什么是公因数.ppt
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小学数学课件公因数与最大公因数
题目：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，已知其中一个数是45，求另一个数是 多少？
题目：两个数的最大公因数是18，最小公倍数是135，其中一个数是45，求另一个数是多少？
题目：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是105，已知其中一个数是45，求另一个数是 多少？
题目：两个数的最大公因数是10，最小公倍数是80，已知其中一个数是20，求另一个数是多 少？
● 答案：解：设两个数为a和b，已知最大公因数是G=gcd(a,b)=12，最小公倍数是L=lcm(a,b)=180，其中一个数是a=45。 ● 根据gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b，即12×180=45×b，解得b=48。 ● 答：另一个数是48。 ● 题目：有两条彩带分别长60厘米和75厘米，把他们剪成长度相等的小段，最少可以剪多少段。 答案：解：60=2×2×3×5，75=3×5×5，所以60和75的最大公因数是15， 即每 小段的长度是15厘米． 所以最少可以剪成：60÷15+75÷15=3+5=8（段） 答：最少可以剪成8段．
题目：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，已知其中一个数是45，求另一个数是多 少？
题目：两个数的最大公因数是18，最小公倍数是135，其中一个数是45，求另一个数是多少？
题目：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是105，已知其中一个数是45，求另一个数是多 少？
题目：两个数的最大公因数是10，最小公倍数是80，已知其中一个数是20，求另一个数是多少？
举例说明：例如，12和15的公因数是3和1，而最大公因数是3。
举例说明：通过具体例子可以帮助学生更好地理解公因数与最大公因数的概念。 举例说明：使用实际数字或日常生活中的例子可以帮助学生更好地理解抽象概念。
小学数学_公因数和最大公因数教学课件设计
12= 2 × 3 × 2
18= 2 × 3 × 3
2 36 2
……用公有的质因数2去除
9 ……用公有的质因数3去除 3 ……除到公因数只有1为止
12和18的最大公因数是：2×3 ＝6
12和18的最大公因数是：2×3 ＝6 最大公因数：所有公有的质因数相乘。
用短除法求下列每组数的最大公因数。
36和54 45和75
用一用
我们男生有48人
我们女生有36人
男、女生分别排队，要使每排的人数相同， 每排最多有多少人? 分别可以排几排?
动手操作
独立思考 合作交流
பைடு நூலகம்
最大公 因数
公因数
知识
学法
最 公大 因公 数因
数
解决问题 应用
青岛版五年制数学四年级下册第七单元
剪纸中的数学
----公因数和最大公因数
你能找出12和18的公因数和最大公因数吗？
12= 2 × 3 × 2 18= 2 × 3 × 3
12和18的最大公因数是：2×3＝6
最大公因数：所有公有的质因数相乘。
求12和18的最大公因数
2 12 36 2
2 18 39 3
1什么是公因数PPT优秀课件
除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
2021/5/26
10
例 题
求18和30的最小公倍数
• 6 18 30 35
用最大公因数6去除 除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 6 ×3×5＝90
2021/5/26
11
小结
求两个数的最小公倍数，先用这两个数 公因数连续去除（一般从最小的开始），或 用它们的最大公因数去除,一直除到所得的商 是互质数为止，然后把所有的除数和最后的 两个商连乘起来．
1.什么是公因数?
2.什么是最大公因数? 3.求18和30的最大公因数
18的因数:1.2.3.6.9.18
30的因数:1.2.3.5.6.10.15.30
18和30的最大公因数:6
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1
2 18 30
3 9 15
3
5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 2×3＝6
•3和6 6和5
• 3的倍数有:3.6.9.12.15.18 … • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 3和6的最小公倍数是6 • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 5的倍数有:5.10.15.20.25.30 … • 5和6的最小公倍数是30
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6
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8
例题
求18和30的最小公倍数
• 18的倍数:18.36.54.72.90. 108 … • 30的倍数:30.60.90.120 … • 18和30的最小公倍数:90
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例题
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
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例 题
求18和30的最小公倍数
• 6 18 30 35
用最大公因数6去除 除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 6 ×3×5＝90
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小结
求两个数的最小公倍数，先用这两个数 公因数连续去除（一般从最小的开始），或 用它们的最大公因数去除,一直除到所得的商 是互质数为止，然后把所有的除数和最后的 两个商连乘起来．
1.什么是公因数?
2.什么是最大公因数? 3.求18和30的最大公因数
18的因数:1.2.3.6.9.18
30的因数:1.2.3.5.6.10.15.30
18和30的最大公因数:6
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1
2 18 30
3 9 15
3
5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 2×3＝6
•3和6 6和5
• 3的倍数有:3.6.9.12.15.18 … • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 3和6的最小公倍数是6 • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 5的倍数有:5.10.15.20.25.30 … • 5和6的最小公倍数是30
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例题
求18和30的最小公倍数
• 18的倍数:18.36.54.72.90. 108 … • 30的倍数:30.60.90.120 … • 18和30的最小公倍数:90
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例题
2014青岛版数学五下《公因数、最大公因数》ppt课件
18厘米
24厘米
用边长是 4 厘米的正方形，没有 正好摆满，有剩余。
18厘米
24厘米
用边长是 5 厘米的正方形，没有 正好摆满，有剩余。
18厘米
24厘米
用边长是 6 厘米的正方形，正好 摆满，没有剩余。
18厘米
24厘米
要想把长24厘米、宽18厘米的纸剪成 边长是整厘米的小正方形，小正方 形的边长为什么可以是1,2,3,6厘米？ 4和5厘米为什么不行？
几个数公有的因数，叫做这几个数的 公因数。其中最大的一个叫做它们的 最大公因数。
12的因数：1，2，3，4，6，12.
18的因数： 1，2，3，6，9，18.
12和18的公因数： 1，2，3，6
12和18的最大公因数： 6
用短除法求两个数的最大公因数
2 12 18 3
6 2 9 3
……用公因数2去除 ……用公因数3去除 ……除到公因数只有1为止
36和60
20和32
27和9
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9 (1 ) 8 ( 4 ) 36 18 ( 18 ) 72 9 (3 ) 15
5.
女生36人 男生60人
五年级同学参加歌舞表演，每组男女生 人数搭配一样（使他们正好分完，没有 剩余）最多能分成多少组？
剪纸中的学问
——公因数与最大公因数
边长是整厘米的正方形 剪完没有剩余。正方形的边 长可以是几厘米？最长是几 厘米?
用边长是 1 厘米的正方形，正好 摆满，没有剩余。
18厘米
24厘米
用边长是 2 厘米的正方形，正好 摆满，没有剩余。
18厘米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
24厘米
用边长是 3 厘米的正方形，正好 摆满，没有剩余。
《公因数和最大公因数》公倍数和公因数PPT课件2 (共12张PPT)
边长 8cm
用哪种纸片能将下面 的长方形正好铺满?
24cm
36cm
24÷8=3
36÷8=4…4
还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也 能铺满这个长方形?在小组里交流。
边长 4cm
24cm
36cm
24÷4=6 36÷4=9
1 只要边长的厘米数既是 还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也 、2、3、4、6、12既是 24 24 的因数 的因数 ,又是 ,又是 36 36 的因数 的因数 能铺满这个长方形 ,,它们是 就能铺满这个长方形。 24和? 36 在小组里交流。 的公因数。
把15和20的因数、公因数分别填在下面 的圈里,再找出它们的最大公因数。 15的因数 20的因数
5
15
1
3
2 10
4 5 20
15和20的公因数
找出每组数的最大公因数。 5和15 11和33 21和7 60和12 3和 5 12和1 8和 9 4和15
你发现了什么?和大家交流一下。
本课小结
• 今天学习的是什么内容？什么是两个数的公 因数和最大公因数？怎样找两个数的最大公因数？ 你还有什么疑问？
苏教版五年级数学下册
公因数和最大公因数
教学目标
• 1. 认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示
两个数的因数和它们的公因数。
• 2.会用列举的方法找到100以内两个数的公因数和最大
公因数。
边长6cm
边长 8cm
用哪种纸片能将下面 的长方形正好铺满?
24cm
36cm
24÷6=4 36÷6=6
边长6cm
我们可以用下图表示12和18的公因数。 Nhomakorabea12的因数
最大公因数和最小公倍数.ppt
例1表明每两个费尔马数都互素，进而可知 (F0,F1,…,Fn)=1。
定理
定理1 (a1,a2,…,an)=(|a1|,|a2|,…,|an|)。 定理1表明，涉及到最大公因数问题，只
要对非负整数进行讨论就行了。
定 理 2 若 整 数 a,b,c 不 全 为 零 ， 且 a=bq+c ， 则 (a,b)=(b,c)。
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn = ax+by
定理4 若整数a,b不全为零，则存在x,y∈Z,使得 ax+by=(a,b)。
相关定理和推论
推 论 (a,b)=1 的 充 要 条 件 是 有 x,y∈Z, 使 得 ax+by=1
定理5 若d|a,d|b,则d|(a,b)。 定理6 若m∈N，则(ma,mb)=m(a,b)。 定理7 若(a,c)=1，b∈Z,b、c中至少有一个不为
例题
例2 设(a,b)=1,求证(ab,a+b)=1。 证：设（a,a+b）=d,由d|a,d|a+b知d|b,
又由于(a,b)=1，于是d=1； 同理(b,a+b)=1 所以(ab,a+b)=1。
例 3 已 知 f(x) 是 非 零 整 系 数 多 项 式 ， 6|f(2),6|f(3)，求证6|f(6)。 证 明 ： 设 ai∈Z,i=0,1,2,…,n,an≠0 ， 且 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0.
… … ……
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn-1=rnqn+1+rn+1, rn+1=0 这是因为每进行一次带余除法，余数至 少减小1，而b是有限的，所以至多进行b次 带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。 这种方法叫做辗转相除法，也叫做欧几里得 (Euclid)除法。
定理
定理1 (a1,a2,…,an)=(|a1|,|a2|,…,|an|)。 定理1表明，涉及到最大公因数问题，只
要对非负整数进行讨论就行了。
定 理 2 若 整 数 a,b,c 不 全 为 零 ， 且 a=bq+c ， 则 (a,b)=(b,c)。
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn = ax+by
定理4 若整数a,b不全为零，则存在x,y∈Z,使得 ax+by=(a,b)。
相关定理和推论
推 论 (a,b)=1 的 充 要 条 件 是 有 x,y∈Z, 使 得 ax+by=1
定理5 若d|a,d|b,则d|(a,b)。 定理6 若m∈N，则(ma,mb)=m(a,b)。 定理7 若(a,c)=1，b∈Z,b、c中至少有一个不为
例题
例2 设(a,b)=1,求证(ab,a+b)=1。 证：设（a,a+b）=d,由d|a,d|a+b知d|b,
又由于(a,b)=1，于是d=1； 同理(b,a+b)=1 所以(ab,a+b)=1。
例 3 已 知 f(x) 是 非 零 整 系 数 多 项 式 ， 6|f(2),6|f(3)，求证6|f(6)。 证 明 ： 设 ai∈Z,i=0,1,2,…,n,an≠0 ， 且 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0.
… … ……
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn-1=rnqn+1+rn+1, rn+1=0 这是因为每进行一次带余除法，余数至 少减小1，而b是有限的，所以至多进行b次 带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。 这种方法叫做辗转相除法，也叫做欧几里得 (Euclid)除法。
五年级下册数学课件—3.7《公因数与最大公因数》苏教版(2014秋) (共15张PPT)
8和12的公因数
找公因数和最大公因数的妙招
少中求公法 比一比，看谁找得快？
1. 请你找出9和24的公因数和最大公因数。 9的因数：1、3、9。 9和24的公因数：1、3，最大公因数是3。
2、快速说出36和49的公因数和最大公因数 49的因数：1、7、49。 36和49的公因数：1，最大公因数是1。
8的因数
12的因数
8
12 4
3
6 12
8和12的公因数
练习：
12的因数有（ 1、 2、 3、4、6、12 ）；
42的因数有（1、2、3、6、7、14、21、42）；
12和42的公因数有（ 1、2、3、6 ）；
12和42的最大公因数有（ 6
）。
12的因数
42的因数
4 12
12 36
7 14 21 42
15和16 （15,16）=1
7和49 10和40
24和8
（7,49）=7 （10,40）=10 （24,8）=8 倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数。
3和7 1和9
15和16
（3,7）=1 （1, 9）=1 （15,16）=1 公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质关系的两个数，1是这两个数的最大公因数。
快速写出下列各组数的最大公因数
（8，14）= 2 （30，5）= 5 （7，63）= 7 （24，25）= 1 （20，30）= 10 （15，30）= 15 （36，12）= 12 （17，13）= 1 （ 9，15）= 3
（1）两个数的公因数的个数是有限的。
（ √）
（2）两个不同自然数的最大公因数一定比这两个
公因数和最大公因数
这是我家厨房地面的示意图。如果铺正方 形地砖，正好铺满。地砖边长可以是几分 米？（地砖边长是整分米数）
公因数和最大公因数
公因数
2×3=6 6的因数 3×4=12 12的因数
3既是6的因数，又是12的因数，所 以3是6和12的公因数。
最大公因数
概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 其中，最大的一个叫这几个数的最大公因数。
2×4=8
8的因数有1、2、4、8
2×4×3=24
24的因数有1、2、3、4、 6、8、12、24
公因数和最大公因数
求几个数的最大公因数的方法
可以先分别求出这几个数的因数，再求出这几个数的 例：求12 12、 、24 24、 、36 36的最大公因数。 的最大公因数。 例：求 公因数，最后选出最大的公因数。 12=2 ×2×31、2、3、4、6、12 12 的因数有 24=2 ×2×21 × 32、3、4、6、8、12、24 24 的因数有 、 36=2 ×2×31 × 32、3、4、6、9、12、18、36 36 的因数有 、 可以先把几个数分别写成几个质因数相乘的形式，再 则最大公因数为： 22 × 23 × 3=12 它们的公因数有 1、 、 、 4、6、12 把它们共同拥有的几个质因数相乘得到最大公因数。 答： 12、24、36的最大公因数为 12。 它们的最大公因数为 12 答：12、24、36的最大公因数为12.
8和24的最大 公因数为8公因数 Nhomakorabea最大公因数
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
如：4和5、3和11、7和9等。 质数：除了1和自己本身以外，没有其他因数的数。 如：2、3、5、7、11、13等。 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么说这个质 数是这个数的质因数。如：3是6的质因数。
2×3=6 6的因数 3×4=12 12的因数
3既是6的因数，又是12的因数，所 以3是6和12的公因数。
最大公因数
概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 其中，最大的一个叫这几个数的最大公因数。
2×4=8
8的因数有1、2、4、8
2×4×3=24
24的因数有1、2、3、4、 6、8、12、24
公因数和最大公因数
求几个数的最大公因数的方法
可以先分别求出这几个数的因数，再求出这几个数的 例：求12 12、 、24 24、 、36 36的最大公因数。 的最大公因数。 例：求 公因数，最后选出最大的公因数。 12=2 ×2×31、2、3、4、6、12 12 的因数有 24=2 ×2×21 × 32、3、4、6、8、12、24 24 的因数有 、 36=2 ×2×31 × 32、3、4、6、9、12、18、36 36 的因数有 、 可以先把几个数分别写成几个质因数相乘的形式，再 则最大公因数为： 22 × 23 × 3=12 它们的公因数有 1、 、 、 4、6、12 把它们共同拥有的几个质因数相乘得到最大公因数。 答： 12、24、36的最大公因数为 12。 它们的最大公因数为 12 答：12、24、36的最大公因数为12.
8和24的最大 公因数为8公因数 Nhomakorabea最大公因数
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
如：4和5、3和11、7和9等。 质数：除了1和自己本身以外，没有其他因数的数。 如：2、3、5、7、11、13等。 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么说这个质 数是这个数的质因数。如：3是6的质因数。
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想一想
求最大公因数与求最小公倍数的相同点与 不同点
• 相同点:都是用它的公因数去除 • 不同点:求最大公因数是把它的商相乘,求
最小公倍数是把它的商与余数相乘.
两个数有没有最大的公倍数？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数 的公倍数的个数也是无限的．因此，两个数没有最大 的倍数． 举例说明:
• 6 18 30 35
用最大公因数6去除 除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 6
最小公倍数
请在下表中用“△”标出4的倍数,用“○”标出6的 倍数
1
23
4△ 5
67
○
8 9 10
△
11 12△ 13 14 15 16△ 17 18 19 20
○
○
△
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
归纳总结:
如果较大数是较小数的倍数,那么较 大数就是这两个数的最小公倍数.
如果两个数的公因数只有1,那么这 两个数的最小公倍数就是两个数的乘积.
例题 50以内6和8的公倍数有几个？最大的是几？
6的倍数
6 12 18 24 30 36 42 48…
8的倍数
8 16 24 32 40 48 …
例题 50以内6和8的公倍数有几个？最大的是几？
3的倍数有:3 6 9 12 15 18 21 24 27 30… 4的倍数有:4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44… 如果找40以内的5的倍数呢? 5的倍数有:5 10 15 20 25 30 35 40
如果给定一个范围，最大公倍数是存在的
练习
1、已知 A＝2×3×5 B＝3×5×7 A和B和最小公倍数是（210）
○△
△
○
31
32 △ 33
34
35
3○6△ 37
38
39 40
△
41
42 43
○
44
△
45
46
47
4○8 49 50
△
归纳总结:
几个数公有的倍数，叫做这几个数 的公倍数，其中最小的一个，叫做这几 个数的最小公倍数
练
习求: 出下面各组数的最小公倍数
•3和6 6和5
• 3的倍数有:3.6.9.12.15.18 … • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 3和6的最小公倍数是6 • 6的倍数有:6.12.18.24.30.36… • 5的倍数有:5.10.15.20.25.30 … • 5和6的最小公倍数是30
6的倍数 8的倍数
6 12
8 16
42
24 32 40
30 36 48……
6 和 8的 公 倍 数
例题
求18和30的最小公倍数
• 18的倍数:18.36.54.72.90. 108 … • 30的倍数:30.60.90.120 … • 18和30的最小公倍数:90
例题
求18和30的最小公倍数
2 18 30
3×5×2×7
练习
2、已知 A＝2×2×5 B＝（ ）2 ×5×（ ） 7 A和B和最小公倍数是 2×2×5×7＝140 2 × 2 ×5 ×7
A独有的 公有的 公有的 B独有的 质因数 质因数 质因数 质因数
1.什么是公因数?
2.什么是最大公因数? 3.求18和30的最大公因数
18的因数:1.2.3.6.9.18 30的因数:1.2.3.5.6.10.15.30
18和30的最大公因数:6
2 18 30
3 9 15
3
5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 2×3＝6
3 9 15
3
5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
例 题
求18和30的最小公倍数
• 6 18 30 35
用最大公因数6去除 除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 6 ×3×5＝90
小结
求两个数的最小公倍数，先用这两个数 公因数连续去除（一般从最小的开始），或 用它们的最大公因数去除,一直除到所得的商 是互质数为止，然后把所有的除数和最后的 两个商连乘起来．