初一数学竞赛系列讲座
初一数学竞赛系列讲座
解法1:将方程按a整理得:(x+ｙ－2）ａ=ｘ－2y-5,
∵这个关于ａ的方程有无穷多个解,所以有
由于x、y的值与a的取值无关,所以对于任何的a值，方程组有公共解
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,并把不等号改变方向后,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
二、例题精讲
例１ 解方程
分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x＋1）、（x-1）项,因而可将（ｘ＋１)、(ｘ-1）看作整体，先进行移项合并,则能化繁为简。
６、不等式的基本性质和同解原理
不等式的基本性质
(1)(１)反身性如果a>ｂ，那么b＜a
(2)(2）传递性如果a>b，b＞ｃ,那么ａ>c
(3)（3）平移性如果a＞ｂ，那么a+ｃ>b＋c
(4)(4)伸缩性如果ａ>ｂ，ｃ>0,那么aｃ>ｂｃ
如果ａ＞b，ｃ＜０,那么ac＜bc
不等式的同解原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
4、不定方程
不定方程(组）是指未知数的个数多于方程个数的方程(组）。它的解往往有无穷多个,不能唯一确定，对于不定方程（组),我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+ｂy=c (ａ、b互质）有一组整数解为x０,ｙ0，则此方程的全部整数解可表示为：
人教七年级上学期竞赛入门辅导讲义,共十讲,很实用
又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）
又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除．求x，y
第一讲数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除．
0能被所有非零的整数整除．
一些数的整除特征
除数
2或5
4或25
8或125
3或9
11
能被整除的数的特征
末位数能被2或5整除
末两位数能被4或25整除
末三位数能被8或125整除
各位上的数字和被3或9整除（如771，54324）
数和最犬的公约数．
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．
7．在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个．
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不
能被3整除的数共有几个？为什么？
11己知五位数1234A能被15整除，试求A的值．
初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步
初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步1、知识要点1、代数式定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
2、代数式的值定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
4、求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。
代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。
求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
2、例题精讲例1、轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千米(b<a)，甲乙两码头间相距S千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时千米。
分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。
解因为轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千米(b<a)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是逆流所用时间是，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。
例2一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长。
为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟。
如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。
A、 B、 C、 D、分析：这是行程问题中的相遇问题。
解部队的行军速度为米/分。
t1分钟内，队尾的战士比部队多走了a米，则他的速度为米/分=米/分。
他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为(分) 选C例3 若a<b<c，x<y<z，则下面四个代数式的值最大的是( )A、ax+by+czB、ax+cy+bzC、bx+ay+czD、bx+cy+az分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。
初一数学竞赛讲座二
初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数一、知识要点1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。
如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。
性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。
性质3 偶完全平方数是4的倍数。
性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。
性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。
2、 质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。
定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
3、 质数与合数的有关性质(1) 质数有无数多个(2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。
大于2的质数必为奇数。
(3) 若质数p ∣a •b ，则必有p ∣a 或p ∣b 。
(4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p.(5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,其中p 1<p 2<…<p k 是质数，a 1，a 2，…，a k 是正整数。
二、例题精讲例1 有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是解 设所求的四位数为m 2，它的百位数字为a ，则有m 2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，所以11∣(2a+5)，由题意 a+3≤9，故a ≤6，从而a=3于是所求的四位数为4356例 2 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。
特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。
初中数学竞赛讲座——数论部分4（辗转相除法与最大公约数）
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室唐一良数学工作室第四讲第四讲 辗转相除法与最大公因数辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，）成立，且q ，r 是唯一的。
是唯一的。
证明：【存在性】作整数序列证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得使得qb ≤a <(q +1)b 成立。
成立。
令a -qb =r ，即证存在性。
，即证存在性。
【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。
的。
如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。
即证唯一性。
，这是不可能的。
即证唯一性。
【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。
这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
为带余除法定理，是整除理论的基础。
2．最大公因数：．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。
的公因数。
若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。
记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。
若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。
互素。
记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
初中数学竞赛辅导专题讲座
初中数学竞赛辅导专题讲座标题：初中数学竞赛辅导专题讲座尊敬的各位家长和同学们，欢迎来到这次专题讲座。
本次讲座旨在为各位同学提供初中数学竞赛辅导，帮助大家更好地备战比赛，提升数学能力和自信心。
一、认识初中数学竞赛初中数学竞赛是一项以初中学生为参赛对象的数学竞赛活动，其目的是通过竞赛激发学生学习数学的兴趣和积极性，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
竞赛内容涉及几何、代数、概率与统计等多个领域，对参赛者的数学基础和解题能力有较高的要求。
二、辅导方法1.题目练习：通过做题的方式，加深对知识点的理解和掌握。
建议同学们选择一些经典的数学竞赛题目进行练习，以达到举一反三的效果。
2.思路讲解：在解题过程中，引导学生思考，找出解题的方法和思路。
通过讲解，让学生理解解题的思路和步骤，提高解题效率。
3.知识点梳理：将竞赛内容按照知识点进行分类，帮助学生梳理知识体系，让学生对知识点有一个全面的了解。
4.团队协作：在辅导过程中，鼓励学生进行讨论和交流，培养团队协作精神。
通过合作，让学生互相学习，发现自己的不足之处，提高自己的解题能力。
三、重点难点分析1.重点：初中数学竞赛的重点在于掌握数学的基本知识和解题方法，学会灵活运用知识点进行解题。
此外，还需要具备较强的思维能力和逻辑推理能力。
2.难点：初中数学竞赛的难点在于题目难度较高，需要学生有较好的数学基础和较强的思维能力。
同时，题目涉及的领域较广，需要学生具备综合运用知识的能力。
四、总结与展望通过本次讲座，同学们可以更好地了解初中数学竞赛的内容和方法，掌握一些解题技巧和思路，提高自己的数学能力和解题效率。
也希望大家能够在平时的学习中，多加练习，积累经验，为日后的数学学习和竞赛打下坚实的基础。
最后，祝愿各位同学能够在数学竞赛中取得优异的成绩，为自己的未来发展添砖加瓦！。
初一数学竞赛系列讲座(10)_5
初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（二）一、一、知识要点1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。
它们满足如下基本关系式：工作效率⨯工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1”2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。
如盐、糖、酒精等。
溶剂：能溶解溶质的物质。
如水等。
溶液：溶质和溶剂的混合体。
如盐水、糖水、酒精溶液等。
溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。
浓度的基本算式是：%100⨯=溶液量溶质量浓度二、二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。
(1999年全国初中数学联合竞赛试题)解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得：⎩⎨⎧⨯=+⨯=+c b a c b a 1641640240 解得⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：61032031601010=+=+c c c c b a评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。
实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。
例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。
B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。
为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。
问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。
将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+=++=++150596053 452430*********y x y x y x x y y x 去分母得，由此可解得x=15答：乙、丙二队合作了15天评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。
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初一数学竞赛系列讲座(9)应用题（一）一、知识要点1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。
2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3) 根据这个相等关系列出方程；(4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) 写出答案(包括单位名称)。
3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。
它们满足如下基本关系式： 速度⨯时间=路程4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。
解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。
二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。
车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需217小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。
解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+(2) 2172035(1)93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。
例如代入消元法、加减消元法等。
由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得(x+y)(201+351)=9+217 所以 x+y=2103512012179=++ (3)(1)-(2)得 (x -y)(201-351)=9-217 所以 x-y=703512012179=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+ 所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
例2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔724分钟迎面开来一辆公共汽车。
如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于 分钟。
(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。
若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6分钟追上小宏。
另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处，它经过724分钟与小宏相遇。
由此可列出两个方程。
解：设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=)(724)(6b a ax b a ax 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。
解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。
例3 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。
由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。
司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。
问A 、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。
解：如图，设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息 A D C E B 由已知， AD 是AC 的三分之一，也就是AD =21DC 又由已知，EB=21CE 两式相加得：AD+ EB=21DE 因为DE=400千米，所以AD+ EB=21⨯400=200千米， 从而A 、B 两市相距400+200=600千米评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。
例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v 1、v 2、v 3千米，且满足v 1> v 2> v 3> v >0，其中v 为河流的水流速度。
它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。
在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：S i =(v i -v)⨯1+v ⨯1= v i ⨯1(i=1、2、3)第i 号赛艇追上浮标的时间为：()11=⨯=-+=ii i i i v v v v v S t (小时) 由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。
评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。
例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。
已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是甲，V 乙的运动速度是乙V ，丙的运动速度是丙V ．设环形轨道长为L 。
甲比乙多运动一圈用时50秒，故有甲V －乙V ＝50L ① 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有甲V －丙V ＝40L ② ②－①可得到乙V －丙V ＝40L －50L ＝200L ③ 4＝丙乙－乙甲－V V V V ④ 5＝－丙乙丙甲－V V V V ⑤ 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离＝（甲V －丙V ）×30－（ 甲V －乙V ）×10； 乙追上丙所用时间＝丙乙－乙、丙之间距离V V ＝－－丙乙丙甲－30⨯V V V V 1104015010＝－＝丙乙－乙甲－⨯V V V V 秒．所以第110秒时，乙追上丙．评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和⨯时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差⨯时间。
例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。
解：设十位上的数为x ，则个位上的数为3 x ，百位上的数是x+7由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926答：这个三位数是926评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。
例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。
解：设大数为x ，则小数为999-x ，由题意得)1000999(61000999x x x x +-=-+ 解这个方程得：x=857, ∴999-x=142答：大数为857，小数为142。
例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为AB ，过了1小时里程碑上的数字为BA ，又行驶了1小时里程碑上的数字为A0B ，求每次看到的数字和卡车的速度。
分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。
解：依题意得：BA -AB =A0B -BA ，即AB +A0B =2BA ，所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B因为A 、B 取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。
评注：本题得到的是一个不定方程，通过A 、B 是1到9的自然数来求出A 、B 。
三、巩固练习选择题1、甲、乙二人从M 地同时出发去N 地，甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半的时间以每小时b 千米的速度行走；乙以每小时a 千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b 千米的速度行走。
若a ≠b ，则( )先到达N 地。
A 、甲B 、乙C 、二人同时到达D 、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )A 、24千米B 、12千米C 、48千米D 、40千米3、某人从A 地步行到B 地，当走到预定时间时，离B 地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B 地。
已知AB 两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )A 、2千米/时B 、4千米/时C 、5千米/时D 、6千米/时4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( )A 、43B 、34C 、25D 、525、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是( )A 、1.5B 、1.9C 、3.25D 、4.3756、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。
有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有( ) (第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题)A 、1个B 、4个C 、10个D 、超过10个填空题7、早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。
两辆汽车的速度都是每小时60千米，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。
到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。
则第一辆车是8点 分离开化肥厂的.8、甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。
现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。
走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B 地。
甲走全程的平均速度是 千米/小时。
(第六届迎春杯初赛试题)9、一船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要 昼夜10、一个六位数9abcde 的4倍是abcde 9，则这个六位数是11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、21、19，则这四个数中最大的一个是12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位自然数的个数是解答题13、一列客车的速度是60千米/时，一列货车的速度是45千米/时，货车比客车长135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1分30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？14、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔313分钟相遇一次，若反向跑步则每隔40秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。