八年级数学上册专题突破讲练分式方程解题技巧试题(青岛版含答案)

分式方程解题技巧一、分式方程的重要特征 （1）从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征：一是方程；二是方程里含分母；三是分母中含有未知数。

（2）整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。

二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，求得分式方程的解，这是解分式方程的关键。

解分式方程的一般方法和步骤：注意：（1）用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分 母同乘方程两边各项时，不要漏乘常数项；（2）解分式方程可能产生不适合原方程的根，所以检验是解分式方程的必要步骤。

【拓展】 （1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，叫做原方程的增根。

（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子 有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个 根是原分式方程的增根。

三、含有字母的分式方程的解法 在数学式子中的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数.含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪 个字母表示已知数，还要注意题目的限制条件。

例题 1 解关于 x 的方程 a  b  2 ax  b bx  a x解析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

答案：若 a 、b 全不为 0，去分母整理得： (b2  a2)x  2ab ，对 b2  a2 是否为 0 分类讨论：①当 b2  a2  0，即 a  b 时，有 0  x  2ab ，方程无解；②当 b2 a2 0 ，即 ab 时，解之，得 x2ab a2  b2，若 a 、b 有一个为 0，方程为 1  2 ，无解； xx若 a 、b 全为 0，分母为 0，方程无意义；检 验 ： 当 x  2ab 时 ， 公 分 母 (ax  b)(bx  a)  0 ， 所 以 当 ab  0, a  b 时 ， a2  b2x2ab a2  b2是原方程的解。

点拨：这种含有字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里 a 、b 全不为 0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解.当 a 、b 中只有一个为 0 时，方程也存在，但无解；当 a 、b 全为 0 时，方程不存在.最后对字母条件归纳，得出方程的解。

例题 2 如果关于 x 的方程 a  1  b  1 有唯一解，确定 a 、b 应满足的条件。

xa xb解析：显然方程存在的条件是： a  0 且 b  0 答案：若 a  0且 b  0 ，去分母整理，得 (b  a)x  ab(b  a) 当且仅当 b  a  0 ，即 b  a 时，解得 x  ab经检验， x  ab 是原方程的解  a 、b 应满足的条件： a  0且 b  0 ， b  a 点拨：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是 a 、b 全不为 0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件.因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。

例题 3 解方程： 12x 10  32x  34  24x  23  16x 19 4x 3 8x 9 8x  7 4x 5解析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

答案：由原方程得： 3  1  4  2  3  2  4  14x  38x  98x  74x  5即： 2  2  2  2 8x  9 8x  6 8x 10 8x  7于是8x198x68x1 10 8 x7，所以 8x  98x  6  8x 108x  7解得：x=1经检验：x=1 是原方程的根。

分式方程增根的妙用解分式方程可能会产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们解题带来了麻烦，然而巧妙利用增根也可使之“变废为宝”，帮助我们寻找解题途径。

例题 （牡丹江中考）若关于 x 的分式方程 x  a  3  1无解，则 a 。

x 1 x解析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程 (a  2)x  3 ，除了考虑这个整式方程的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况。

答案：方程两边都乘以 x(x 1) ，得 (x a)x 3(x 1)  x( x 1) ，整理得 (a  2)x  3 。

若原方程无解，则有两种情形：（1）当 a  2 时， a  2  0 ，方程 (a  2)x  3 为 0x  3 ，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程 (a  2)x  3 的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。

原方程若有增根，增根为 x  0 或 x 1，把 x  0 代入 (a  2)x  3 ，a 值不存在；把 x 1代入 (a  2)x  3 ，解得 a 1。

综上所述，当 a 1或 a  2 时，原方程无解。

（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 下列方程中不是分式方程的是（ ）A. 1  0 xB. x  2 x 1C. x  1  x 23D. 1  x  1 x 32. 分式方程 3  1 的解为（ ） 2x x 1A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43. 若解分式方程 2x  m  1  x  1 产生增根，则 m 的值是（ ） x 1 x  x xA. -1 或-2 B. -1 或 2C. 1 或 2D. 1 或-2*4. （保定中考）对于非零的两个实数 a、b 规定 a  b  1  1 ，若 2  (2x 1)  1 ，则 x ba的值为（ ）A. 5B. 5C. 3D.- 16426二、填空题5. 若分式方程： 2  1 kx  1 有增根，则 k=。

x2 2x*6. 关于 x 的方程 m  3  1 无解，则 m=______。

x 1 2x  2三、解答题7. 解分式方程： 3  1  4 x  2 x x2  2x**8. 设 A  x ， B  3  1，当 x 为何值时，A 与 B 的值相等。

x 1x2 1**9. 当 m 为何值时，关于 x 的方程 x  1  2m  3 的解等于 0。

x2 m510. （1）当 a 为何值时，方程 x  2  2  a 有増根？ x3 3x（2）当 a 为何值时，方程 3a 1  a 无解？ x 11. C 解析：观察分母中是否含有未知数即可判断出 x  1  x 不是分式方程，故选 C。

232. C 解析：把分式方程化为整式方程再进行求解 3  1 整理得 3x 1  2x ，得 x=3，故2x x 1选 C。

3. D 解析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值，由题意得增根是：x=0 或 x=-1，化简原方程为： 2x 2  m  1  x  12 ，把 x=0 或 x=-1 代入解得 m=1 或-2，故选择 D。

4. A 解析：根据题意得： 1  1  1，去分母得：2-（2x-1）=2（2x-1），去括号得：2-2x+1=4x-2， 2x 1 2解得：x= 5 ，经检验 x= 5 是分式方程的解．故选 A。

665. 1 解析：∵ 2  1 kx  1 去分母得：2（x-2）+1-kx=-1， x2 2x整理得：（2-k）x=2，∵分式方程 2  1 kx  1 有增根，∴x-2=0，2-x=0， x2 2x解得：x=2，把 x=2 代入（2-k）x=2 得：k=1．故答案为：1。

6. 3 解析：把分式方程化为整式方程，再把增根 x=-1 代入，即可求 m 的值。

27. x = 1 解析：把分式方程两边乘以最简公分母 x（x+2）化为整式方程求解，最后要验根。

28. 解：当 A=B，解分式方程 x  3  1。

x 1 x2 1方程两边同时乘以（x+1）（x-1）， 得 x（x+1）=3+（x+1）（x-1）， x+x=3+x-1， ∴x=2。

检验，当 x=2 时，（x+1）（x-1）=3≠0。

∴x=2 是分式方程的根。

因此，当 x=2 时，A=B。

9. 解：把分式方程化为整式方程，求解 x  5m 1  0 ，即可求 m  1 。

m8510. 解：（1）分式方程去分母得：x-2=2x-6+a，由分式方程有增根得到 x-3=0，即 x=3，代入整式方程得：3-2=6-6+a，即 a=1；（2）去分母得：3a+1=ax+a， 由分式方程无解，得到 x+1=0，即 x=-1，代入整式方程得：3a+1=-a+a，即 a=- 1 ． 3。