3 随机误差
误差的分类
误差的分类
根据测量误差的性质和特点，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差（或称疏失误差）三大类。
1．系统误差
系统误差是指在相同测试条件下，多次测量同一被测量时，测量误差的大小和符号保持不变或按一定的函数规律变化的误差，服从确定的分布规律。
系统误差主要是由于测量设备的缺陷、测量环境变化、测量时使用的方法不完善、所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造成的误差。
2．随机误差
在同一测试条件下，多次重复测量同一量时，误差大小、符号均以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。
系统误差与随机误差的划分是相对的，二者在一定条件下可以相互转化，即同一误差，既可以是系统误差，又可以成为随机误差。
3．粗大误差
粗大误差是指在一定的测量条件下，测得的值明显偏离其真值，既不具有确定分布规律，也不具有随机分布规律的误差。
粗大误差是由于测试人员对仪器不了解、或因思想不集中、粗心大意导致错误的读，使测量结果明显地偏离了真值的误差称为粗大误差。
仪表的测量误差名稱：
基本误差；允许误差；绝对误差；相对误差；引用误差；最大引用误差；标称误差；系统误差；偶然误差等.。
误差基础知识
测量结果： 测量结果： 1）测量结果的完整表述：包括测量误差，必要时 测量结果的完整表述：包括测量误差， 测量误差 还应给出自由度和置信概率。 还应给出自由度和置信概率。 2）测量结果的特征：具有重复性和再现性。 测量结果的特征：具有重复性和再现性。 重复性——指在相同测量条件下 相同的测量程序、 重复性——指在相同测量条件下（相同的测量程序、 ——指在相同测量条件 测量仪器、观测者、地点、测量环境、 测量仪器、观测者、地点、测量环境、短期 内的重复测量） 内的重复测量）对同一被测量进行连续多次 测量所得的结果之间的一致性。 测量所得的结果之间的一致性。 再现性(复现性)——指在改变测量条件， 指在改变测量条件 再现性(复现性)——指在改变测量条件，对被测量 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 指在一定的误差范围内， （指在一定的误差范围内，每次测量结果的 可靠性是相同的）。 可靠性是相同的）。
3）相对真值：凡高一级标准器（计量器）的误差是 相对真值：凡高一级标准器（计量器） 低一级或普通测量仪器误差的1/3～ 低一级或普通测量仪器误差的1/3～1/20 1/3 时，则可认为前者是后者的相对真值。 则可认为前者是后者的相对真值。 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 就是指在无系统误差的情况下 观测次数无限时 求得的平均值。 观测次数无限时，求得的平均值。 平均值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 有限次所取得的平均值作为 （最可信赖值）。 最可信赖值）。
（1）测量的目的 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 真值 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 只能接近于真值 手段越先进，越接近于真值。 手段越先进，越接近于真值。 （2）测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 （3）测量结果：根据已有的信息和条件对被测量的 测量结果： 最佳估计，及对真值的最佳估计。 最佳估计 最佳估计，及对真值的最佳估计。
3.3.随机误差的正态分布
1 Φ(u)du = ∫−∞ 2π
+∞
∫
e du =1
欲求测定值或随机误差在某区间出现 的概率P，可取不同的u值对上式积分求面 的概率 ， 可取不同的 值对上式积分求面 积而得到。 积而得到。 例如随机误差在±σ区间 （ u=±1） ， 例如随机误差在 ± 区间（ ± ） 区间 （ u=±2） 即测定值在 ±σ区间出现的概 ± ） 即测定值在µ± 区间出现的概 率是： 率是：
频数 2 6 6 17 22 20 10 6 1 90
频率 0.022 0.067 0.067 0.189 0.244 0.222 0.111 0.067 0.011 1.00
图3-3 频率分布的直方图
二、正态分布 正态分布，又称高斯分布， 正态分布， 又称高斯分布 ，它的数 学表达式即正态分布函数式为： 学表达式即正态分布函数式为：
0.40 0.30
y
0.20 0.10 0.00 -3 -2 -1 0
68.3% 95.5% 99.7%
1
2
3
u
图3-5 标准正态分布曲线
四、随机误差的区间概率 正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积， 正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积， 就等于概率密度函数从-∞至 的积分值 的积分值。 就等于概率密度函数从 至 +∞的积分值 。 它表 示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上述 区间出现概率的总和为100%，即为 。 区间出现概率的总和为 ，即为1。
1 y = f (x) = e σ 2π
−( x−µ) 2σ
2
2
图3-4 正态分布曲线 （µ相同，σ2>σ1） 相同，
µ和 σ值确定了正态分布曲线的位置和形 和 值确定了正态分布曲线的位置和形 这种正态分布用N（ ， 表示。 状，这种正态分布用 （µ，σ2）表示。 正态分布曲线具有以下特点： 正态分布曲线具有以下特点： 1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出 对称性 现的概率相等。 现的概率相等。 2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标 单峰性 x-µ值等于 ，表明随机误差为 的测定值出现 值等于0，表明随机误差为0的测定值出现 值等于 的概率密度最大。 的概率密度最大。 3.有界性 一般认为，误差大于 ±3σ的测 有界性 一般认为， 的测 定值并非是由随机误差所引起的。 定值并非是由随机误差所引起的。
误差的分类
误差的分类
根据测量误差的性质和特点，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差（或称疏失误差）三大类。
1．系统误差
系统误差是指在相同测试条件下，多次测量同一被测量时，测量误差的大小和符号保持不变或按一定的函数规律变化的误差，服从确定的分布规律。
系统误差主要是由于测量设备的缺陷、测量环境变化、测量时使用的方法不完善、所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造成的误差。
2．随机误差
在同一测试条件下，多次重复测量同一量时，误差大小、符号均以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。
系统误差与随机误差的划分是相对的，二者在一定条件下可以相互转化，即同一误差，既可以是系统误差，又可以成为随机误差。
3．粗大误差
粗大误差是指在一定的测量条件下，测得的值明显偏离其真值，既不具有确定分布规律，也不具有随机分布规律的误差。
粗大误差是由于测试人员对仪器不了解、或因思想不集中、粗心大意导致错误的读，使测量结果明显地偏离了真值的误差称为粗大误差。
仪表的测量误差名稱：
基本误差；允许误差；绝对误差；相对误差；引用误差；最大引用误差；标称误差；系统误差；偶然误差等.。
误差分为三种
1.误差分为三种：系统误差、随机误差和过失误差2.误差表示与计算平均误差：标准误差：或然误差：相对误差：仪表示值误差3.判别过失误差的准则：P94.实验数据的表示方法：列表法、作图法、方程式法5.科技文献检索就是在大量的科技文献资料中，根据一定的方法迅速、准确地查出与用户需要相符合的、有参考价值的科技文献资料的过程。
6.科技文献检索的手段：手工检索、计算机检索7.正交试验设计安排：8.正交表的极差分析可以分辨出影响因子的主次，预测更好的水平组合，并能为进一步的实验设计提供数据。
正交表的方差分析可以把因子水平变化引起实验数据间的差异同误差所引起实验数据的差异区分开来，并能定量描述因子的影响作用是否显著。
9.常用的两种固体电解质：氧化锆、β－AI2 O310.氧化物固体电解质电池的工作原理：氧浓差电池工作原理示意图高氧分压端的电极反应为低氧分压端电极反应得电池的总反应为ndnxxii∑∑=-=δ11)(22-=--=∑∑ndnxxiiσ-=+2224)(2OepO IIOepOO IO4)(2222+=-)()(2222IOIIOpOpO=FEG4-=∆IOIIOppFRTE22ln4=11.自由电子浓度与氧压的¼次方成反比，即氧压越低，自由电子浓度越大。
电子空穴的浓度与氧压的¼次方成正比，即氧压越高，电子空穴浓度越大。
12.对一定固体电解质，在一定温度下离子电导率为常数，而电子电导率随压力降低而增大，因此总会在某分压下两者相等。
此时的氧分压P0称为电子导电特征氧分压，与电解质本性有关，是衡量电解质的重要参数。
13.固体电解质传感器的类型：Ⅰ型传感器、Ⅱ型传感器、Ⅲ型传感器14.Ⅰ型传感器的应用领域：（1）各种工业窑炉炉气分析。
（2）控制环境污染。
（3）快速测定钢液中的氧活度。
（4）测定液态金属中的氧含量。
15.电热体类型：金属电热体、非金属电热体16.测温方法：接触式测温、非接触式测温17.测温方法：接触式、非接触式18.选择测温计应考虑的原则：19.热电偶材料的基本要求：20.21.耐火材料的工作特性主要指标有：耐火度、荷重熔化温度、化学稳定性和热稳定性、热导率和导电性。
随机误差名词解释
随机误差名词解释随机误差是指在测量或实验过程中不可避免的、对结果产生随机影响的误差。
它是由许多随机因素引起的，难以精确衡量和控制。
随机误差可以被看作是每次测量或实验的不确定性，可能导致结果在重复测量或实验中有所偏差。
随机误差的产生原因可以是各种不确定因素，包括仪器设备的精度、操作人员的技术水平、环境的变化等。
这些因素都会对结果产生随机干扰，使得测量或实验结果出现偏差。
随机误差具有以下几个特点：1. 无规律性：随机误差是无法预测和重复的，它并不遵循某种明确的规律或趋势。
2. 可以正或负：随机误差的方向可以是正向或负向的，也就是说，在重复测量或实验中，结果有可能高于真实值也有可能低于真实值。
3. 平均值为零：在进行多次独立的测量或实验时，随机误差的平均值趋近于零。
这是因为随机误差的方向和大小在不同次测量或实验中是随机变化的，所以在大量实验中，各次测量或实验的误差均值会相互抵消，得到的平均误差接近零。
4. 可以用统计方法描述和分析：由于随机误差具有随机性，无法准确知道每次测量或实验的误差值。
但可以通过多次测量或实验得到一组误差值，然后用统计方法进行分析，得到误差的分布特点和误差范围。
随机误差对科学研究和实验的结果有着重要的影响。
它的存在使得测量或实验的结果不是绝对准确的，而是在真实值附近波动的。
对于科学研究来说，我们在分析结果时需要考虑到随机误差的存在，将其视为不可避免的随机干扰因素，以便更加准确地评估结果的可靠性。
为了减小随机误差的影响，我们可以采取以下措施：1. 增加重复测量或实验次数：通过增加测量或实验的次数，可以更好地反映出随机误差的范围和分布特点，从而提高结果的可靠性。
2. 使用更精确的仪器设备：提高仪器设备的精度可以减小仪器的测量误差，从而减小随机误差的影响。
3. 严格控制操作条件：在进行测量或实验过程中，要尽量减少其他干扰因素的影响，保持操作条件的稳定性，以减小随机误差的产生。
4. 采用统计方法分析数据：通过运用统计学的知识，对测量或实验数据进行合理的分析，可以帮助我们更好地理解随机误差的特征和影响程度，并提供科学依据。
3随机误差
3- 22
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
最佳估计的意义
由于无法做到无限多次测量，算术平均值只能作为真值的 算术平均值作为测量总体期望的最佳估计量，必须满足无
一个估计；
偏性、有效性、一致性；
ˆ 定义：设 ( X1 , X2 , X n ) 为未知参数 的估计量，
若对任意的 0
放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当
空气尘埃的漂浮、 稳压电源供电电 压的微小波动
测量环境方面的因素
采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差 3- 7
操作人员方面的因素
误差分析与测量不确定度评定
就数据整体而言，具有某种统计规律，这个规律可以用
3- 8
统计直方图来表示。
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
统计直方图
50
统计直方图的分布特征与误 差源的影响程度有关；
40
x 0.1207 s 0.0024 3 0.6069 4 0.3703
30
若误差源的影响程度大致相 等，则统计直方图大致呈现正 态分布特征；
3- 21
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
最佳估计的意义
由于无法做到无限多次测量，算术平均值只能作为真值的 算术平均值作为测量总体期望的最佳估计量，必须满足无
一个估计；
偏性、有效性、一致性；
ˆ ˆ 说明：ˆ1 ，ˆ2 的均值都是 ，是前提。如果 D(1 ) D(2 ) ， ˆ ˆ 也就是说，1 在 附近取值的概率比 2 要来得大，这就是 有效估计的直观意义。
测量误差的分类
在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号均发生变化，其值时大、时小，其符号时正、时负，投有确定的变化规律，也不可以预见的误差称为随机误差c
随机误差主要是由那些对测量值影响较微小，又互相关的多种因素共同造成的。例如热骚动，噪声干扰，电磁场的微变，空气扰动，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等等。由于上述这些因素的影响，从宏观上来看，或者从平均意义上来说，虽然测量条件没变，比如使用的仪器准确的程度相同，周围环境相同，测量人员以同样的细心进行工作等等，但只要测量装置的灵敏度足够高，就会发现测量结果有上、下起伏的变化，这种变化就是由于随机误差造成的。就一次测量而言，随机误差没有规律，不可预见，但是当足够多次测量时，其总体服从统计的规律，多数情况下接近于正态分布。
②周期性系差，它是指在测量过程中，误差的数值发生周期性变化的系统误差。例如测角仪，如果它存在偏心，则各分度线误差的变化就符合这种规律。
②按复杂规律变化的系差，如电工仪表整个分度线上存在的系统误差，其变化规律就属于此类系差。通常只能用曲线、表格或经验公式来表示。
系统误差的特点是，测量条件一经确定，误差就为一确切的数值。用多次测量取平均值的方法，并不能改变误差的大小。系统误差的产生原因是多方面的，但总是有规律的。我们应旧能设法事先预见或找出系统误差的产生根源，针对其产生原因，采取相应的技术措施消除或减弱影响，也可以估计出其影响程度，在测量结果中加以修正。
这种误差的特点与正态分布的特点和规律是相同的，而与按复杂规律变化的系统误差有着本质的区别。因为系统误差服从确切的函数关系，无论规律怎样复杂，如果多次重复测量，该规律仍然不变。随机误差却没有这种重复性。
3．疏忽误差 在一定的测量条件下，测量值明显地偏离其真值(或实际值)所形成的误差称为疏忽误差，又叫做粗大误差。
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误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
【 例 3-1】
用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比 （％）） 3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2 ,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2. 7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3 .6,3.4,3.3 试评价该仪器的测量重复性及其相对标准差。
第三章随机误差
统计直方图
统计直方图在对称性方面有 50 一些偏离理想正态分布的情形。 对于测量状态比较完好的光 电类测量仪器，其随机误差 的分布往往较好的呈现正态 分布的特征 对于测量状态不完好的光电 类测量仪器，特别是对传动 机械部件磨损较严重而规律 尚未掌握的仪器，其测量随 机误差可能就呈现其他分布 的特征。
3- 21
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
一、贝塞尔公式
计算公式
s= 1 ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1
n 2
s 2是方差 σ 2 的无偏估计，但s并不 是标准差 σ 的无偏估计
vi = xi − x 为残余误差，简称残差。
公式意义 总体标准差的估计(实验样本标准差)
3- 22
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
操作人员方面的因素
误差分析与测量不确定度评定
(1) 测量前，找出并消除或减小 其随机误差的物理源; (2) 测量中，采用适当的技术 措施，抑制和减小随机误差; (3) 测量后，对采集的测量 数据进行适当处理，抑制和 减小随机误差。
3- 24
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
置信区间半宽度的常用表示方法
∆ = k ⋅σ
或 ∆ p = k p ⋅σ
σ 标准差
k或k p置信因子
确定置信区间半宽度的关键是在已 估计标准差下如何确定置信因子
3- 25
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
一些常用置信因子对应的置信水平
k
p
3.30 0.999
3- 4
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
一、随机误差产生的原因
举例： 举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确 度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面 面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。 通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息， 可知随机误差来源 结论： 结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、 人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析 寻找主要的随机误差来源。
1 x = n
n
∑
i =1
xi
作为测量结果的最佳估计。
3- 16
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
因为
∑ δ = ∑ x − nx
i =1 i i =1 i
n
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
二、随机误差的本质特征
3- 11
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
随机误差的表述
表述方法
δ i = xi − x0
x0 被测量的真值
xi 一系列测量值，假设各次测
量值中不含有系统误差
3- 12
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
随机误差的抵偿性
【解】
分别计算
x=
2
1 2 s = ∑ ( xi − x ) = 0.19 n −1
1 1 xi = ( 3.4 + L + 3.3) = 3.5 ∑ 50 n
σ (s)
s
s = 0.19 = 0.44
=
1 ≈ 0 .1 0 2 ( n − 1)
故该仪器的测量重复பைடு நூலகம்为0.44%, 其估计相对误差为0.10。
3- 6
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
数据特点
数据列表明，各次测值不尽相同， 这说明各次测量中含有随机误差，这 些误差的出现没有确定的规律，即前 一个数据出现后，不能预测下一个数 据的大小。 但就数据整体而言，却明显具有某 种统计规律，这个规律可以用统计直 方图来表示。
3- 7
误差分析与测量不确定度评定
n
0
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 1 n x = ∑ xi → x0 n i =1
3- 17
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术 平均值是该测量总体期望的一个最佳的估 计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性 满足最小二乘原理
该所有测量值对其算术平均值之差的平 方和达到最小
3- 23
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
第四节 置信区间
本节介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可 用于表述误差界限的置信区间。在置信概率一定的 情况下，置信区间还与误差分布的具体形态密切相 关。本节对置信区间给出一般的数学描述，而且还 要针对几种常见的误差分布进行具体讨论。由于测 量误差分布与测量总体的分布之间对测量数据的描 述方式上，只是相差一个常数值，故以下均按测量 总体分布来描述。
40
x = 0.1207 s = 0.0024 γ 3 = 0.6069 γ 4 = 0.3703
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128 0.13
3- 8
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声 空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动 采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差 3- 9
影响表现在该测量总体服从某种分布 误差大小可以通过标准差来估计 误差界限则可用置信区间表示
3- 14
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
第二节 算术平均值
本节主要介绍算术平均值的意 义以及如何计算算术平均值的 标准差。
3- 15
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
一、算术平均值的意义
在等权测量条件下，对某被测量进 行多次重复测量，得到一系列测量 x 值1 , x2 ,..., xn ,常取算术平均值
3- 5
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
150次的面形峰谷值数据
0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121
在正态分布条件下，满足最大似然原理
该测量事件发生的概率最大
3- 18
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差
10次算术平均值与单次测量的分布关系 10次算术平均值与单次测量的分布关系
σ
1
σ
2
=
σ
1 0σ
1
2
两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只 是分散性不同。 3- 19
误差分析与测量不确定度评定
第三章随机误差