）2]≈94.3≠93； 故选：D． 11．（3 分）如图，在半径为 的⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，∠DEB＝75°，AB＝6， AE＝1，则 CD 的长是（ ）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分.） 1．（3 分）﹣6 的倒数是（ ）
A．﹣6
B．6
C．
D．
【解答】解：﹣6 的倒数是： ．
故选：C．
2．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．3x﹣x＝3 C．（2x）2＝4x2
B、y ，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；
【中考真题】2019年广西梧州市中考数学真题试卷(附答案)
解：∵
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的知识点是立方根，属于基础题目，易于解决．
14．8
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理求得 ．
【详解】
解：如图，∵ 中， 分别是 、 的中点，
∴ ，
∵ 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：8
【点睛】
考核知识点：三角形中位线定理.活用三角形中位线定理是关键.
∴当天销售单价所在的范围为
（3）∵每件文具利润不超过
∴ ，得
∴文具的销售单价为 ，
由（1）得
∵对称轴为
∴ 在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大
∴当 时，取得最大值，此时
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点睛】
考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.
25．（1） ；（2）见解析.
【详解】
解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
【点睛】
考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.
10．D
【解析】
【分析】
把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．
【详解】
A． B． C． D．
12．已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算： ______．
14．如图，已知在 中， 分别是 、 的中点， 分别是 、 的中点，且 ，则 的长度是_____ ．
广西梧州市2019年中考数学真题试题(含解析)
广西梧州市2019年中考数学真题试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）1．（3分）﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2C．（2x）2＝4x2D．（x+y）2＝x2+y23．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体4．（3分）下列函数中，正比例函数是（）A．y＝﹣8x B．y＝C．y＝8x2D．y＝8x﹣45．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．（3分）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣17．（3分）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°8．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．159．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（）A．众数是108 B．中位数是105C．平均数是101 D．方差是9311．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE ＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．412．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）13．（3分）计算：＝．14．（3分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是cm．15．（3分）化简：﹣a＝．16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．17．（3分）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）19．（6分）计算：﹣5×2+3÷﹣（﹣1）．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣2．21．（6分）解方程：+1＝．22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣上的概率．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．26．（12分）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．2019年广西梧州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）1．【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．故选：C．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故此选项错误；B、2x+3x＝5x，故此选项错误；C、（2x）2＝4x2，正确；D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；故选：C．3．【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．故选：A．4．【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、y＝，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．5．【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．故选：B．6．【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x ﹣1．故选：D．7．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．故选：D．8．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故选：B．9．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3；由②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，表示在数轴上，如图所示：故选：C．10．【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，∴众数是108，中位数为＝105，平均数为＝101，方差为[（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣101）2]≈94.3≠93；故选：D．11．【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．12．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作是二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出x1与x2，当函数值m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分所对应的x 的取值范围，再根据x1＜x2，做出判断．【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；又∵x1＜x2∴x1＝﹣1，x2＝2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）13．【分析】根据立方根的定义即可求解．【解答】解：∵23＝8∴＝2故答案为：2．14．【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm，故答案为：8．15．【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．【解答】解：原式＝﹣a＝﹣a＝2a﹣4﹣a＝a﹣4．故答案为：a﹣4．16．【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，∴∠ADF＝90°，则∠EDH＝29°，∵BE⊥DC，∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．故答案为：61．17．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．18．【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD ＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，OA ＝OB＝，得出AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝2﹣2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，即可得出结果．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）19．【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣10+1+1＝﹣8．20．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣＝a2﹣2a2＝﹣a2，当a＝﹣2时，原式＝﹣4．21．【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：x2+2+x﹣2＝6，则x2+x﹣6＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，故x＝2不是方程的根，x＝﹣3是分式方程的解．22．【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足y＝的点的个数，由概率公式可求．【解答】解：（1）用树状图表示为：点M（x，y）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．（2）在点M的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y＝﹣上，∴P＝；因此，点M（x，y）在双曲线y＝﹣上的概率为．23．【分析】（1）根据tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD；（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．【解答】解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵AE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．24．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．【解答】解：由题意（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240解得，x1＝8，x2＝13∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）∵每件文具利润不超过80%∴，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元25．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则，可求出DE长；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF ∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，设DE＝x，则，解得x＝∴；（2）∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴，∴，∴DG＝，∵DE＝，∴＝，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．26．【分析】（1）证明RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），即可求解；（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），由AD＝AE，即可求解；（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：a＝，c＝11，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），则AB＝，AD＝5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），故点E（6，4），把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，故点E在抛物线上；（3）①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，AH＝AB＝，GA＝，∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，∴，即：，解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），故点K（﹣2，0），把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．。
2019年广西梧州市中考数学试卷
四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分 ） 20. 计 算：-5×2+3÷ -（-1）．
21. 先 化简，再求值： - ，其中 a=-2．
22. 解 方程： +1= ．
23. 一 个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字-1，1，2．第一次 从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标 x；再从袋中 余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点 M 的纵坐标 y． （1）用 列表法或树状图法，列出点 M（x，y）的所有可能结果；
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分 ） 13. 计算： =______．
14. 如图，已知 在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，
F、G 分别是 AD、AE 的中点，且 FG=2cm，则 BC 的
长度是______cm．
15. 化 简： -a=______． 16. 如 图，ABCD 中，∠ADC=119°，BE⊥DC 于点E，DF⊥BC
BC=5， △则BEC 的周长是（ ）
A. 12
9. 不等式组
B. 13
C. 14
的解集在数轴上表示为（ ）
D. 15
A.
B.
C.
D.
10. 某 校九年级模拟考试中，1 班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110， 108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（ ）
A. 众数是 108
于点 F，BE 与 DF 交 于点 H，则∠BHF=______度．
17. 如 图，已知半径为 1 的⊙O 上有三点 A、B、C，OC 与 AB 交 于点 D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴 影部分的扇形 OAC 面 积是______．
初中-数学-中考-2019年广西梧州市中考数学试卷
2019年广西梧州市中考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1、-6的倒数是（ ）A. -6B. 6C. -16D. 16 2、下列计算正确的是（ ）A. 33x x -=B. 2235x x x +=C. ()2224x x =D. ()222x y x y +=+ 3、一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 正方体 4、下列函数中，正比例函数是（ ）A. 8y x =-B. 8y x =C. 28y x =D. 84y x =- 5、如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 90︒D. 120︒ 6、直线31yx 向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ） A. 33y x =+B. 32y x =-C. 32y x =+D. 31y x =- 7、正九边形一个内角的度数是（ ）A. 108︒B. 120︒C. 135︒D. 140︒ 8、如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8,5AC BC ==，则BEC △的周长是（ ）A. 12B. 13C. 14D. 159、不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D.10、某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（ ）A. 众数是108B. 中位数是105C. 平均数是101D. 方差是9311、如图，在半径为13的O中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）A. 26B. 210C. 211D. 43 12、已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212()x x x x <，，则下列结论正确的是（ ）A. 1212x x <-<<B. 1212x x -<<<C. 1212x x -<<<D. 1212x x <-<<二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13、计算：38=______．14、如图，已知在ABC △中，D E ，分别是AB ，AC 的中点，F G ，分别是AD ，AE 的中点，且2cm FG =，则BC 的长度是______cm ．15、化简：2282a a a --=+______． 16、如图，ABCD 中，119ADC BE DC ∠=︒⊥，于点E ，DF BC ⊥于点F ，BE 与DF 交于点H ，则BHF ∠=______度．17、如图，已知半径为1的O 上有三点A B C ，，，OC 与AB 交于点D ，85,20ADO CAB ∠=︒∠=︒，则阴影部分的扇形OAC 面积是______．18、如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是______．三、解答题（本大题共8小题，满分66分）19、计算：1523(1)3-⨯+÷--． 20、先化简，再求值：32443(2)a a a a a⋅-，其中2a =-． 21、解方程：226122x x x ++=--． 22、一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字-1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y ．（1）用列表法或树状图法，列出点(),M x y 的所有可能结果；（2）求点(),M x y 在双曲线2y x=-上的概率． 23、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5,1AB BD ==，3tan 4B =． （1）求AD 的长；（2）求sin α的值．24、某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．25、如图，在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，AF 平分DAC ∠，分别交,DC BC 的延长线于点,E F ；连接DF ，过点A 作AH DF ∥，分别交,BD BF 于点,G H ． （1）求DE 的长；（2）求证：1DFC ∠=∠．26、如图，已知A 的圆心为点()3,0，抛物线2376y ax x c =-+过点A ，与A 交于B C 、两点，连接AB 、AC ，且AB AC ⊥，B C 、两点的纵坐标分别是2、1． （1）请直接写出点B 的坐标，并求a c 、的值；（2）直线1y kx =+经过点B ，与x 轴交于点D ．点E （与点D 不重合）在该直线上，且AD AE =，请判断点E 是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线11y k x =-与A 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．答案第1页，共13页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查倒数的定义：两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数．【解答】-6的倒数是-16.选C ． 2、【答案】C【分析】本题考查整式的运算．直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A .32x x x -=，故此选项错误；B .235x x x +=，故此选项错误；C .()2224x x =，正确；D .()2222x y x xy y +=++，故此选项错误.选C ．3、【答案】A【分析】本题考查由三视图判断几何体．根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱．选A ．4、【答案】A【分析】本题考查正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义．直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A .8y x =-是正比例函数，符合题意；B .8y x=是反比例函数，不符合题意； C .28y x =是二次函数，不符合题意；D .84y x =-是一次函数，不符合题意.选A ．5、【答案】B【分析】本题考查了钟面角．根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格度数为30°，∵钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°. 选B ．6、【答案】D【分析】本题考查一次函数图象的平移．直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：直线31y x 向下平移2个单位，所得直线的解析式是31231y x x =+-=-．选D.7、【答案】D【分析】本题考查正多边形．先根据多边形内角和定理求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和()180921260=︒⨯-=︒，则每个内角的度数12601409==︒︒.选D ． 8、【答案】B【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．直接利用线段垂直平分线的性质得出AE BE =，进而得出答案．【解答】解：∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∵AE BE =，∵8,5AC BC ==，∵BEC △的周长是13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．选B ．9、【答案】C【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①，②， 解∵，得3x >-；解∵，得2x ≤，∵不等式组的解集为32x -<≤.表示数轴上，如图所示：选C ．10、【答案】D【分析】本题考查众数、中位数、平均数和方差．先把六名学生的数学成绩从小到大排列，再求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列：82，96，102，108，108，110，∵众数是108，中位数为1021081052+=，平均数为82961021081081101016+++++=，方差为()()()()()() 222222 182101961011021011081011081011101016⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦94.393≈≠；选D．11、【答案】C【分析】本题考查垂径定理．过点O作OF CD⊥于点F，OG AB⊥于G，连接OB OD、，由垂径定理得出1,32DF CF AG BG AB====，得出2EG AG AE=-=，由勾股定理得出222OG OB BG=-=，证出EOG△是等腰直角三角形，得出45,222OEG OE OG∠=︒==，求出30OEF∠=︒，由直角三角形的性质得出122OF OE==，由勾股定理得出11DF=，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF CD⊥于点F，OG AB⊥于G，连接OB OD，，如图所示.则1,32DF CF AG BG AB====，∵2EG AG AE=-=，在Rt BOG△中，221392OG OB BG=-=-=，∵EG OG=，∵EOG△是等腰直角三角形，∵45OEG∠=︒，222OE OG==，∵75DEB∠=︒，∵30OEF∠=︒，∵122OF OE==在Rt ODF△中，2213211DF OD OF=--答案第3页，共13页∵2211CD DF ==.选C ．12、【答案】A【分析】本题考查二次函数和一元二次方程．可以将关于x 的方程()()120x x m +--=的解为12x x ，看作是二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标，而与x 轴交点的坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出1x 与2x ，当函数值0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围，再根据12x x <，作出判断．【解答】解：关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为12x x ，，可以看作二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标.∵二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的坐标为()()1,0,2,0-，如图：∵当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <，∵121,2x x =-=，∵1212x x <-<<.选A ．13、【答案】2【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”，其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．根据立方根的定义即可求解．【解答】解：∵23=8，38故答案为2．14、【答案】8【分析】本题考查三角形中位线定理．利用三角形中位线定理求得答案第5页，共13页11,22FG DE DE BC ==． 【解答】解：∵ADE △中，F G ，分别是AD ，AE 的中点， ∵24cm DE FG ==.∵D E ，分别是AB AC ，的中点， ∵DE 是ABC △的中位线， ∵28cm BC DE ==. 故答案为8. 15、【答案】4a -【分析】本题考查分式的化简．直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．【解答】解：原式22(4)2(2)(2)22a a a a a a a -+-=-=-++24a a =--4a =-．故答案为4a -. 16、【答案】61【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形内角和定理．直接利用平行四边形的性质以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵,AD BC DC AB ∥∥， ∵119ADC DF BC ∠=︒⊥，， ∵90ADF ∠=︒，则29EDH ∠=︒， ∵BE DC ⊥， ∵90DEH ∠=︒，∵902961DHE BHF ∠=∠=︒-︒=︒． 故答案为61. 17、【答案】5π36【分析】本题考查扇形的面积．根据三角形外角的性质得到65C ADO CAB ∠=∠-∠=︒，根据等腰三角形的性质得到50AOC ∠=︒，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵85,20ADO CAB ∠=︒∠=︒， ∵65C ADO CAB ∠=∠-∠=︒.∵OA OC =，∵65OAC C ∠=∠=︒， ∵50AOC ∠=︒，∵阴影部分的扇形OAC 面积50π15π36036⋅⨯==. 故答案为5π36． 18、【答案】31-【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质．连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出2,60CD AB BCD BAD ==∠=∠=︒，1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，,OA OC AC BD =⊥，由直角三角形的性质求出112OB AB ==，33OA OB ==，得出23AC =，由旋转的性质得2,60AE AB EAG BAD ==∠=∠=︒，得出232CE AC AE =-=-，证得90CPE ∠=︒，由直角三角形的性质得出1312PE CE ==-，333PC PE ==-，即可得出结果．【解答】解：连接BD 交AC 于点O ，如图所示.∵四边形ABCD 是菱形，∵260CD AB BCD BAD ==∠=∠=︒，， 1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，,OA OC AC BD =⊥，∵112OB AB ==，∵33OA OB == ∵23AC =由旋转的性质，得2,60AE AB EAG BAD ==∠=∠=︒， ∵232CE AC AE =-=. ∵四边形AEFG 是菱形， ∵EF AG ∥，答案第7页，共13页∵60CEP EAG ∠=∠=︒， ∵90CEP ACD ∠+∠=︒， ∵90CPE ∠=︒，∵112PE CE ==，3PC ==，∵2(31DP CD PC =-=-=.1． 19、【答案】-8【分析】本题考查有理数的混合运算．直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式1091=-++0=． 20、【答案】-4【分析】本题考查分式的化简求值．直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式65432a a a a=-222a a =-2a =-.当2a =-时，原式4=-． 21、【答案】3x =-【分析】本题考查解分式方程．直接利用分式方程的解法解方程得出答案． 【解答】解：方程两边同乘以()2x -，得2226x x ++-=， 则260x x +-=，即()()230x x -+=， 解得122,3x x ==-， 检验：当2x =时，20x -=，故2x =不是原方程的根，3x =-是分式方程的根．22、【答案】（1）见解答，()()()()()()1,11,21,11,22,12,1----，，，，，共六种情况；（2）13． 【分析】本题考查概率的计算．根据摸球规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出满足2y x=-的坐标的个数，由概率公式可求． 【解答】解：（1）用树状图表示：点(),M x y 的所有可能结果：()()()()()()1,11,21,1,,,,1,22,1,,21----，共六种情况．（2）在点M 的六种情况中，只有()(),1,22,1--两种在双曲线2y x=-上，∵2163P ==； 因此，点(),M x y 在双曲线2y x =-上的概率为13． 23、【答案】（1）32=AD ；（2）2sin α=． 【分析】本题考查解直角三角形及三角函数的定义． （1）根据3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =，再由勾股定理列出x 的方程求得x ，进而由勾股定理求AD ；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ，解直角三角形求得BE 与DE ，进而求得结果． 【解答】解：（1）∵3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =， ∵222AC BC AB +=，∵()()222345x x +=， 解得1x =-（舍去），或1x =， ∵3,4AC BC ==， ∵1BD =，∵3CD =， ∵2232AD CD AC =+=.（2）如图，过点D 作DE AB ⊥于点E .答案第9页，共13页∵3tan 4B =，∵可设3DE y =，则4BE y =， ∵222AE DE BD +=，∵()()222341y y +=， 解得15y =-（舍去），或15y =， ∵35DE =，∵sin 10DE AD α==． 24、【答案】（1）210210800=-+-y x x ；（2）当天销售单价所在的范围为813≤≤x ；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元． 【分析】本题考查二次函数的应用．（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式；（2）由（1）的关系式，即240y ≥，结合二次函数的性质即可求x 的取值范围； （3）由题意可知，利润不超过80%，即利润率(80%)≤(售价-进价)÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求． 【解答】解：（1）由题意，得26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭， 故y 与x 的函数关系式为210210800=-+-y x x . （2）要使当天利润不低于240元，则240y ≥，令()22102108001010.5302.5240y x x x =-+-=--+=， 解得128,13x x ==.∵100-<，抛物线的开口向下， ∵当天销售单价所在的范围为813≤≤x . （3）∵每件文具利润不超过80%， ∵50.8x x-≤，解得9x ≤， ∵文具的销售单价所在的范围为69x ≤≤，由（1），得()22102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+. ∵对称轴为10.5x =，∵69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大，∵当9x =时，取得最大值，此时()210910.5302.5280y =-⨯-+=， 即每件文具售价9元时，最大利润为280元.25、【答案】（1）32=DE ；（2）见解答． 【分析】本题考查相似三角形综合运用．（1）由AD CF ∥，AF 平分DAC ∠，可得FAC AFC ∠=∠，得出5AC CF ==，可证出ADE FCE △∽△，则AD DECF CE=，可求出DE 长； （2）由ADG HBG △∽△，可求出DG ，则DE DCDG DB=，可得EG BC ∥，则1AHC ∠=∠，根据DF AH ∥，可得AHC DFC ∠=∠，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD 中，AD CF ∥， ∵DAF ACF ∠=∠， ∵AF 平分DAC ∠， ∵DAF CAF ∠=∠， ∵FAC AFC ∠=∠， ∵AC CF =. ∵4,3AB BC ==，∵5AC ===，∵5CF =， ∵AD CF ∥， ∵ADE FCE △∽△， ∵AD DECF CE=. 设DE x =，则354x x=-， 解得32x =， ∵32=DE .（2）∵,AD FH AF DH ∥∥， ∵四边形ADFH 是平行四边形， ∵3AD FH ==， ∵2, 5.CH BH == ∵AD BH ∥，答案第11页，共13页∵ADG HBG △∽△，∵DG ADBG BH =， ∵355DG DG =-， ∵158DG =.∵32=DE ，∵45DE DC DG DB ==， ∵EG BC ∥， ∵1AHC ∠=∠， 又∵DF AH ∥， ∵AHC DFC ∠=∠， ∴1DFC ∠=∠．26、【答案】（1）B （2，2），5,116==a c ；（2）点E 在抛物线上，见解答；（3）满足条件的直线解析式为112y x =--或21y x =-． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，切线的性质等．（1）作辅助线并证明()Rt Rt AAS BRA ASC △≌△，即可求解； （2）点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由AD AE =，即可求解； （3）分当切点在x 轴下方、切点在x 轴上方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点B C 、分别作x 轴的垂线交于点R S 、. ∵90,90BAR RAB RAB CAS ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∵RAB CAR ∠=∠，又AB AC =， ∵()Rt Rt AAS BRA ASC △≌△， ∵2,1AS BR AR CS ====，故点B C 、的坐标分别为()2,2、()5,1， 将点B C 、的坐标代入抛物线2376y ax x c =-+中，解得5,116==a c ， 故抛物线的表达式为25371166y x x =-+. （2）将点B 的坐标代入1y kx =+中，解得112y x =+，则点()2,0D -， 点A B C D 、、、的坐标分别为()3,0、()2,2、()5,1、()2,0-，则5AB AD ==，∵点E 在直线BD 上，∵设E 的坐标为1,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵AD AE =，∵()22253112x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解得2x =-或6（舍去2-）， 故点()6,4E ， 把6x =代入253711466y x x =-+=， ∵点E 在抛物线上.（3）∵如图，当切点在x 轴下方时，设直线11y k x =-与A 相切于点H ，直线与x 轴、y 轴分别交于点K 、()0,1G -，连接GA .∴AH AB ==GA =∵90,AHK KOG HKA HKA ∠=∠=︒∠=∠， ∵KOG KHA △∽△，∵KO OGKH HA==，解得2KO =或12-（舍去12-）， 故点()2,0K -.把点K G 、的坐标代入11y k x =-中， 解得直线的表达式为112y x =--； ∵当切点在x 轴上方时，直线的表达式为21y x =-； 故满足条件的直线解析式为112y x =--或21y x =-．答案第13页，共13页。
2019年广西梧州市中考数学试卷
2019年广西梧州市中考数学试卷、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分 .）（3分）直线y = 3x+1 向下平移2个单位, 所得直线的解析式是A . y = 3x+3B . y = 3x - 2C . y = 3x+2D . y = 3x - 1（3分）正九边形的一个内角的度数是（（3分）如图，DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足,1. （3分）-6的倒数是（2. 3. 4. C .（3分）下列计算正确的是（ A . 3x - x = 3 C . (2x ) 2= 4x 22x+3x = 5x 22 2 2(x+y ) = x +y（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ A .圆柱B .圆锥C .球D •正方体（3分）下列函数中，正比例函数是（ 2C . y = 8xD . y = 8x - 4A . y =- 8x5 . A . 30° 10点整时，时针与分针所成的角是（B . 60°C . 90°D . 120° A . 108° B . 120° C . 135 ° D . 140°DE 交 AC 于点 E ，且 ACC . 212. （3分）已知 m >0，关于X 的一元二次方程（X +1 ） （X - 2）V X 2）,则下列结论正确的是（A . X 1<— 1 V 2V X 2B . - 1V X 1< 2V X 2C .- 1 V x 1< X 2< 2D . xy — 1V X 2< 2如图，已知在厶 ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，F 、G 分别是 AD 、AE二、填空题 （本大题共 6小题，每小题3分，共18分.） 13. (3 分) 计算:cm.B . 13C . 14D . 159. （ 3分）不等式组>的解集在数轴上表示为（）LL I _1_1_i_J _____■3 0 2A i iiil 〜•30 210. （3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下:96, 108, 102, 110,108, 82.下列关于这组数据的描述不正确的是（ A .众数是B .中位数是105C .平均数是101D .方差是9311. （3分）如图，在半径为的O O 中，弦AB 与CD 交于点E , / DEB = 75°, AB = 6,m = 0 的解为 x 1, x 2 (x 114. (3 分) A .C .A . 215. （3 分）化简： a = ________16. ( 3 分)如图，？ABCD 中，/ ADC = 119°, BE丄DC 于点E, DF 丄BC 于点F , BE 与度.17. （3分）如图，已知半径为1的O O上有三点A、B、C, OC与AB交于点D，/ ADO =85°,/ CAB = 20°,则阴影部分的扇形OAC面积是 ____________ABCD中，AB = 2,/ BAD = 60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ,点E在AC 上, EF与CD交于点P,则DP的长是_________5X 2+3 —(- 1).19. （6分）计算:三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）20. ----------------------------------------------- （6分）先化简，再求值：，其中a=- 2.21. --------------------------------- （6分）解方程：1 —.22. （8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字- 1 , 1 , 2.第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x;再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y.（1）用列表法或树状图法，列出点M （x, y）的所有可能结果；（2）求点M （x, y）在双曲线y -上的概率.售单价统一为x 元/件（x > 6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元.（1 ）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2） 要使当天销售利润不低于 240元，求当天销售单价所在的范围；（3） 若每件文具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大， 每件文具售价为多少元？ 并求出最大利润.25. （10分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 3, AF 平分/ DAC ,分别交 DC , BC 的 延长线于点 E , F ;连接DF ，过点A 作AH // DF ，分别交BD , BF 于点G , H . （1 ）求DE 的长；(2)求证：/ 1 = Z DFC .226. （12分）如图，已知 O A 的圆心为点（3, 0）,抛物线y = ax —x+c 过点A ，与O A 交于B 、C 两点，连接 AB 、AC ,且AB 丄AC , B 、C 两点的纵坐标分别是 2、1 .为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5兀，当天的销售量就减少 5件.设当天销24. （10分）我市某超市销售一种文具，进价为 5元/件•售价为6元/件时，当天的销售量 23. (8 分)如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° , D 为BC 上一点, AB= 5, BD = 1, tanB （1 ）求AD 的长;（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；(2)直线y= kx+1经过点B,与x轴交于点D .点E (与点D不重合)在该直线上，且AD = AE,请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；(3)如果直线y= k i x- 1与O A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式.2019年广西梧州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，每小题选对得 3分，选错、不选或多选均得零分 .） 1. （ 3分）-6的倒数是（）【解答】解：-6的倒数是： -.故选：C .2. （ 3分）下列计算正确的是（ ）A . 3x - x = 3z、2 2 2 D . (x+y ) = x +y【解答】解：A 、3x - x = 2x ,故此选项错误;B 、 2x+3x = 5x ,故此选项错误；C 、 （2x ） 2= 4^,正确；D 、 （x+y ） 2= x 2+2xy+y 2，故此选项错误; 故选：C .3. （ 3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）A .圆柱B .圆锥C .球D .正方体【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几 何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体. 故选：A . 4.（ 3分）下列函数中，正比例函数是（ ）2A . y =- 8xB . y -C . y = 8xD . y = 8x - 4【解答】解：A 、y =- 8x ,是正比例函数，符合题意;B 、 y -，是反比例函数，不合题意；C 、 y = 8x 2,是二次函数，不合题意；2B . 2x+3x = 5x2 2C . (2x ) = 4xD、y= 8x- 4,是一次函数，不合题意; 故选：A .5. （ 3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（【解答】 解：I DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线,• AE = BE ,T AC = 8, BC = 5,6. A . 30° B . 60° C . 90°D . 120°【解答】解：：•钟面分成12个大格，每格的度数为 30°,•••钟表上10点整时，时针与分针所成的角是 60 ° .故选：B .（3分）直线y = 3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是A . y = 3x+3B . y = 3x - 2C .y = 3x+2 y = 3x - 1 【解答】解：直线y = 3x+1向下平移 个单所得直线的解析式是:y = 3x+1 - 2= 3x故选：D . 7. （3分）正九边形的一个内角的度数是（ A .108°B . 120° 135°140°【解答】解：该正九边形内角和= 180 X( 9 - 2)= 1260 ° , 则每个内角的度数 --------故选：D .& （ 3分）如图，DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线,D 为垂足，DE 交AC 于点E ,且ACA . 12B . 13C . 14D . 15•••△ BEC 的周长是：BE+EC+BC = AE+EC+BC = AC+BC= 13.故选：B.由①得：X>—3;由得：x w2,•不等式组的解集为-3v x w 2,表示在数轴上，如图所示:4「| 丨》-3 0 2故选：C.10. （3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96, 108,102, 110,108, 82.下列关于这组数据的描述不正确的是（）A .众数是108B .中位数是105C .平均数是101D .方差是93【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82, 96, 102, 108, 108, 110, •众数是108，中位数为--------- 105，平均数为----------------------------- 101 ,2 2 2 2 2万差为-[(82 —101) + (96 —101) + ( 102—101) + (108—101) + (108 —101) + 2(110—101)戶94.3 工93;故选：D.11. （3分）如图，在半径为的O O中，弦AB与CD交于点E ,Z DEB = 75°, AB = 6,AE= 1 ,则CD的长是（）A . 2 —B . 2 —C. 2 —D.4 -【解答】解：过点0作OF丄CD于点F , 0G丄AB于G,连接OB、OD、OE ,如图所示:贝U DF = CF, AG = BG -AB= 3,••• EG= AG- AE = 2,在Rt △ BOG 中，OG 2,•EG= OG,•△ EOG是等腰直角三角形，•••/ OEG = 45°, OE 一OG = 2 _,•••/ DEB = 75 ° ,•••/ OEF = 30 ° ,•OF —OE ,在Rt△ ODF 中，DF• CD = 2DF = 2 —12. (3分)已知m>0，关于x的一元二次方程(x+1) (x- 2)- m = 0的解为x i, x2 (x iV X2),则下列结论正确的是( )A . x i V- 1 V2V X2B . - 1 V x i V 2V X2 C.- 1 V x i< X2< 2 D. x i<- 1v X2< 2【解答】解：关于X的一元二次方程(x+1) (X-2)- m= 0的解为x i, X2,可以看作二次函数m=( x+1) (x- 2)与x轴交点的横坐标，•••二次函数m=( x+1) (x- 2)与x轴交点坐标为(-1, 0) , (2, 0),如图：第9页(共19页)当m>0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x v- 1或x>2;又；X1 v X2二X1 =- 1 , X2= 2;/• x1v- 1 v 2v x2,二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）13. （3 分）计算：—2 .【解答】解：T 23= 8一2故答案为：2.14. （3分）如图，已知在厶ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG = 2cm,贝U BC的长度是8 cm.【解答】解：如图，•••△ ADE中，F、G分别是AD、AE的中点,/• DE = 2FG = 4cm,•/ D, E分别是AB, AC的中点，••• DE是厶ABC的中位线，BC= 2DE = 8cm ,故答案为：&15. （3 分）化简： a = a - 4 .【解答】解：原式--------- a ------------------------ a=a —4.故答案为：a—4.16. （3 分）如图，？ABCD 中，/ ADC = 119°, BE丄DC 于点E, DF 丄BC 于点F , BE 与DF交于点H，则/ BHF = 61 度.=2a-4-a第12页（共19页）【解答】解：：•四边形ABCD是平行四边形，••• AD // BC, DC // AB,•••/ ADC = 119°, DF 丄BC,•••/ ADF = 90 ° ,则/ EDH = 29°,•/ BE丄DC ,•••/ DEH = 90°,•••/ DHE = Z BHF = 90°—29°= 61 °.故答案为：61.17. （3分）如图，已知半径为1的O O上有三点A、B、C, OC与AB交于点D，/ ADO =85°,/ CAB = 20°,则阴影部分的扇形OAC面积是一.C【解答】解：•••/ ADO = 85 °，/ CAB = 20 ° ,•••/ C=/ ADO — / CAB= 65°,•/ OA= OC,•••/ OAC=/ C= 65°,•••/ AOC= 50°,•••阴影部分的扇形OAC面积-------- 一,故答案为:18. （3分）如图，在菱形ABCD中，AB = 2,/ BAD = 60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是一1【解答】解：连接BD交AC于0,如图所示：•••四边形ABCD是菱形，CD = AB= 2, / BCD = / BAD = 60°,/ ACD = / BAC -/ BAD = 30°, 0A = OC , AC 丄BD ,.0B -AB = 1,.OA 一OB 一，.AC= 2 _,由旋转的性质得：AE= AB= 2, / EAG=/ BAD = 60°,.CE= AC - AE = 2 —2,•••四边形AEFG是菱形，.EF // AG ,./ CEP=/ EAG = 60°,./ CEP+ / ACD = 90 ° ,./ CPE= 90 ° ,.PE -CE - 1 , PC 一PE = 3 _,.DP = CD - PC = 2 -( 3 _) - 1 ;故答案为：—1.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.)19. (6 分)计算：-5X 2+3 —(- 1).【解答】解：原式=-10+9+1，其中a=- 2.20. (6分)先化简，再求值:=0.【解答】解：原式一——2 2=a - 2a2=-a ,当a =- 2时，原式=-4.21. (6分)解方程： 1 .【解答】解：方程两边同乘以(x- 2)得：X2+2+X- 2 = 6,2贝U x +x- 6 = 0,(x- 2) (x+3)= 0,解得：X1= 2, X2=- 3,检验：当x= 2时，x- 2 = 0,故x= 2不是方程的根，x=- 3是分式方程的解.22. ( 8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字- 1 , 1 , 2.第一次从袋中任意摸出一个小球(不放回) ，得到的数字作为点M的横坐标x;再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y.(1)用列表法或树状图法，列出点M (x, y)的所有可能结果；(2)求点M (x, y)在双曲线y -上的概率.【解答】解：(1)用树状图表示为：点M (x, y)的所有可能结果；(-1, 1) (- 1, 2) (1, - 1) (1, 2) (2, - 1) (2 , 1)第15页(共19页)第16页(共19页)【解答】 解：(1)T tanB —，可设AC = 3x ，得BC = 4x ，“22 ,2■/ AC +BC = AB ，2 2 2• •( 3x ) + ( 4x ) = 5 ，解得，x =- 1 (舍去)，或x = 1，• AC = 3， BC = 4，•/ BD = 1,• CD = 3, • AD '(2)过点作DE 丄AB 于点E , 共六种情况.(2)在点M 的六种情况中，只有(-1, 2) (2,- 1)两种在双曲线y-上,因此，点M (x ，y )在双曲线y-上的概率为-.1 2 -1 2 -1 1(-11) (-U) (1, -1 )(17) (2H )(2,1)第一灰 第二》点NffiFf 肓可能情23. (8 分)如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° , D 为 BC 上一点，AB = 5, BD =1, tanB -. (1 )求AD 的长;•/ tanB —,可设DE = 3y,贝U BE = 4y,2 2 2 •••AE2+DE2= BD2,2 2 2 •••( 3y) + ( 4y) = 1 ,解得，y -(舍)，或y -，•- sin a24. (10分)我市某超市销售一种文具，进价为5元/件•售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x> 6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元.(1 )求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ；(2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.【解答】解：由题意2(1)y=( X-5) (100 —— 5)=- 10X+210X-800故y与x的函数关系式为：y=- 10x+210x-800(2)要使当天利润不低于240元，贝U y>240,2 2y=- 10x +210x- 800=- 10 (x- 10.5) +302.5 = 240解得，X1= 8, X2= 13•••- 10v 0,抛物线的开口向下，•当天销售单价所在的范围为8< x< 13(3 )•••每件文具利润不超过80%第17页(共19页)，得x w 9•••文具的销售单价为6w x< 9,2 2由(1)得y=—10x +210X—800=—10 (x- 10.5) +302.5•••对称轴为x= 10.5• 6 w x w 9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大2•••当x= 9 时，取得最大值，此时y=- 10 (9- 10.5) +302.5 = 280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元25. (10分)如图，在矩形ABCD中，AB = 4, BC= 3, AF平分/ DAC ,分别交DC, BC的延长线于点E, F;连接DF，过点A作AH // DF，分别交BD, BF于点G , H .(1 )求DE的长；(2 )求证：/ 1 = Z DFC .【解答】(1)解：•••矩形ABCD中，AD // CF,•••/ DAF = Z ACF ,•/ AF 平分/ DAC ,•••/ DAF = Z CAF ,•••/ FAC=Z AFC ,• AC= CF,•/ AB= 4, BC = 3,•/ AD // CF ,设DE = x,则一5,解得x -(2 )T AD // FH , AF // DH ,•••四边形ADFH是平行四边形,AD = FH = 3,•CH = 2, BH = 5,•/ AD // BH ,•△ ADGHBG ,• DG 一,•/ DE -,•EG // BC,•/ 1 = Z AHC,又••• DF // AH ,•/ AHC = Z DFC ,/ 1 = Z DFC .226. （12分）如图，已知O A的圆心为点（3, 0）,抛物线y= ax —x+c过点A,与O A交于B、C两点，连接AB、AC ,且AB丄AC , B、C两点的纵坐标分别是2、1 .（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y= kx+1经过点B,与x轴交于点D .点E （与点D不重合）在该直线上，且AD = AE ,请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y= bx- 1与O A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式.第仃页（共19页）【解答】解：(1)过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S,•••/ BAR+Z RAB= 90°,/ RAB+ / CAS= 90°,•••/ RAB=Z CAR，又AB = AC,••• RtBRA△也Rt△ ASC (AAS),AS= BR= 2, AR= CS= 1,故点B、C的坐标分别为(2, 2 )、(5, 1),将点B、C坐标代入抛物线y= ax2一x+c并解得：a -， c=11,2故抛物线的表达式为：y -x —x+11 ；(2)将点B坐标代入y= kx+1并解得：y -x+1，则点D (- 2, 0),点A、B、C、D 的坐标分别为(3, 0)、(2, 2)、(5, 1)、(- 2, 0),贝U AB 一，AD = 5,点E在直线BD上，则设E的坐标为(X, -x+1),2 2 2 •/ AD = AE,贝U 52=(3 - x) 2+ (―x+1),解得：x=- 2或6 (舍去-2),故点 E (6, 4),2把x = 6 代入y —x x+11 = 4 ,故点E在抛物线上；(3)①当切点在x轴下方时，设直线y= k1x - 1与O A相切于点H ,直线与x轴、y轴分别交于点K、G (0, - 1),连接GA ,第20页(共19页)AH = AB 一, GA ~,•••/ AHK = Z KOG = 90°,/ HKA = Z HKA，丄 KOG s\ KHA ,，即：解得：KO = 2或—（舍去—），故点K （- 2, 0）,把点K、G坐标代入y= k i x- 1并解得：直线的表达式为：y -x - 1 ；当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y= 2x - 1;故满足条件的直线解析式为：y -x- 1或y= 2x - 1.第19页（共19页）。
广西梧州市2019年中考数学真题试题和答案解析
2019年广西梧州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）1．（3分）﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2C．（2x）2＝4x2D．（x+y）2＝x2+y23．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体4．（3分）下列函数中，正比例函数是（）A．y＝﹣8x B．y＝C．y＝8x2D．y＝8x﹣45．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．（3分）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣17．（3分）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°8．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．159．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（）A．众数是108 B．中位数是105C．平均数是101 D．方差是9311．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE ＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．412．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）13．（3分）计算：＝．14．（3分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是cm．15．（3分）化简：﹣a＝．16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．17．（3分）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）19．（6分）计算：﹣5×2+3÷﹣（﹣1）．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣2．21．（6分）解方程：+1＝．22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣上的概率．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．26．（12分）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．2019年广西梧州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）1．【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．故选：C．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故此选项错误；B、2x+3x＝5x，故此选项错误；C、（2x）2＝4x2，正确；D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；故选：C．3．【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．故选：A．4．【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、y＝，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．5．【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．故选：B．6．【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x ﹣1．故选：D．7．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．故选：D．8．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故选：B．9．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3；由②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，表示在数轴上，如图所示：故选：C．10．【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，∴众数是108，中位数为＝105，平均数为＝101，方差为[（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣101）2]≈94.3≠93；故选：D．11．【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．12．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作是二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出x1与x2，当函数值m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分所对应的x 的取值范围，再根据x1＜x2，做出判断．【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；又∵x1＜x2∴x1＝﹣1，x2＝2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）13．【分析】根据立方根的定义即可求解．【解答】解：∵23＝8∴＝2故答案为：2．14．【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm，故答案为：8．15．【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．【解答】解：原式＝﹣a＝﹣a＝2a﹣4﹣a＝a﹣4．故答案为：a﹣4．16．【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，∴∠ADF＝90°，则∠EDH＝29°，∵BE⊥DC，∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．故答案为：61．17．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．18．【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD ＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，OA ＝OB＝，得出AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝2﹣2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，即可得出结果．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）19．【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣10+1+1＝﹣8．20．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣＝a2﹣2a2＝﹣a2，当a＝﹣2时，原式＝﹣4．21．【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：x2+2+x﹣2＝6，则x2+x﹣6＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，故x＝2不是方程的根，x＝﹣3是分式方程的解．22．【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足y＝的点的个数，由概率公式可求．【解答】解：（1）用树状图表示为：点M（x，y）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．（2）在点M的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y＝﹣上，∴P＝；因此，点M（x，y）在双曲线y＝﹣上的概率为．23．【分析】（1）根据tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD；（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．【解答】解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵AE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．24．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．【解答】解：由题意（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240解得，x1＝8，x2＝13∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）∵每件文具利润不超过80%∴，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元25．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则，可求出DE长；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF ∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，设DE＝x，则，解得x＝∴；（2）∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴，∴，∴DG＝，∵DE＝，∴＝，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．26．【分析】（1）证明RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），即可求解；（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），由AD＝AE，即可求解；（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：a＝，c＝11，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），则AB＝，AD＝5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），故点E（6，4），把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，故点E在抛物线上；（3）①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，AH＝AB＝，GA＝，∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，∴，即：，解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），故点K（﹣2，0），把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．。
广西梧州市2019年中考数学试题含解析答案
中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得）（3 分）﹣8 的相反数是（ ）A ．﹣8B ．8C ．18D ．18【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8 的相反数是﹣（﹣8）=8． 故选：B ． 【本题考查的是相反数的即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（3 分）研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这个数字用 科学计数法表示应是（ ） A ．1.5×10﹣4 B ．1.5×10﹣5 C ．15×10﹣5 D ．15×10﹣6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为 a ×10﹣n， 与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.00015=1.5×10﹣4， 故选：A ． 【点评】本题考查用科学计数法表示较小的数，一般形式为 a ×10﹣n，其中 1≤ |a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 3．（3 分）如图，已知 B G 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥BC 于点 F ， DE=6，则 D F 的长度是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 6【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．【解答】解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴DE=DF=6， 故选：D ．【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等．（3 分）已知∠A=55°，则它的余角是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°【分析】由余角定义得∠A 的余角为 90°减去 55°即可． 【解答】解：∵∠A=55°，∴它的余角是 90°﹣∠A=90°﹣55°=35°， 故选：B ． 【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得．（3 分）下列各式计算正确的是（ ）A ．a +2a=3aB ．x 4•x 3=x 12C ．（1x）﹣1=﹣1xD ．（x 2）3=x 5【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项法则逐个判断 即可． 【解答】解：A 、a +2a=3a ，正确； B 、x 4•x 3=x 7，错误； C 、（1x）-1=x ，错误； （x 2）3=x 6，错误； 故选：A ．【点评】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项，关键是 根据法则计算．（3 分）如图，在正方形 A B C D 1（﹣3，将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（ ）A ．（﹣6，2）B ．（0，2）C ．（2，0）D ．（2，2）【分析】首先根据正方形的性质求出 D 点坐标，再将 D 点横坐标加上 3，纵坐标 不变即可． 【解答】解：∵在正方形 A B C D 中，A 、B、C 三点的坐标分别是（﹣1（﹣ 1，0）、（﹣3，0）， ∴D （﹣3，2）， ∴将正方形 A B C D 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（0故选：B ． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简 单． 7．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=70°，△AB ′C ′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB ′，则∠ABB ′的度数是（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45° 【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC ≌△B ′AC ′，进而结合三角形内角和定 理得出答案． 【解答】解：连接 B B′ ∵△AB ′C ′与△ABC 关于直线 E F 对称， ∴△BAC ≌△B ′AC ′， ∵AB=AC ，∠C=70°， ∴∠ABC=∠AC ′B′=∠AB ′C ′=70°， ∴∠BAC=∠B ′AC′=40°， ∵∠CAF=10°， ∴∠C ′AF=10°， ∴∠BAB ′=40°+10°+10°+40°=100°， ∴∠ABB ′=∠AB ′B=40°． 故选：C ． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠ BAC 度数是解题关键．（3 分）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是5，则这组数据的方差是（）A．2 B．2.4 C．2.8 D．3【分析】根据数据的众数确定出x的值，进而求出方差即可．【解答】解：∵一组数据3，4，5，x，8 的众数是5，∴x=5，∴这组数据的平均数为15×（3+4+5+5+8）=5，则这组数据的方差为15×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]=2.8．故选：C．【点评】此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．（3 分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（）A．127B．13C．19D．29【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可．【解答】解：如图，一共有27 种可能，三人摸到球的颜色都不相同有6种可能，∴P（三人摸到球的颜色都不相同）=627=29．故选：D．【本题考查列表法与树解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．（3 分）九年级一班同学根据兴趣分成 A 、B 、C 、D 、E 五个小组，把各小组 人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则 D 小组的人数是（）A ．10 人B ．l1 人C ．12 人D ．15 人【分析】从条形统计图可看出 A 的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求 出总人数．然后结合 D 所占的百分比求得 D 小组的人数． 【解答】解：总人数=510%=50（人） D 小组的人数=50×E M B E D Equat i o n.DS M T 486.4360=12． 故选：C ． 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从上面可得到具体的值，以及用 样本估计总体和扇形统计图，扇形统计图表示部分占整体的百分比．11．（3 分）如图，AG ：GD=4：1，BD ：DC=2：3，则 AE ：EC 的值是（ ） A ．3：2 B ．4：3 C ．6：5 D ．8：5 【分析】过点 D 作 DF ∥CA 交 BE 于 F ，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF ∥CE 得到DF CE =BDDC=25，则 C E=52DF ，由 D F ∥AE 得到DF AE =DG AG =14，则 A E=4DF ， 然后计算AE CE的值． 【解答】解：过点 D 作 D F ∥CA 交 B E 于 F ，如图， ∵DF ∥CE ， ∴DF CE =BD DC ， 而 B D ：DC=2：3，∴DF CE =25，则 C E=52DF ， ∵DF ∥AE ， ∴DF AE =DG AG， ∵AG ：GD=4：1，∴DF AE =14，则 AE=4DF ，∴AE CE=48552DF DF =故选：D ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延，所得的 对应线段成比例（3 分）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此 规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ） A ．9999 B ．10000 C ．10001 D ．10002 【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加 1，第偶数是序数的平方减 1， 据此规律得到正确答案即可． 【解答】解：∵第奇数个数 2=12+1， 10=32+1， 26=52+1， …， 第偶数个数 3=22﹣1， 15=42﹣1， 25=62﹣1， …，∴第 100 个数是 1002﹣1=9999， 故选：A ． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面 考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）（3在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x ≥3 ． 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出 x 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：x ﹣3≥0， 解得：x ≥3． 故答案为：x ≥3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解 题关键．（3 分）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是 A B 、AC 的中点，BC=6cm ，则 DE 的长度是 3 cm ．【分析】根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：∵D 、E 分别是 A B 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=3cm ， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半是解题的关键．（3分）已知直线y =a x （a ≠0）与反比例函数 y = E M 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定 关于原点对称，据此进行解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对 称， ∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称， ∴该点的坐标为（﹣2， 故答（﹣2， 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握 关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数． （3 分）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与 AB 交于点 C ，则∠ACO= 81 度．【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．【解答】解：∵，AB=2，2+OB2=AB2，OA=OB，∴OA∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．（3 分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径C A=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高O C 的长度是．【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出O A，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC=6，∠ACB=120°，∴1206180lπ⨯==2πr，∴r=2，即：OA=2，在R t△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，，故答案为：4．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出O A 是解本题的关键．18．（3 分）如图，点C为R t△ACB 与R t△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接A D、BE，过点C作C F⊥AD于点F，延长F C 交B E 于点G．若A C=BC=25，CE=15，DC=20，则EGBG的值为34．【分析】过E 作EH⊥GF 于H，过B 作BP⊥GF 于P，依据△EHG∽△BPG，可得EGBG=EHBP，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到EH=34CF，BP=CF，进而得出EGBG=34．【解答】解：如图，过E作E H⊥GF 于H，过B作B P⊥GF 于P，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP，∴△EHG∽△BPG，∴EGBG=EHBP，∵CF⊥AD，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，∴,1EH CE BP BCCF DC CF CA=== ∴EH= 34CF ，BP=CF ，∴EH BP =34， ∴EG BG =34， 故答案为：34．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线 构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算．三、解答题（本大题共8小题，满分 66）（6 分）计算：9﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的 乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可． 【解答】解：原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3． 【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20．（6 分）解方程：2x 2﹣4x ﹣30=0．【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：∵2x 2﹣4x ﹣30=0， ∴x 2﹣2x ﹣15=0， ∴（x ﹣5）（x +3）=0， ∴x 1=5，x 2=﹣3． 【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解 一元二次方程的解法，属于中考基础题．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 A C ，BD 相交于点 O ，过点 O 的一条直线分别交 A D ，BC 于点 E ，F ．求证：AE=CF ．【分析】利用平行四边形的性质得出 A O=CO ，AD ∥BC ，进而得出∠EAC=∠FCO ， 再利用 A SA 求出△AOE ≌△COF ，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 A C ，BD 交于点 O ，∴AO=CO ，AD ∥BC ，∴∠EAC=∠FCO ， 在△AOE 和△COF 中EAO FCO AO OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE=CF ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定方法是解题关键．228解不等式组 E M B E D E q （ E M B E DEq u a ti o n .D S M T 【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．【解答】解：解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3， 所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=23(1)x x +-•[23(3)(3)x x x x --+-3(3)(3)x x x -+-] =23(1)x x +-•(1)(3)(3)(3)x x x x --+- =11x -∵x ≠±3、1， ∴x=2， 则原式=1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的 混合运算是解题关键．（8 分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG =27m，GF=17.6m （注：C 、G 、F 三点在同一直线上，C F ⊥A B （参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17， cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 【分析】过点 D 作 D M ⊥CE ，交 C E 于点 M ，作 D N ⊥AB ，交 A B 于点 N ，在 R t △ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF 、DN 的长度， 再在 Rt △BDN 、Rt △ADN 中，利用解直角三角形求出 BN 、AN 的长度，结合 AB=AN +BN 即可求出瀑布 A B 的高度． 【解答】解：过点 D 作 D M ⊥CE ，交 C E 于点 M ，作 D N ⊥AB ，交 A B 于点 N ，如 图所示． 在 R t △CMD 中，CD=20m ，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD •cos40°≈15.4m ，DM=CD •si n40°≈12.8m ， ∴DN=MF=CM +CG +GF=60m ． 在 R t △BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m ， ∴BN=DN •tan10°≈10.8m ． 在R t △ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m ， ∴AN=DN •tan30°≈34.6m ．∴AB=AN +BN=45.4m ． 答：瀑布 A B 的高度约为 45.4 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通 过解直角三角形求出 A N 、BN 的长度是解题的关键．（10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A 、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样．（1）求 A 、B 两种型号电动自行车的进货单价； （2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【（1）设 A 、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x +500）元， 构建分式方程即可解决问题；（2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题；【解答（1）设 A 、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x +500） 元． 由题意：50000x =60000+500x ， 解得 x =2500， 经检验：x=2500 是分式方程的解．答：A 、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元．（2）y=300m +500（30﹣m ）=﹣200m +15000（20≤m ≤30），（3）∵y=300m +500（30﹣m ）=﹣200m +15000，∵﹣200＜0，20≤m ≤30，∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解 题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．（10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B ，C 是 B C 上（除 B 点外）的任意一点，连接 C M 交⊙M 于点 G ，过点 C 作 D C ⊥BC 交 B G 的 延长线于点 D ，连接 A G 并延长交 B C 于点 E ．（1）求证：△ABE ∽△BCD ；（2）若 M B =BE=1，求 C D 的长度．【（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似； （2）利用勾股定理和面积法得到 AG 、GE ，根据三角形相似求得 GH ，得到 M B 、GH 和 C D 的数量关系，求得 C D ．【（1）证明：∵BC 为⊙M 切线∴∠ABC=90° ∵DC ⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB 是⊙M 的直径∴∠AGB=90°即：BG ⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE ∽△BCD（2）解：过点 G 作 G H ⊥BC 于 H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=225AB BE +=由（1）根据面积法 AB •BE=B G •AE∴由勾股定理：∵GH ∥AB ∴GH GE AB AE =∴2GH =∴GH=25 又∵GH ∥ABHC GH BC MB =① 同理：BH GH BC DC=② ①+②，得HC BH GH BC MB +=+GH DC∴+GH MB =1GH DC∴CD=23【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解 答时，注意根据条件构造相似三角形．（12 分）如图，抛物线 y =a x 2+bx ﹣ E M B E DE q u a t i o n .D S M T 4 92与 xD 是 y 轴上一点，连接 D A ，延长 D A 交抛物线于点E ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 E F ⊥x 轴于点 F ，△ADO 与△AEF 的面积比为 ADO AEF S S ∆∆=19，求出点 E 的坐标； （3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M 、N 两点， 是否存在点 D ，使 DA 2=DM •DN ？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由．【1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得 AF 的长，根据自变量与函数值的对应 关系，可得答案； （3）根据两点间距离，可得 AD 的长，根据根与系数的关系，可得 x 1•x 2，根据 DA 2=DM •DN ，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案． 【解答（1）将 A （1，B （6，0）代入函数解析式，得902936602a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 解得3=421=4a b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩， 抛物线的解析式为 y =﹣34x 2+214x ﹣92； （2）∵EF ⊥x 轴于点 F ， ∴∠AFE=90°． ∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE ， ∴△AOD ∽△AFE ．∵ADO AEFS S ∆∆=AO AF =19 ∵AO=1， ∴AF=3，OF=3+1=4，当 x =4 时，y=﹣34×42+214×4﹣92=92， ∴E 点坐标是（4，E M B E D E q u a t ion .D S M T 4 92（3）存在点 D ，使 D A 2=DM •DN ，理由如下： 设 D 点坐标为（0 AD 2=1+n 2， 当 y =n 时，﹣34x 2+214x ﹣92=n 化简，得 ﹣3x 2+21x ﹣18﹣4n=0， 设方程的两根为 x 1，x 2， x 1•x 2=1843n + DM=x 1，DN=x 2， DA 2=DM •DN ，即 1+n 2=1843n +， 化简，得3n 2﹣4n ﹣15=0， 解得 n 1=53，n 2=3， ∴D 点坐标为（0，﹣EMBEDEquatio【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的 关键是利用相似三角形的判定与性质得出 A F 的长；解（3）的关键是利用根与系 数的关系得出 x 1•x 2，又利用了解方程．。
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2019年广西梧州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1．（2019•梧州）﹣6的倒数是（）
A．﹣6B．6C．D．
2．（2019•梧州）下列计算正确的是（）
A．3x﹣x＝3B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2D．（x+y）2＝x2+y2
3．（2019•梧州）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体4．（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（）
A．y＝﹣8x B．y＝C．y＝8x2D．y＝8x﹣4 5．（2019•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°6．（2019•梧州）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）A．y＝3x+3B．y＝3x﹣2C．y＝3x+2D．y＝3x﹣1 7．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（）
A．108°B．120°C．135°D．140°8．（2019•梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）
A．12B．13C．14D．15 9．（2019•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
10．（2019•梧州）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（）
A．众数是108B．中位数是105
C．平均数是101D．方差是93
11．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）
A．2B．2C．2D．4 12．（2019•梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）
A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（2019•梧州）计算：＝．
14．（2019•梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是cm．
15．（2019•梧州）化简：﹣a＝．
16．（2019•梧州）如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．
17．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．
18．（2019•梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）
19．（2019•梧州）计算：﹣5×2+3÷﹣（﹣1）．
20．（2019•梧州）先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣2．
21．（2019•梧州）解方程：+1＝．
22．（2019•梧州）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣上的概率．
23．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
24．（2019•梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？
并求出最大利润．
25．（2019•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
26．（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
2019年广西梧州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）。