2019版高考数学(文)一轮复习全国经典版：第2章 函数、导数及其应用 2-11
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.8函数与方程课后作业理(2021年整理)
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2。
8 函数与方程[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·临汾三模）已知函数f（x)、g(x）：则函数y＝f[g（x)］的零点是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析由题意,g(x)＝1，∴x＝1，故选B。
2．(2017·衡水调研）方程｜x2－2x｜＝a2＋1(a>0）的解的个数是（) A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析∵a>0，∴a2＋1〉1，而y＝｜x2－2x|的图象如图，∴y＝｜x2－2x｜的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B。
3．若函数f(x）＝2ax2－x－1在（0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（－1，1）B．［1，＋∞)C．（1，＋∞) D．(2，＋∞）答案C解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a〉1.若Δ＝0，即a＝－错误!，函数的零点是x＝－2，不合题意,故选C。
4．(2017·浙江嘉兴测试）已知函数f(x）＝错误!x－cos x，则f（x)在［0,2π］上的零点个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析函数f(x）＝错误!x－cos x的零点个数为错误!x－cos x＝0⇒错误!x＝cos x的根的个数，即函数h(x)＝错误!x与g(x)＝cos x的图象的交点个数．如图所示，在区间［0，2π］上交点个数为3，故选C.5．(2017·河南新乡三模)若函数f(x）＝log2(x＋a）与g（x）＝x2－（a ＋1）x－4（a＋5）存在相同的零点，则a的值为( )A．4或－错误!B．4或－2C．5或－2 D．6或－错误!答案C解析g(x)＝x2－（a＋1）x－4（a＋5)＝(x＋4)［x－（a＋5）］，令g（x）＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4）＝log2(－4＋a）＝0或f(a＋5)＝log2(2a ＋5)＝0,解得a＝5或a＝－2。
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶 函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． 可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.
2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的表示法课时作业理.docx
第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用25指数与指数函数课后作业文.doc
2. 5指数与指数函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.给出下列结论:3 .2①当白〈0时，（/） =/；② 勺了=|引（刀>1,刀GN*,刀为偶数）；丄③ 函数=2） 2 -（3^-7）°的定义域是｛』妙2且心弓；④若 5 =0. 3, 0. 7A =0. 8,则 ab>0.其屮正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案B32解析（旳 >0, /0,故①错误. ・.・玄0,方>0,/• ④错误•故选B.A. (0, 1) C. (2, 3)答案B2.设函数"与 尸（护 的图象的交点为（血旳），则Ab 所在的区间是（B. (1,2) D. (3,4)解析如图所示，设f\x) =x ,f(O)<g(O), f(l)〈g(l), f(2)>g(2), f(3)>g(3), ・・・.(1,2).故选B.3.(2017 •北京模拟)已知函数f(x)=a,其屮$>0且臼H1,如果以卩5,心)),0(疋,HQ)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x)・HQ等于( )A. 1B. aC. 2D. a答案A解析T以P(x\,<?(x2,代对)为端点的线段的屮点在y轴上，・・・xi + x2=0.X V/(^r) = a,・• f\x^=a \ • 3\=3^\=3=\,故选A.4. (2018 -沈阳模拟)若关于x 的方程9'+ (4+a)・3r +4=0有解,则实数&的取值范围 为() A. ( — 8, —8) U [0, +°°) C. [—8, —4]答案D斗彳解析 V a+4=— 令 3x =f(f>0),则一'~^=-3力+4 一 丁W — 4,・••自+4W —4,所以自的范围为(―°°, —8].故选D.5. (2018 •南昌质检)定义在R 上的偶函数,当x> — 2时，/'(%) =e l4'1 —2(e 为 自然对数的底数)，若存在k 凯 使方程f3= 0的实数根那丘(&一1, &),则&的取值集合 是()A. {0} ] C. {-4,0}I 答案D解析・・•偶函数厂匕一2)的图象关于y 轴对称， 函数y=f\x)的图象关于x=_2对称. ・・•当 x>-2 时,/U)=e x+*-2,・・・f3=e+ — 2 在(一2, +8)上单调递增,且 /(-1)<0, f(0)=e —2>0.由零点存在定理可知，函数f\x) =eE —2在(一1, 0)上存在零点. 由函数图象的对称性可知，当*—2时，存在唯一零点%e(-4, -3).由题意，方程A%) = 0的实数根尬£伙一1,力，则斤一1 = 一4或斤一1 = 一1, k=_3 或k=0.故选D.6. 函数f^=x~bx+c 满足Al+x)=Al-x)且f(0)=3,则f (方、)和現刃的大小关 系是() A. fUlC B. C.B. 大小关系随x 的不同而不同答案A解析 ・・・f(l + x)=f(l —方，・"3图象的对称轴为直线X=l,由此得b=2. 又 f(0) =3, c=3.f(x)在(一g, 1)上递减，在(1, +s)上递增.若心0,则332—1,・•・ f(3“)2f(2”).B. (-8, -4) D. (-co, -8]t+~因为所以 B. {-3} D. {-3,0}若水0,则3X2X1,・•・ f(3j>f(2j.・・・f(3jNf(2》故选A.7. (2018 •长春模拟)若存在正数才使2”匕一&)〈1成立，则白的取值范围是() A. ( — 8, +oo) B. (—2, +°°) C. (0, +oo)D. (-1, +oo)答案D一日与的图象.由题意，在（0，+8）上，直线有一部分在曲线的下方.观察可知, 有一臼<1,所以a> —1.故选D.8. （2017 •江西南吕二模）已知函数y=f\x ）是周期为2的周期函数，且当^[一1, 1] 时，/U ）=2W -1,则函数F （0=f （0 —|lg 才|的零点个数是（）B. 10C. 11D. 18答案B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y=fU 与y=|lg”的大致图象（如图），由图象 可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F （0=f （0 —|lg”的零点个数是10,故选B.99. （2018 •宜宾模拟）己知惭数f\x ） 4+-j-pY ，（0, 4）,当x=a 时，取得最 小值b,则函数=产的图象为（）解析不等式2\x~a ） <1可变形为X — 6?< 平面直角坐标系内作出直线尸才A. 9 （分•在同答案A解析 (0,4)，・・・无+1>1当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1. • •日=2 9 /?= 1 9十打 x^-1.象及选项可知A 正确.故选A.1 + f X10・（2018 •蒙城模拟）设"，/R,函数曲满足宀匸厂厂，若心）+心）=1, 则f\xi + x2)最小值是(4 B. 2 C -5答案 x —r/口 z 、 e'— 12‘可得/W=7+T=1_F H ,即为 e X i +X 2=exl + e 7+3, 由 e \ + e ^2^V^, 即有e 首2^2萨兀+3, 解得書兀23,即e V X2^9,当且仅当加=私取得等号,9 ."3=L 4+币 =^+1+卄19-5心0,此函数可以看成函数尸 < 卩）的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图A. 4 解析由心）+心）=1,可得击+比詁，r+卄 1 -5=1,*—1,此时皿）=2网=22 4则心+ Q=1—p 石Ml —审冷4 即有最小值为石故选C. 5二、填空题召111. （2018 •浦东检测）关于x 的方程 "=匕只有正实数解，则日的取值范围是只有正实数解,解得1〈日〈2.・・・臼的取值范围为（*，2）12. （2018・东湖调研）已知函数f （x ）=（分，且a>b>c>0,则上 大小关系为 .答案f x解析由题意一^可以转化为心上的点与原点连线的斜率,根据函数代力=£),设 JU, f(a)), B(b, W C(c, f(c)), 观察图象知• f日 / b f c • • \ • N •a b c13. (2018 •深圳一模)下列四个函数中：®y= ②y= 1 og 2(x+1):③尸一匚士;解析 ，7_|_ 1玄一1>0,整理得2a-12-a>0. f b答案④尸在(0, +®)上为减函数的是 ___________________ ・(填上所有正确选项的序号)答案①④解析当XW (0, +8)口寸：①x增大时，心增大,一心减小，即y减小，・•・函数y=—心在(0, +8)上为减函数；②/增大时，/+1增大，log2(x+1)增大，即y增大，・：函数y=log2(x+1)在(0, +°°)上为增函数；③/增大时，卄1增大，占减小，—占增大，即y增大，・°・函数y=—计了在(0, +8)上为增函数；④/增大时，/一1增大，减小，即y减小，・・・函数尸(少7在(0, +8)上为减函数.・••在(0, + 8)上为减函数的是①④.14.(2018 •济南模拟)己知呂(方=站+1, f(力=2"—1, 0WxW2,'。
2019版高考数学文高分计划一轮课件：第2章函数、导数
解析
∵f(x)为奇函数，且在 (－∞，0)内单调递减，
∴f(x)在(0，＋∞)内也单调递减，
又∵f(－2)＝0， ∴f(2)＝0， 函数 f(x)的大致图象如图， ∴xf(x)<0 的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选 C.
3．小题热身 (1)(2015· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)为偶函 1 数，则 a＝________.
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) (2)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数， 若在(－∞， 0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( √ ) (3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝a 对称．( √ ) (4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图象关 于点(b,0)中心对称．( √ )
(2)奇偶函数的性质 ①奇函数的图象关于 关于 y 轴 对称．
坐标原点 对称； 偶函数的图象
②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性， 则 其单调性 相同 ； 若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有 单调性，则其单调性 相反 ．
2．函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义， 即 f(0)有意义， 那么一定有 f(0)＝0 . (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型， 即 f(x) ＝0，x∈D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集．
第2章
函数、导数及其应用
2.3
函数的奇偶性与周期性
基础知识过关
[知识梳理] 1．函数的奇偶性 (1)定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 个 x， 都有 f(－x)＝f(x) ， 那么 f(x)就叫做偶函数； 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么 f(x)就叫做奇函数．
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理
经典题型冲关
题型 1 函数的概念 典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}， 下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中 都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则这两个函数相等． (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交 点．
值域 ．
表示函数的常用方法有 解析法、图象法和 列表法 ．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ， 其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部 分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0， 等函数；D 项，由 解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同， 不是相等函数．故选 A.
3．小题热身 －x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝ 的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第2章函数、导数及其应用 2-2
本题用定义法．
解 (1)由 2f(1)＝f(－1)，
可得 2
2－2a＝
2＋a，得
a＝
2 3.
(2)证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2
＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
＝ x21＋x121＋－x22x22＋1－a(x1－x2)
典例3 求函数 f(x)＝x－ln x 的单调区间．
本题采用导数法． 解 由题意，得 x>0. y′＝1－1x＝x－x 1.由 y′＝0 解得 x＝1. 列表如下：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0
＋
y
1
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调
递减区间为(0,1)．
[条件探究] 若本典例变为 f(x)＝ax＋ln x．研究单调区 间时，应注意什么问题？
＝(x1－x2)
x1＋x2 x21＋1＋ x22＋1
－a.
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，
∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调
递减．
方法技巧 确定函数单调性(区间)的常用方法
1．定义法：本例采用了定义法．一般步骤为设元→作 差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了 便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的 形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及 不等式的性质进行判断．见典例．
解析 由 x2－4>0 得 x<－2 或 x>2.令 u＝x2－4，易知 u ＝x2－4 在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数， y＝log1 u 为减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故
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1 3 2 6．[课本改编]函数 f(x)＝ x －x －3x－1 的图象与 x 轴 3
3 的交点个数是________ ．
解析 f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞， －1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由 f(x) 2 极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝ ＞0，知函数 f(x)的 3 图象与 x 轴的交点个数为 3.
5．[2017· 浙江高考]函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图 象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
解析 观察导函数 f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值 从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0，
∴对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增． 观察选项可知，排除 A，C. 如图所示，f′(x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2，x3，且 x1，x3 是极小值点，x2 是极大值点，且 x2>0，故 选项 D 正确．故选 D.
考点 2
函数的极值与导数
1．函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值 都小 ，且 f′(a)＝0，而且在 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点 a 叫做函数的 极小值点，f(a)叫做函数的极小值；
解
x2 (1)当 a＝－1 时， f(x)＝－ln x＋ ＋3， 定义域为(0， 2
1 ＋∞)．则 f′(x)＝－ ＋x. x
f′x＜0， 由 得 0＜x＜1.所以函数 f(x)的单调递减区 x＞0，
间为(0,1)．
(2)因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 f′(x) a ＝ ＋x＋a＋1≥0 在(0，＋∞)上恒成立，所以 x2＋(a＋1)x x ＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0 在(0，＋∞)上恒成立． 因为 x＋1＞0，所以 x＋a≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立， 所以 a≥0.即实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．
若本例中的函数变为 f(x) ＝ ex(ax2 － 2x ＋ 2)(a＞0)．试讨论 f(x)的单调性．
)
解析
2 1 x－2 f′(x)＝－ 2＋ ＝ 2 ，∵x>0பைடு நூலகம்∴当 x>2 时， x x x
f′(x)>0，f(x)是增函数；当 0<x<2 时，f′(x)<0，f(x)是减函 数，∴x＝2 为 f(x)的极小值点．
4． [2018· 苏锡常镇一调]f(x)＝ex－x(e 为自然对数的底数) 在区间[－1,1]上的最大值是( 1 A．1＋ e C．e＋1 B．1 D．e－1 )
第2章
函数、导数及其应用
第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 函数的导数与单调性的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数．
[必会结论] 1．若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]内一定 有最值． 2．若函数 f(x)在[a，b]内是单调函数，则 f(x)一定在区 间端点处取得最值． 3．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相 应的极值点一定是函数的最值点．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1 2 (1)函数 y＝ x －ln x 的单调减区间为(－1,1)．( × ) 2 (2)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函 数 y＝f(x)的极值．( × ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不 一定是极小值．( √ )
解析 f′(x)＝ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝0.令 f′(x) ＞0，得 x＞0，令 f′(x)＜0，得 x＜0，则函数 f(x)在(－1,0) 上单调递减，在 (0,1)上单调递增， f(－1)＝e 1 ＋1，f(1)＝e
－
1 1 －1，f(－1)－f(1)＝ ＋2－e＜ ＋2－e＜0，所以 f(1)>f(－ e 2 1)．故选 D.
2．函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附 近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函数的 极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
考点 3
函数的最值与导数
2． [课本改编]函数 y＝x2(x－3)的单调递减区间是( A．(－∞，0) C．(0,2) B．(2，＋∞) D．(－2,2)
)
解析 y′＝3x2－6x，由 y′＜0，得 0＜x＜2.
2 3．[课本改编]设函数 f(x)＝ ＋ln x，则( x 1 A．x＝ 为 f(x)的极大值点 2 1 B．x＝ 为 f(x)的极小值点 2 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
1．函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值． (2)将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较， 其中 最大 的一个是最大值，最小 的一个是最小值．
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例 1
利用导数研究函数的单调性
1 2 [2018· 大庆模拟]已知函数 f(x)＝aln x＋ x ＋(a 2
＋1)x＋3. (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数 a 的 取值范围．