2012 广东各地一模 打包(二)

肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =-，23z i =+，则复数12z z z =⋅在复平面内对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．已知集合2{|10},{|560}M x x N x x x =-<=-+>，则M N = A. {|1}x x < B.{|12}x x << C.{|3}x x > D. ∅ 3. 命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( )A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>4．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。

根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为Ａ．0.67（小时） Ｂ．0.97（小时） Ｃ．1.07（小时） Ｄ．1.57（小时） 5．已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则 A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数 6.已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 A ．1 B ．5 C.5 D ．557．已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且4VA =，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是A. 12B.24C.27D.368．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是A.6-B.1-C.4D.69.已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1sin 2y x =的图象，那么函数()y f x =的解析式是 A.1()sin 222x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 1()sin 222f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. 1()sin 222x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．观察下图2，可推断出“x ”应该填的数字是A ．171B ．183C ．205D ．268二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．高三某班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13y92 79 97 89 64 47 83 68 7159根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是 ▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩 是 ▲ 分（结果保留整数）.12.已知椭圆的方程是125222=+y ax (5a >),它的两个焦点分别为12,F F ,且12||8F F =,弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点1F ,则2ABF ∆的周长为 ▲ 13．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=,那么xy的最大值是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 ▲15.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,2AC =，则BD 等于 ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-.（I ）求{}n a 的通项n a 和前n 项和n S ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,证明数列{}n b 是等比数列. 17. （本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,35A b ==. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin(2)A B -的值；18.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。

交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图4所示：(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ (Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率.19.（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -如图5-1所示，其三视图如图5-2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.（Ⅰ）求此四棱锥的体积；(Ⅱ)若E 是PD 的中点，求证：AE ⊥平面PCD ；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若F 是PC 的中点，证明：直线AE 和直线BF 既不平行也不异面.20. （本小题满分14分）已知圆C 与两圆22(4)1x y ++=，22(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n .(Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12。

若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）设函数2()1(,)f x ax bx a b R =-+∈,(),(0)()(),(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩(Ⅰ)若(1)0f =且对任意实数均有()0f x ≥恒成立，求()F x 表达式；(Ⅱ)在（1）在条件下，当[3,3]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； (Ⅲ)设0,0,0mn m n a <+>>且()f x 为偶函数，证明()()F m F n >-.肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（文科）参考答案1D 解析：(1)(3)42z i i i =-+=-在复平面内对应的点位于第四象限 2A 解析：{|1}{|2M N x x x x =<< 或3}{|1}x x x >=<3C 解析： (,)x y ∃的否定是(,)x y ∀，2330x y ++<的否定是2330x y ++≥. 4B 解析：一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比， 即070.514 1.011 1.511 2.070.9750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）。

5D 解析：定义域为(1,1)-，又()(),()()f x f x g x g x -=-=-，所以选D6D 解析：B (4,3)(2,1)(42,3)λλλλ+=+-=-+a b ，∵()λ+⊥a b b , ∴(42,3)(2,1)0λλ-+∙-=,解得1λ=,2(8,6)(2,1)(10,5)λ-=--=a b 22|2|10555λ-=+=a b7C 解析：可证四个面都是直角三角形，其面积112342352722S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 8D 解析：画图可知，四个角点分别是(0,2),(1,1),(1,1),(0,2)A B C D --，可知max 6A z z == 9D 解析：对函数1sin 2y x =的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把1sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移2π个单位，得到解析式1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21倍，就得到解析式1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 10B 解析:由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即2222134662+++=，22222458109+++=，所以“x ”处该填的数字是222235710183+++=，所以选B ．11解析：16.5(3分)；77（2分）将学习时间重新排列为：24，23，20，19，17，16，16，15，13，11可得中位数是16.5；由已知得回归方程为ˆ 3.5313.5yx =+ 当x=18时，yˆ=3.53×18+13.5=77.04≈77.故该同学预计可得77分左右. 12解析：414. ∵5a >,∴椭圆的焦点在x 轴上.∴22254a -=, 41a =.由椭圆的定义知2ABF ∆的周长为4441a =. 13解:3 用数形结合法,设y k x =,则y kx =表示经过原点的直线,k 为直线的斜率.所以求xy的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值.从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切,此时的斜率就是其倾斜角∠EOC 的正切值.易得||2,||3OC CE r ===,可由勾股定理求得||1OE =,于是可得到||tan 3||CE k EOC OE =∠==,即为x y 的最大值.14解析：4. 将直线与圆的方程化为直角坐标方程分别为：2y x =+和222(2)2x y +-=，显然直线过圆心，故所求的弦长即圆的直径4．15解析:6. 由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去). 又∵PA·PB=PC·PD,PB PC PD PA =,∠P=∠P,∴△PAC ∽△PDB.∴31155===PD PA BD AC . 故36BD AC ==16解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，（2分）解得13a =，2d =-．（4分）所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（6分）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+．（8分） （Ⅱ）∵25n a n =-+，∴55(25)22n n a n c n ---+=== ∴22n cn n b == （9分）∵11222n n n n b b ++==（常数）∴数列{}n b 是等比数列. （12分）17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：520252030100++++=人， 四川籍的有：151055540++++=人，（4分） 设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得510040x =，解得2x = 即四川籍的应抽取2名. （7分）(Ⅲ)（方法1）用12345,,,,a a a a a 表示被抽取的广西籍驾驶人员，12,b b 表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件的总数为：121314151112{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a a a a a b a b ，2324252122{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a a a b a b ，34353132{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b ，454142{,},{,},{,}a a a b a b ，515212{,},{,},{,}a b a b b b 共21个，（9分） 其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件的总数为：121314151112{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a a a a ab a b ，2324252122{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a a ab a b ，34353132{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b ，454142{,},{,},{,}a a a b a b ，5152{,},{,}a b a b 共20个。