第二章_特殊三角形单元水平测试(含答案)
浙教版八年级上《第2章特殊三角形》单元测试(3)含答案解析
《第2章特殊三角形》一、选择题1．下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．角D．有一个内角为60°的直角三角形2．下列命题的逆命题正确的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）A．6 B．8 C．4 D．125．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（）A．36°，108°B．36°，72°C．72°，72°D．36°，108°或72°，72°6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，BD=5cm，则点D 到AB的距离是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ．1，2，3B ．1，1，C ．1，1，D ．1，2，8．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）A ．6B ．12C ．32D ．6410．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ．下列结论中，正确的结论有（ ）①CE=BD；②△ADC 是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB ；④S 四边形BCDE =BD •CE ；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ．14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为．15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为．16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为．18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．三、解答题（共50分）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．26．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．《第2章特殊三角形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．角D．有一个内角为60°的直角三角形【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．下列命题的逆命题正确的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等【考点】命题与定理．【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定义分别对各逆命题进行判断．【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以A选项错误；B、全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的三角形为全等三角形，所以B选项错误；C 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以C 选项正确；D 、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以D 选项错误．故选C ．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．无法确定【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边∴当另一边为3时3+3=6不符，∴另一边必须为6，∴周长为3+6+6=15．故选B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键4．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ）A ．6B ．8C ．4D ．12【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD 的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，故可得出S 阴影=S △ABD ，由此即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，∴BD=BC=3，AD ⊥BC ，∴BD===4，∵同底等高的三角形面积相等，∴S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，∴S 阴影=S △ABD =BD •AD=×3×4=6．故选A ．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．5．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（ ）A ．36°，108°B ．36°，72°C ．72°，72°D ．36°，108°或72°，72°【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】因为等腰三角形的一个内角为36°，没明确是底角还是顶角，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当36°为顶角时，其它两角都为×（180°﹣36°）=72°；②当36°为底角时，其它两角分别为36°，108°．故选D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个角是底角哪个角是顶角时，应分类讨论．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BC=4cm ，BD=5cm ，则点D 到AB 的距离是（ ）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【考点】角平分线的性质；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出CD的长，再过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：∵Rt△BCD中，BC=4cm，BD=5cm，∴CD===3cm，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质，根据题意作出辅助线是正确解答本题的关键．7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【考点】解直角三角形．【专题】新定义．【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】网格型．【分析】先根据勾股定理求出△ABC各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．【解答】解：由图形可知：AB==2，AC==，BC==5，∵AB2+AC2=（2）2+（）2=25，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，比较简单．9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）A ．6B ．12C ．32D ．64【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A 4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD 交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】三角形综合题．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，故①正确；∠ABD=∠ACE，∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°﹣（∠BCG+∠CBG）=180°﹣90°=90°，∴BD⊥CE，∴S=BD•CE，故④正确；四边形BCDE由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；只有AE∥CD时，∠AEC=∠DCE，∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，无法说明AE∥CD，故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选C【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．【考点】命题与定理．【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．【解答】解：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的是角平分线上的点”．故答案为：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．【点评】根据逆命题的定义来回答，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案为：3．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= 40°．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ACD是等腰三角形，然后根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【解答】解：∵D是斜边AB的中线，∴CD==AD，∴∠DCA=∠A=20°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=20°+20°=40°．故答案是：40°．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，理解直角三角形的性质是关键．14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为17 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb =Sa+Sc=12+5=17．故答案为：17．【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为3．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×=3．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3．故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8 ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为3cm ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8cm；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=10cm，EF=DE=λcm，EC=（8﹣λ）cm；由勾股定理得：BF2=102﹣82，∴BF=6cm，∴CF=10﹣6=4cm；在△EFC中，由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3cm．故答案为：3cm．【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为 4 ．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE 和AD即可．【解答】解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BA C=90°，∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∵CE=2，BD=6，∴AE=6，AD=2，∴DE=AE﹣AD=4，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为2﹣2 ．【考点】旋转的性质．【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=C′E，根据阴影部分面积为得出×C′E ×C′E=2，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【解答】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=C′E，∵阴影部分面积为，∴×C′E×C′E=2，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=C′E=2，∴B′E=2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解．【解答】解：①如图1，当AD=BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+42，解得，BD=5（cm），则t==（秒）；②如图2，当AB=BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：AB===4，则t==4（秒）；③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t==（秒）；综上所述，t的值可以是：；故答案是：【点评】本题考查了等腰三角形的判定．注意要分类讨论，以防漏解．三、解答题（共50分）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．【分析】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）将图中75°的角分成35°和40°的两个角，则可将图1分割成两个等腰三角形；（2）作其中一个底角的角平分线即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．主要利用两角相等来求证三角形是等腰三角形．因此作底角的平分线即可．24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BDA=50°+x°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．∴∠BAD=∠BDA=50°+x°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，即2x+50+x+50+x=180，解得x=20．∴∠BAD=∠BDA=50°+20°=70°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°+20°=90°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．【考点】勾股定理；轴对称的性质．【分析】（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根据等腰三角形的判定方法得到△ACE为等腰三角形，则AC=CE，由点F是点C关于AE的对称点，根据对称的性质得到AD垂直平分FC，则AF=AC，则CE=AF；（2）在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AC==2，所以CD=AC，故∠DAC=30°；同理可得∠DAF=30°，所以∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，∴△ACE为等腰三角形，又∵点F是点C关于AE的对称点，∴AF=AC，∴CE=AF；（2）解：在Rt△ACD中，CD=1，AD=，根据勾股定理得到：AC==2，∴CD=AC，∴∠DAC=30°．同理可得∠DAF=30°，在Rt△ABD中，∠B=20°，∴∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．26．（10分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90°°．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE=∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B=∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；（2）①由（1）的结论即可得出α+β=180°；②同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；∴∠CAE=∠BAD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠B=∠ACE；∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；故答案为90°；（2）①由（1）中可知β=180°﹣α，∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；②当点D在射线BC上时，如图1，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠ABD﹣∠ACB=∠BAC=α，∴α=β．【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．。
【浙教版】八年级数学上：第二章-特殊三角形单元测试题(含答案)
第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（2，2）C、（3，2）D、（4，2）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A、27B、18C、18D、94、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A、AC=ADB、AB=ABC、∠ABC=∠ABDD、∠BAC=∠BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、75°B、60°C、45°D、30°6、对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（）A、a2＞b2B、a2＜b2C、a2≥b2D、a2≤b27、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A、0B、1C、D、8、用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A、假定CD∥EFB、已知AB∥EFC、假定CD不平行于EFD、假定AB不平行于EF9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（）A、2B、C、D、10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）A、a2+b2=c2B、b2+c2=a2C、a2+c2=b2D、c2﹣a2=b2二、填空题（共8题；共24分）11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是 ________ ．（只添加一个）13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________ m2．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．三、解答题（共5题；共40分）19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．四、综合题（共1题；共6分）24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。
2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷(解析版)
2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥56．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为（用含a的代数式表示）．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：．18．下列说法中，正确的有（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．23．等边三角形有条对称轴．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．故选：D．【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等得判定的理解和掌握，解得此题的关键是根据A、B、C选项给出的已知条件都可判断出三角形全等，所以答案就很明显了．2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．【解答】解：A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，有两个角相等，是等腰三角形；∴有两个角分别为50°，80°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的判定是解题的关键．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选：B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥5【分析】对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．【解答】解：假设：“好”≥5，则“客”＝1，故“好“＝7或9．若“好”＝7，则“居“＝3，引出矛盾；假设：“好“＝9，则“居’’＝9，引出矛盾．故“好’’≤4．显然“好“≠1；假设：“好”＝2，则“客”≤4，只有“客“＝4，从而“居”＝7，引出矛盾；假设：“好”＝3，则“客“≤2，但若“客”＝1，则“居”＝7，引出矛盾；假设：“客“＝2，则“居“＝4，引出矛盾．故只有“好”＝4．故选：C．【点评】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．6．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°【分析】依据轴对称的性质，即可得到∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，进而得出∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，再根据∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O，即可得出结论．【解答】解：由轴对称可得，OP＝OP1、AP＝AP1，而AO＝AO，∴△AOP≌△AOP1（SSS），∴∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，同理可得，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的两条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，添加条件AC＝DE，BC＝EF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：如图所示∵在Rt△ACB和Rt△DEF中，∴Rt△ACB≌Rt△DEF（SAS）．故答案为：两条直角边．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为75°或15°．【分析】首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．【解答】解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝＝75°；如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝∠ABC＝15°．综上所述：∠APB的度数为75°或15°．故答案为：75°或15°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．【解答】解：用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点，故答案为：两条直线相交，有两个或两个以上交点．【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中三角形中每一个内角都小于60°．【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为180°﹣2α（用含a的代数式表示）．【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，再根据四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝2∠BDC＝2α，即可得到∠ABC＝180°﹣2α．【解答】解：如图所示，连接BE，∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，∴∠BCD＝∠BED，又∵∠BED+∠AEB＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，∴∠ABC＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及四边形内角和的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，推出∠P1OP2＝90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，进而得出∠EPF＝90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．【解答】解：∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，∴OP＝OP1＝OP2＝，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2∠AOP+2∠BOP＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△P1OP2是等腰直角三角形，∴P1P2＝＝2，设EF＝x，∵P1E＝＝PE，∴PF＝P2F＝﹣x，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，∴∠EPF＝90°，∴PE2+PF2＝EF2，即（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：A、B、D、E中的任一个均可．【分析】根据轴对称图形的概念，分析得出可以看成轴对称图形的字母．【解答】解：大写字母是轴对称的有：A、B、D、E等．故答案可为：A、B、D、E中的任一个均可．【点评】此题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，难度一般．18．下列说法中，正确的有②③④（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．【分析】根据轴对称图形的定义判断①②；根据等腰三角形的判定判断③；根据平行线的判定判断④；根据等腰三角形线段的性质判断⑤．【解答】解：①梯形、平行四边形不是轴对称图形，故本项错误；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分，本项正确；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形，本项正确；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，本项正确；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为50°，50°或80°，20°，故本项错误，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义、等腰三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形线段的性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定，求出BC＝DC，根据直角三角形全等的判定定理HL推出两三角形全等即可．【解答】证明：连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．【分析】（1）如图1，将∠BAC＝100°，∠DAC＝36°代入∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE＝∠AED＝72°，那么∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝32°；（2）如图2，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC得到∠BAD＝n﹣100°，从而得出结论∠BAD ＝2∠CDE；（3）如图3，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC+∠DAC得到∠BAD＝100°+n，从而得出结论∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE ≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．【解答】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE，∴∠CNE≠90°，这与CD⊥EF相矛盾，∴AB⊥EF．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【分析】假设x2+2x﹣1＝0，根据一元二次方程的解法解出方程，证明方程的两个根小于即可．【解答】解：假设x2+2x﹣1＝0，x＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵2，∴，∴﹣1+，∴x1＜，易得x2＜，这与已知相矛盾，∴假设不成立，∴如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．23．等边三角形有3条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3【点评】本题考查了轴对称的性质，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？【分析】根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可．【解答】解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．【点评】本题考查的是轴对称和轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为6．【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点B关于AE的对称点F即可；（2）即DC与EF的交点为G，由四边形ADGE的面积＝平行四边形ADCE的面积﹣△ECG的面积求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝＝＝6．（2）如图2所示：重叠部分的面积＝S ADEC﹣S△GEC＝×（2+2）×4﹣＝8﹣2＝6．故答案为：6．是解题的【点评】本题主要考查的是轴对称变换，重叠部分的面积转化为S ADEC﹣S△GEC 关键．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据对称性，作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．【解答】解：过点A作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，与小河l交于点P，点P就是马饮水的地方．则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点，如图所示：在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，∴AM＝8，在Rt△BNA′中，A′N＝AM＝8，BN＝BM+MN＝6+2＝8，∴A′B＝＝8≈11.3．答：他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米．【点评】本题考查了最短路线问题、近似数和有效数字，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。
第2章 特殊三角形 浙教版八年级上册数学测试卷(含答案)
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形一、选择题1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝34，b＝54，c＝13．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）A．50°B．65°或50°C．65°D．80°4．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）A．16B．15C．14D．135．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．直角都相等B．全等三角形的对应角相等C．在Rt△ABC中，30°角所对的边是斜边的一半D．在△ABC中，a、b、c为三角形三边的长，若a2=(b+c)(b―c)，则△ABC是直角三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）A ．1cmB ．43cmC ．53cmD ．2cm8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．x 2+42=102B ．(10―x)2+42=102C ．(10―x)2+42=x 2D ．x 2+42=(10―x)29．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在△ABC 中，AB =2，∠B =60°，∠A =45°，点D 为BC 上一点，点P 、Q 分别是点D 关于AB 、AC 的对称点，则PQ 的最小值是（ ）A．6B．8C．4D．2二、填空题11．在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为 .12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= °．15．如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 ．16．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．三、解答题17．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，BC=DC．求证：∠1=∠2．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC=5，BC=9，AD=4，求AB的长．19．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．20．如图所示，若MP和NQ 分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．22．（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE （2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F，．若BF=BC，求证：EH=EC．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】2612．【答案】同位角相等，两直线平行13．【答案】∠A=60°（答案不唯一）14．【答案】3015．【答案】1216．【答案】90°17．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=90°又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中AC=AC BC=DC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠1=∠2．18．【答案】21319．【答案】48°20．【答案】（1）12；（2）30°．21．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴M 是BC 的中点，∵AB ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，∴AM ＝AB 2―BM 2=52―32＝4，∴△ABC 的面积＝12BC•AM ＝12×6×4＝12；（2）解：过点B 作BN ⊥AC 于点N ，如图所示：∵BD ＝AB ，∴AN ＝DN ＝12AD ，∵△ABC 的面积＝12AC•BN ＝12×5•BN ＝12；∴BN ＝245，AN ＝AB 2―BN 2=75∴AD ＝2AN ＝145．22．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠ABC=∠BCA.∴在△AEC 和△CDB 中AE =CD ∠EAC =∠DCB AC =CB∴△AEC ≌△CDB （SAS ）∴BD=CE.（2）证明：如图：由（1）△AEC≌△CDB，∴∠ACE=∠CBD.∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，即∠ABD=∠ECB.∵BC=CF，∴∠BCF=∠BFC，又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，∴∠ECH=∠H，∴EH=EC.23．【答案】（1）241（2）当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5；（3）当t的值为5或11时，PD平分∠APC．。
浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷(较易)《含答案解析》
浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( )A. B. C. D.2.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A=78∘，∠C′=48∘，则∠B的度数为( )A. 48∘B. 54∘C. 74∘D. 78∘3.在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是.( )A. 4B. 5C. 6D. 84.在等腰三角形ABC中，腰长AB=8，底边长BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 185.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A. AB=2BDB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. ∠B=∠C6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线.若∠A=36∘，则图中的等腰三角形有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.下列命题的逆命题是真命题的是( )A. 对顶角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 若a=b，则|a|=|b|D. 等腰三角形是轴对称图形8.下列命题中，其逆命题是假命题的是( )A. 若a=b，则a2=b2B. 若ab=1，则a与b互为倒数C. 直角三角形两个锐角互余D. 角平分线上的一点到角的两边距离相等9.具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是( )A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A−∠B=∠CC. ∠A:∠B:∠C=1:2:3D. ∠A=∠B=2∠C10.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且(a+b)(a−b)=c2，则( )A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. 不是直角三角形11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500m，则该沙田的面积为( )A. 7.5km2B. 15km2C. 75km2D. 750km212.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )A. AC=DF，BC=EFB. ∠A=∠D，AB=DEC. AC=DF，AB=DED. ∠B=∠E，BC=EF第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E，F是AD上的任意两点.若△ABC的面积为10cm2，则图中阴影部分的面积为cm2．15.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的，这两个定理叫做．16.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少是________m．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
第二章 特殊三角形单元评估及答案
第二章 特殊三角形单元评估（满分100分，时间60分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1、等腰三角形的两条边长是3和6，则它的周长是（ ）A 、12B 、15C 、12或15D 、15或18 2、已知∠A =37°，∠B =53°，则△ABC 为（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、以上都有可能 3、如图在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，则图中互为余角的有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对 4、下列图形中，对称轴最多的是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 5、在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是110°，要使△ABC 为等腰三角形，则底角∠B 的度数是（ ）A 、70B 、55°C 、70°或55°D 、60° 6、下列判断正确的是（ ） A 、顶角相等的的两个等腰三角形全等 B 、腰相等的两个等腰三角形全等C 、有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D 、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等7、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A =20 º，则∠BDC =（ ） A 、30 º B 、40 º C 、45 º D 、60 º 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形 9、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ） A 、中线上 B 、角平分线上 C 、高线上 D 、不能确定10、已知如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC =( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6二、填空题（每题4分，共24分） 11、在△ABC 中, ∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，点D 为AB 的中点，则CD ＝____ _cm. 12、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若∠B ＝25°，则∠CAD ＝__________° 13、在△ABC 中, ∠A ＝120°，∠B ＝30°，AB ＝4cm ，则AC ＝＿＿＿.14、有三枝木棒其中两枝的长分别是5cm ，13cm ，已知这三枝木棒首尾相连，能组成一个直角三角形，则第三枝木棒的长是 cm.15、E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边AB 上的两点，AF =AC ，BE =BC，B D CA ED B A C EA B CR P Q则∠ECF =______．16、如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 是BC 边上的任意点，DE ⊥AB 于E 点，DF ⊥AC 于F 点，则DE+DF = .三、解答题（46分） 17、（ 8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.（1）请你在图1中画出两条平行线，要求每条直线至少经过两个格点（网格的交点），但是又不与网格线重合；（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形. （3）请你在图3中画一个以格点为顶点，三边都不与网格线重合的直角三角形 （4）请你在图4中画一条以格点为端点，长度为10的线段.图1 图2 图3图418、（6分）如图，在△ABC 中， P 是的BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q ，交CA 的延长线于点R ，若AQ=AR ，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由.19、（6分）给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形，并在图上给出相应的说明．20、（本题6分）等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，求EC 的长度.21、（10分）如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =90度，E 是AB 上一点，且AE =BC ，∠1=∠2（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由（3分）； （2）AB ＝AD ＋BC （3分） （3）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由.（4分）21ED CBA C22、（10分）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC 于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P. （1）请说明△PQR是等边三角形的理由；（3分）（2）若BD=1.3㎝，则AE= ㎝（填空）（3分）（3）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.（4分）参考答案第二章 特殊三角形单元评估 1-10. BCCBC DBABA11. 5；12. 40；13. 4㎝；14. 12或194；15. 45°；16. 3 17.略；18.是，略；19. 略；20.524；21.（1）全等，理由略；（2）略；（3）是，理由略； 22.（1）略，（2）2.4，（3）34㎝。
第2章 特殊三角形单元测试卷(标准难度 含答案)
浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中不正确的是( )A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. l垂直平分AB，且l垂直平分CDD. AC与BD互相平分2.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC+∠BCF=150∘，则∠AFE+∠BCD的大小是( )A. 150∘B. 300∘C. 210∘D. 330∘3.如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD//AB，交BC于点D，OE//AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有( )A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个4.如图，∠MON=6∘，点A在OM上，设OA=a.按下列要求作图：以A为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A1，得第1条线段AA1;再以A1为圆心，a为半径向右作弧，交OM于点A2，得第2条线段A1A2;再以A2为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A3，得第3条线段A2A3⋯⋯这样作下去，直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，则m的值为．( )A. 12B. 13C. 14D. 155.如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD=BE，CD=CF，∠EDF=50°，则∠A的度数为( )A. 65°B. 80°C. 40°D. 30°6.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是( )A. 15°B. 30°C. 50°D. 65°7.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A. B.C. D.8.命题“如果|x|−|y|=0，那么x，y互为相反数”的逆命题是( )A. 如果|x|，|y|互为相反数，那么x−y=0B. 如果x，y互为相反数，那么|x|−|y|=0C. 如果x−y=0，那么|x|，|y|互为相反数D. 如果|x|−|y|=0，那么x−y=09.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形10.如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2−MB2等于( )A. 9B. 35C. 45D. 无法计算11.如图，AD//BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED.若AD=2，BC=3，则△ADE的面积为．( )A. 1B. 1.5C. 2D. 312.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且点B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，AD=CE，则∠BAC的度数为( )A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如下图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，且CD=5，AD=13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为．14.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC，交AB于点M，交AC于点N.若BM+CN=12，则线段MN的长为．15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且D是AB的中点.若△DEF的周长是11，则AB=．16.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ//AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是______．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
浙教版八年级上册数学 第2章 特殊三角形 单元测试卷(含答案解析)
浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D.2.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 55°，55°B. 70°，40°或70°，55°C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°3.如图，ΔABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于E，若∠B=32°，AC=CE，则∠C的度数是（）A. 52°B. 55°C. 60°D. 65°4.以下命题：（1）如果a＜0，b＞0 ，那么a + b＜0；（2）相等的角是对顶角；（3）同角的补角相等；（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A. a＝32，b＝42，c＝52B. a＝9，b＝12，c＝15C. ∠A：∠B：∠C＝5：2：3D. ∠C﹣∠B＝∠A6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，则ED的长（）A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F.若DG ＝GE ，AF ＝3，BF ＝2，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为（ ）A. √55B. 2√55B. C. 4√55 D. 4√338.如图，将长方形 ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为 EF ， EF 与 AC 交于点O 若 AE =5 ， BF =3 ，则 AO 的长为（ ）A. √5B. 32√5C. 2√5D. 4√59.如图，在 Rt △ABC 中， ∠ACB =90° ，点H 、E 、F 分别是边 AB 、 BC 、 CA 的中点，若 EF +CH =8 ，则 CH 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE=BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF 的长为（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 4二、填空题（共8题；共24分）。
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第二章特殊三角形水平测试
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )
A．线段B．等腰三角形C．直角三角形D．圆2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( ) A．17 B．22 C．13 D．17或22
3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( )
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE ⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( )
A ．AC=2A
B B ．AC=8E
C C ．CE=21
BD D ．BC=2BD
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点，有以下判断：①DE=AC ；②DE ⊥AC ；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE ．其中正确结论的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，以点A 和点B 为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出 ( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
9．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC
于D ，M 为AD 上任一点，则MC2=MB2等于 ( )
A ．9
B ．35
C ．45
D ．无法计算
10．若△ABC 是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一
点D ，D 到△ABC 各边的距离都相等，则这个距离等于 ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．
12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC 的长为__________．
13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．
14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC 边上的中线BD的长为______cm．
15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；
(2)_____________；(3)_____________．
16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC
边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．
18．(6分)如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.
19．(6分)如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等
腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．
20．(8分)如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．
21．(8分)如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．
22．(10分)如图，已知点B，C，D在同一条直线
上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC
于点F，AD交CE于点H．
(1)说明：△BCE≌△ACD；
(2)说明：CF=CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由．
23．(10分)如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形
的顶点分别在相互平行的三条直线l1,l2,l3上，且
l1,l2之间的距离为2，l2,l3之间的距离为3，求AC
的长．
24．(12分)如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．说明：
(1)BD=DE+EC：
(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其他条件不
变，则BD与DE，EC的关系又怎样?请写出结果，不必写过程．
(3)若直线AE绕点A旋转到
图(3)时(BD＞CE)，其余条件不
变，问BD与DE，CE的关系如
何?请直接写出结果．
参考答案
第2章水平测试
1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C l0．A ll．36°12．6cm或12cm 13．4 14．6.5 l5．解：答案不唯一，
∠E=30°，∠ABD=∠DBC=30°，BD ⊥AC 等 l6．5 17．解：BD=CE 或BE=CF 说明△BDE ≌△CDF 18．解：作PF ⊥OB 于F ，∴PF=PE ∵OC 平分∠AOB ∴∠l=∠2 ∵PD ∥0A ∴∠2=∠3 ∴∠l=∠3 ∴PD=OD=4 ∴PE=PF=21
PD=2
19．解：∵△ABC 是等边三角形 ∴AC=BC ∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=90°∴BC=CD ∴AC=CD ∴∠CAD=∠ADC=2180A
∠-︒ =230180︒
-︒ =75°∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=75°+60°=
l35°20．解：∵△ABC 为等边三角形 ∴⎪⎭⎪⎬
⎫=∠=∠=BE CD AC AB 21⇒△ABE ≌△ACD ∴
AE=AD ∴∠DAE=∠BAC=60°∴△ADE 为等边三角形 21．解：∵BD=BE ∴∠l=∠2=2180B
∠-︒ ∵CD=CF ∴∠3=∠4=2180C
∠-︒ ∵∠
EDF+∠2+∠3=180°∴∠EDF=180°-(∠2+∠3)= 180°-（2180B
∠-︒+23180∠-︒ ）=21
（∠B+∠C ）=21(180°-∠A)= 2
1
（180°-80°）=50°
22．解：(1) ∵△ABC 和△CDE 都是正△ ∴BC=AC ，∠BCE=∠ACD=120° CE=CD ∴△BCE ≌△ACD(SAS)
(2)∵△BCE ≌∠ACD ∴∠CBF=∠CAH 又∵BC=AC ，∠BCF=∠ACH=60°∴△BCF ≌∠ACH(ASA) ∴CF=CH(3) △CFH 是等边三角形，理由：∵CF=CH ，∠FCH=60°∴△CFH 是等边三角形 23．解：分别过A ，C 作AE ⊥l3，CD ⊥l3，垂足分别为E ，D 由题意可知AE=3，CD=2+3=5 又∵AB=BC ，∠ABE=∠BCD ∴Rt △AEB ≌△CBD(AAS) ∴AE=BD=3 ∴CB2=BD2+CD2=32+52=34 ∴
2
AC2=AB2+CB2=34×2=68 ∵AC＞0 ∴AC=68=17
24．解：(1) ∵△ABC为等腰直角三角形∴∠BAE+∠EAC=90°∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠AEC=90°∠BAE+∠ABD=90°∴∠EAC=∠ABD ∵AB=AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD=EC ∴BD=AD+DE=EC+DE (2)BD=EC+DE仍成立(3)BD=EC+DF仍成立。