2012西城区高三一模文科数学
【精品解析】北京市西城区高三数学4月第一次模拟考试试题解析 文 (教师版)
精品解析：北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试数学（文）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年的高考题进行命制，临近高考，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题1，2,3，4，5,9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查,如解答题15,16,17,18.（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如填空题7.（4）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如选择题8和解答题20等；（5）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如19，20题。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)- （B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4)【答案】C【解析】{|22}B x x =-<<∴{|12}AB x x =<<故选C【解析】x=3,y=7,|3-7|<8,x=7,y=15,|7-15|=8,x=15,y=31,|15-31|>8, ∴y=31故选D 3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a << （D ）c b a <<【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞,23log (0,1)b =∈,134log (,0)c =∈-∞∴c<b<a,故选D【答案】B【解析】12z i =--，2z i =，∴12212z ii z i --==-+∴复数12z z 对应的点的坐标为（-1,2）∴复数12z z 对应的点位于第二象限，故选B 5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2（C ）28cm（D ）24cm【答案】A【解析】左视图是矩形，可得边长为2，∴左视图的面积是2故选,A6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6 （B ）5（C ）4（D ）3【答案】B【解析】由图可知，A （1,0），B （1,2），C （0,1），过（1,2）点时|3|x y -取最大值为5，故选B7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件【答案】C【解析】32S S >30a ⇔>210a q ⇔>10a ⇔>，故选C8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84【答案】C【解析】0123,,,a a a a 的情况分别为：0001,0011,0101,0111,1001,1011,1101,1111，∴A 中元素分别为8,12,10,14,9,13,11,15，∴A 中所有元素之和,92第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____.【答案】9【解析】(1,4)a b λ-=-，∵,90o a b a <->=∴(1)80λ-+=∴9λ= 10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】∵小矩形的面积之比=频率之比∴成绩在[16,18]的学生人数是54 11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 【答案】π【解析】22sin 3cos y x x =+1cos 21cos 2322x x -+=+⨯cos 22x =+∴22T ππ==12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线0x =的距离是_____. 【答案】1【解析】圆22430x y x +-+=的圆心为（2,0），它到直线的距离为1d == 13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【解析】（1）由图易知数列为递减数列（2）设2111(,)B y y ，2222(,)B y y ，直线12B B 的方程为211222121y y x y y y y y --=--当x=0时，12312y y y y y =+ ∵10y >，20y > ∴12120y yy y >+，依次类推，0n y >（3）由124,3y y ==，则3127y =，45122,113y y == 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABCAB ．（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ……9分 因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ……………11分 因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分 16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【命题分析】本题考查概率知识，第一问利用分层抽样中，样本容量÷总容量=频率，利用公式求m ，第二问要把所有抽取2名学生的情况分清，在所有情况中挑出2次发言的学生恰好来自不同班级的情况，从而得出概率。
北京市西城区2012年高三一模数学 答案
北京市西城区2012年高三一模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π；12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③.注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分 （Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ，),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分所以 NC ∥MD ， ………………3分因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分 又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分 所以 FC ND ⊥． ………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由c e a ==， 得a =， 从而2224b ac =-=． ………………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即 2532611526k k k k++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分 所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分 所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分 由点C 在第一象限，得03x <<． 所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分 记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： 所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项，所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分 方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的 三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项 减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序) 的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会 重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502． ………………13分。
2012年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2<4}，那么A ∩B =( ) A.(−2, 2) B.(−1, 2)C.(1, 2)D.(1, 4)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =3，则输出y 的值为（ ）A.5B.7C.15D.313. 若a =log 23，b =log 32，c =log 413，则下列结论正确的是（ ） A.a <c <b B.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a4. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z1z 2对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A.4√3cm 2B.2√3cm 2C.8cm 2D.4cm 26. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +1≥00≤x ≤1则|x −3y|的最大值为（ ）A.6B.5C.4D.37. 设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知集合A ={x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0, 1}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和是（ ）A.120B.112C.92D.84二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.已知向量a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)．若<a →−b →，a →>=90∘，则实数λ=________．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．函数y =sin 2x +3cos 2x 的最小正周期为________．圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离是________．已知函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.则f(x)的零点是________；f(x)的值域是________．如图，已知抛物线y2=x及两点A1(0, y1)和A2(0, y2)，其中y1>y2>0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3(0, y3)，此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n(0, y n)，n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N∗，y n>0；③若y1=4，y2=3，则y5=23．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC中，已知2sin B cos A=sin(A+C)．(1)求角A；(2)若BC=2，△ABC的面积是√3，求AB．某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（1）求研究性学习小组的人数；（2）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分别在线段BC和AD上，EF // AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．(Ⅰ)求证：NC // 平面MFD；(Ⅱ)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l:y=kx−52交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0, 3)为圆心的圆上，求k的值．如图，抛物线y=−x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD // AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式；（2）若|CD||AB|≤k，其中k为常数，且0<k<1，求S的最大值．对于数列A:a1，a2，a3(a i∈N, i=1, 2, 3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中b i= |a i−a i+1|(i=1, 2)，且b3=|a3−a1|．这种“T变换”记作B=T(A)．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C:c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A:2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设A:a1，a2，a3，B=T(A)．若B:b，2，a(a≥b)，且B的各项之和为2012．(I)求a，b；(II)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|1<x<2}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】根据所给数值先执行一次运算，然后判定是否满足判断框中的条件，不满足执行循环语句，满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：∵输入的x值为3，y=2×3+1=7；判断框内|x−y|=|3−7|=4<8，执行x=7，y=2×7+1=15；判断框内|x−y|=|7−15|=8≤8，执行x=15，y=2×15+1=31；判断框内|x−y|=|15−31|=16>8，输出y的值为31，算法结束．故选D．3.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．【解答】解：∵a=log23>log22=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log413<log41=0，∴c<b<a 故选D．4. 【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】由题意可知z1＝−2−i，z2＝i．∴z1z2=−2−ii=(−2−i)ii⋅i=−1+2i，复数z1z2对应的点位于第二象限．5.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．6.【答案】B【考点】求线性目标函数的最值【解析】先确定平面区域，再求√10的最大值，进而可求|x−3y|的最大值．【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求|x−3y|√10的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由{x =1x −y +1=0，可得x =1，y =2 由图可知，(1, 2)到直线x −3y =0的距离最大为√10=√10∴ |x −3y|的最大值为5 故选B ． 7. 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】分公比q ＝1和q ≠1两种情况，分别由a 1>0推出S 3>S 2成立，再由S 3>S 2也分q ＝1和q ≠1两种情况推出a 1>0，从而得出结论． 【解答】当公比q ＝1时，由a 1>0可得 s 3＝3a 1>2a 1＝s 2，即S 3>S 2成立． 当q ≠1时，由于 1−q 31−q =q 2+q +1>1+q =1−q 21−q，再由a 1>0可得 a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，即 S 3>S 2成立．故“a 1>0”是“S 3>S 2”的充分条件．当公比q ＝1时，由S 3>S 2成立，可得 a 1>0． 当q ≠1时，由 S 3>S 2成立可得a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，再由1−q 31−q >1−q 21−q，可得 a 1>0． 故“a 1>0”是“S 3>S 2”的必要条件．综上可得，“a 1>0”是“S 3>S 2”的充要条件， 8.【答案】 C【考点】 数列的求和 【解析】由题意可知a 0，a 1，a 2，各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．【解答】由题意可知，a 0，a 1，a 2各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法， 由分步计数原理可得共有2×2×2×1＝8种方法，∴ 当a 0取0，1时，a 1，a 2各有2种取法，a 3有1种取法，共有2×2×1＝4种方法， 即集合A 中含有a 0项的所有数的和为(0+1)×4＝4；同理可得集合A 中含有a 1项的所有数的和为(2×0+2×1)×4＝8； 集合A 中含有a 2项的所有数的和为(22×0+22×1)×4＝16； 集合A 中含有a 3项的所有数的和为(23×1+23×0)×8＝64； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和： S ＝4+8+16+64＝92二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 9【考点】平面向量数量积 【解析】根据向量a →、b →的坐标，得到向量a →−b →的坐标，再根据a →−b →与a →的夹角为90∘，得到它们的数量积为0，列式并解之可得实数λ的值． 【解答】解：∵ a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)． ∴ a →−b →=(1−λ, 4) 又∵ <a −b ，a >=90∘，∴ (a →−b →)a →=0，即1×(1−λ)+2×4=0，解之得λ=9 故答案为：9 【答案】 54【考点】分布和频率分布表 频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数． 【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1， ∴ 最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920， 由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人） 【答案】 π【考点】三角函数中的恒等变换应用 三角函数的周期性及其求法【解析】利用二倍角的余弦公式将函数表达式进行降次处理，得y =2+cos 2x ．再由三角函数周期性的结论，可得函数的最小正周期． 【解答】解：∵ sin 2x =12(1−cos 2x)，cos 2x =12(1+cos 2x)∴ 函数y =sin 2x +3cos 2x =12(1−cos 2x)+32(1+cos 2x)=2+cos 2x ． 由此可得函数的最小正周期T =2π2=π故答案为：π 【答案】 1【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】先确定圆心坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心坐标为(2, 0)，则由点到直线的距离公式可得d =√1+3=1∴ 圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离1． 故答案为：1 【答案】−1和0,[−14，3]【考点】 函数的零点函数的值域及其求法 【解析】令f(x)=0，结合x 的范围，求出x 的值，即为所求的f(x)的零点．由函数的解析式可得当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，从而求得f(x)的值域． 【解答】解：∵ 函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.，由{0≤x ≤9x 12=0 解得x =0．由{−2≤x <0x 2+x =0 解得x =−1．综上可得f(x)的零点为−1和0．由函数f(x)的解析式可得，当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，故答案为−1和0，[−14，3]．【答案】 ①②③ 【考点】数列与解析几何的综合 【解析】先确定直线B n−1B n−2的方程，求得y n =y n−2y n−1y n−2+y n−1，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n−1(y n−12,y n−1)，B n−2(y n−22,y n−2)，则直线B n−1B n−2的方程为y −y n−1=1yn−2+y n−1(x −y n−12)令x =0，则y −y n−1=1y n−2+y n−1×(−y n−12)，∴ y =y n−2y n−1y n−2+y n−1∴ y n =y n−2yn−1y n−2+yn−1∴1y n=1y n−1+1y n−2∵ y 1>y 2>0，∴ y n >0，故②正确；1y n−1y n−1=1y n−2>0，∴ y n <y n−1，故①正确；若y 1=4，y 2=3，则y 3=127，y 4=1211，y 5=23，故③正确． 故答案为：①②③．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：(1)∵ A +B +C =π，∴ sin (A +C)=sin (π−B)=sin B ， ∴ 2sin B cos A =sin B .∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12. ∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3.(2)S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin π3=√3，即AB ⋅AC =4①.由余弦定理得：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos A =AB 2+AC 2−AB ⋅AC ，∴ AB 2+AC 2=BC 2+AB ⋅AC =4+4=8，∴ (AB +AC)2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =8+8=16， 即AB +AC =4②，联立①②解得：AB =AC =2， 则AB =2．【考点】诱导公式余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin(A+C)=sin B，代入已知的等式，根据sin B不为0，可得出cos A的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A的度数求出cos A的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sin A的值代入求出AB⋅AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A，求出将cos A，BC 及AB⋅AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB⋅AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．【解答】解：(1)∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sin(π−B)=sin B，∴2sin B cos A=sin B.∵B∈(0, π)，∴sin B>0，∴cos A=12.∵A∈(0, π)，∴A=π3.(2)S△ABC=12AB⋅AC⋅sinπ3=√3，即AB⋅AC=4①.由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A=AB2+AC2−AB⋅AC，∴AB2+AC2=BC2+AB⋅AC=4+4=8，∴(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB⋅AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．【答案】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【考点】古典概型及其概率计算公式分层抽样方法【解析】（1）设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，可得m18=327，所以m=2，由此求得研究性学习小组的人数．（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件一一列举共25个，满足条件的有12个，由此求得2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【解答】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【答案】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面平行【解析】(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC // 平面MFD；(Ⅱ)连接ED，设ED∩FC＝O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．【解答】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【答案】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k2−15k2+6k2⋅k=−1，解得k2=29，符合题意．所以k=±√23．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)利用离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)，可求a，c的值，从而可求椭圆C的方程；(Ⅱ)设将直线l的方程代入椭圆C的方程，确定线段AB的中点为D，利用点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，由此可求k的值．【解答】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k 2−15k 2+6k 2⋅k =−1，解得 k 2=29，符合题意．所以 k =±√23．【答案】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． … 令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】（1）依题意，确定点C 的纵坐标、点B 的横坐标，从而利用梯形的面积公式，即可求得S 关于x 的函数式； （2）先确定函数关系式，再求导数，利用分类讨论的数学思想，确定函数的单调性，从而可求S 的最大值． 【解答】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． …令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【答案】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． …（2）解：(I)因为B 的各项之和为2012，且a ≥b ，所以a 为B 的最大项， 所以|a 1−a 3|最大，即a 1≥a 2≥a 3，或a 3≥a 2≥a 1．… 当a 1≥a 2≥a 3时，可得{b =a 1−a 22=a 2−a 3a =a 1−a 3.由a +b +2=2012，得2(a 1−a 3)=2012，即a =1006，故b =1004．… 当a 3≥a 2≥a 1时，同理可得 a =1006，b =1004．…(II)方法一：由B:b ，2，b +2，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：b −2，b ，2；2，b −2，b −4；b −4，2，b −6；b −6，b −8，2；2，b −10，b −8；b −12，2，b −10．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b ，2，b +2”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B 经过6×83=498次“T 变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”．若数列B 的三项为x +2，x ，2(x ≥2)，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为x ，x −2，2（不考虑顺序）．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4． 因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T 变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502．… 【考点】递归数列及其性质 数列的函数特性数列的求和【解析】（1）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（2）中(I)的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．(II)的解答要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．【解答】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（2）解：(I)因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1−a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…当a1≥a2≥a3时，可得{b=a1−a2 2=a2−a3 a=a1−a3.由a+b+2=2012，得2(a1−a3)=2012，即a=1006，故b=1004．…当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…(II)方法一：由B:b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b−2，b，2；2，b−2，b−4；b−4，2，b−6；b−6，b−8，2；2，b−10，b−8；b−12，2，b−10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x−2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…。
2012高三一模文科分类：统计和概率
2012北京市高三一模数学文分类汇编：8统计与概率【2012年北京市西城区高三一模文】10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】成绩在[16,18]的学生的人数比为2093673136=+++++，所以成绩在[16,18]的学生的人数为54209120=⨯。
【2012北京市门头沟区一模文】13. 某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有 人．数值频率/组距1451251058565452550.0090.0120.01050.00750.0060.003【答案】8【2012北京市门头沟区一模文】某高中校三个年级人数见下表：年级 高一 高二 高三 人数 300300400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 (A)101 (B)401 (C)32 (D)52 【答案】D【2012北京市东城区一模文】(11) 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．【答案】84 乙【2012北京市丰台区一模文】12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若[5.0，5.4]内的 学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是____；样本数据在[3.8，4.2）内的频率是______【答案】【2012北京市石景山区一模文】12．在区间[]9,0上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为 ． 【答案】29【解析】由不等式21log 2x ≤≤，可得42≤≤x ，所以所求概率为920924=--。
2012届北京市高三一模文科数学分类汇编3：三角函数
2012北京市高三一模数学文分类汇编：三角函数【2012年北京市西城区高三一模文】11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 【答案】π【解析】函数x x y 2cos 2cos 212+=+=，所以周期为ππ=22。
【2012北京市门头沟区一模文】10. 在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是 ． 【答案】233 【2012北京市门头沟区一模文】已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于(A)32(B)31 (C)54 (D)52 【答案】C【2012北京市海淀区一模文】（10）若tan 2α=，则sin 2α= . 【答案】45【2012北京市房山区一模文】12．已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.【答案】2，3π【2012北京市东城区一模文】（6）已知sin(45)10α-=-，且090<<α，则cos α的值为 （A ）513 （B ）1213 （C ） 35 （D ）45【答案】D【2012北京市朝阳区一模文】9.若sin θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .【答案】【2012北京市石景山区一模文】3.函数1sin()y x π=+-的图象（ ）【答案】A【解析】函数x x y sin 1)sin(1+=-+=π的图象关于2π=x 对称，选A.【2012北京市石景山区一模文】15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a c o s c o s )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2,4==a A π，求ABC ∆的面积.【答案】解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分 （Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==426sin +=∴C …………11分 A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称2334266221s i n 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ． …………13分【2012北京市朝阳区一模文】15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-. （Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分 【2012北京市门头沟区一模文】15.（本小题满分13分）已知向量)1,(sin -=x a ，)2,cos 3(x b =，函数2)()(b a x f +=． （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域．【答案】解：（I ）由已知222)21()cos 3(sin )()(+-++=+=x x b a x f ……2分化简，得3)62sin(2)(++=πx x f……4分函数)(x f 的最小正周期ππ==22T……6分（II ）]2,4[ππ-∈x ，则67623πππ≤+≤-x ， ……8分 所以1)62sin(23≤+≤-πx……10分函数)(x f 的值域是]5,33[-……13分【2012年北京市西城区高三一模文】15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．【答案】（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ……3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． …………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． …………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． …………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅．………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． …………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………13分 【2012北京市海淀区一模文】（15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知()f A =a =，试判断ABC ∆的形状.【答案】解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 2x x x =+- ………………………………………2分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷ç÷=-ç÷ç÷)6x π=-. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππ-<-<+?Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+?Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()2f A =，所以)6A π-=.所以1sin()62A π-=. ………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ………………………………………9分因为 sin sin a bA B=，a =， 所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分【2012北京市东城区一模文】（15）（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.【答案】解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ , …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+])4x π=-. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分 当442x ππ-=，即316x π=时，()g x当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值1-. …………13分 【2012北京市房山区一模文】15．（本小题共13分）已知ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552c o s =A ，10103cos =B ． （Ⅰ）求()B A +cos 的值；（Ⅱ）设10=a ，求ABC △的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分∴()B A +cos B A B A sin cos cos +=10105510103552⨯-⨯=22=………………………………………7分 （Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A∴ 135=C ………………………………………8分 ∵10=a ，由正弦定理BbA a sin sin =得 555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b ……………………………………11分 ∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………13分 【2012北京市丰台区一模文】15．（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos .a B b C c B -= （I ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求f （A ）的最大值．【答案】。
北京西城区2012年高三一模文科数学试题
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2012年05月23日亲，很高兴访问《北京西城区2012年高三一模文科数学试题》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2012高考数学模拟题的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《北京西城区2012年高三一模文科数学试题》内容能帮助到您。
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数 学（文科） 2012.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B = （ ）
（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C
【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.
2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）
（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31
【答案】D 【解析】输入3=x ，7=y 。
8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.
3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）
（A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<
【答案】D
【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4
<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于。
2012年北京西城高考一模数学(文)
2012年北京西城高考一模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，那么 ______A. B. C. D.2. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为______A. B. C. D.3. 若，，，则下列结论正确的是______A. B. C. D.4. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______A. B. C. D.6. 若实数，满足条件则的最大值为______A. B. C. D.7. 设等比数列的前项和为．则" "是" "的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 已知集合，其中，且．则中所有元素之和是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，．若，则实数 ______．10. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是______．11. 函数的最小正周期为______．12. 圆的圆心到直线的距离是______．13. 已知函数则的零点是______；的值域是______．14. 如图，已知抛物线及两点和，其中．过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了．依此类推，可由，确定，．记，．给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对，；③若，，则．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，已知．（1）求角；（2）若，的面积是，求．16. 某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了名同学．（1）求研究性学习小组的人数；（2）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17. 如图，矩形中，，，，分别在线段和上，，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证： 平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．18. 已知椭圆的离心率为，一个焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．19. 如图，抛物线与轴交于两点，，点，在抛物线上（点在第一象限），．记，梯形面积为．（1）求面积以为自变量的函数式；（2）若，其中为常数，且，求的最大值．20. 对于数列，定义“ 变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“ 变换”记作．继续对数列进行“ 变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（1）试问经过不断的“ 变换”能否结束?若能，请依次写出经过“ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设，．若，且的各项之和为．（i）求，；（ii）若数列再经过次变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．答案第一部分1. C2. D3. D4. B5. A6. B7. C8. C第二部分9.10.11.12.13. 和；14. ①②③第三部分15. （1）由，得由，得，解得因为，所以．（2）由余弦定理，得由及，得由的面积为，得即将代入，得联立，解得．16. （1）设从（）班抽取的人数为，依题意，得，解得．因此，研究性学习小组的人数为．（2）设研究性学习小组中（1）班的人为，，（2）班的人为，，．在次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为共种．其中次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为共种．所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为．17. （1）因为四边形，都是矩形，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以 平面．（2）连接，设，平面平面，且，所以平面，所以，又，所以四边形为正方形，所以，所以平面，且ND在平面NED中，所以．（3）设，则，其中，由（Ⅰ）得平面，所以四面体的体积为，所以，当且仅当，即时，四面体的体积最大，最大值为．18. （1）设椭圆的半焦距为，则由，得，从而．所以，椭圆的方程为．（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去，得因为直线与椭圆有两个交点，所以解得．设，，则．设线段的中点为，则由点，都在以点为圆心的圆上，得，亦即解得，适合．所以．19. （1）依题意，点的横坐标、纵坐标分别为、．点的横坐标满足方程，解得，舍去．所以由点在第一象限，得．所以关于的函数式为，．（2）由及，得．记，则．令，得．由此，①若，即时，与的变化情况如下：极大值当时，取得最大值，且最大值为．②若，即时，恒成立，所以，的最大值为．综上，时，的最大值为；时，的最大值为．20. （1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；．以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．（2）（i）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，所以最大，即，或．当时，可得由，得，即，故．当时，同理可得，．（ii）方法一：由，则经过次“ 变换”得到的数列分别为：；；；；；．由此可见，经过次“ 变换”后得到的数列也是形如“ ”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少．因为，所以，数列经过次“ 变换”后得到的数列为．接下来经过“ 变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，．从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过次“ 变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”．若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“ 变换”得到的数列的三项为（不考虑顺序）．所以与结构相同的数列经过“ 变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．因此，数列经过次“ 变换”一定得到各项为（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“ 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过次“ 变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．。
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北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B = （ ） （A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4)2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）15 （D ）313．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b c a <<（D ）c b a <<4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是O A ，OB ，则复数12zz 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2（B）2（C ）28cm（D ）24cm6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）37．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ） （A ）120（B ）112（C ）92（D ）84第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____. 10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线0x -=的距离是_____.13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ， .记(0,)n n A y ，1,2,3,n = .给出下列三个结论：① 数列{}n y 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =.其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC，求A B ．16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学． （Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，E F ∥A B ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面M FD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．18.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>30)F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．A BCDEF19.（本小题满分13分）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥A B ．记||2C D x =，梯形ABCD 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||C D k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．20.（本小题满分13分）对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设123:,,A a a a ，()B T A =．若:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．（ⅰ）求a ，b ；（ⅱ）若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π；12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③.注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin23A B A C ⋅⋅=所以 228A B A C +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =，研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分 （Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥E F ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分所以 NC ∥M D ， ………………3分 因为 NC ⊄平面M FD ，所以 NC ∥平面M FD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32N F E C E F C V S N E x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222N FEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由3c e a==， 得 a =， 从而2224b a c =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+yx． ………………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分 由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k+=+． …………9分设线段A B 的中点为D ，则21526D k x k=+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1M D k k ⋅=-， ………………11分即 22532611526kk kk++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分 所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分 ① 若13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分 ② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立，所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分 （Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项，所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为2,,2(2)+≥，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的x x x三项为,2,2x x-(不考虑顺序) ．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B经过502次“T变换”一定得到各项为2,0,2(不考虑顺序) 的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．………………13分。