安徽省淮南市2017届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷(扫描版)
2017届安徽省高三下学期高考仿真模拟考试数学(文)试题word版含答案
2017届安徽省高三下学期高考仿真模拟考试数学（文）试题全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(1)已知复数z =z 是z 的共轭复数，则=z z ⋅（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 14（2）设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =-==-≥，，则A C B =R （ ）(A)[)1 2-， (B)[)2 +∞， (C)[]1 2-， (D)[)1 -+∞，（3）如图，给出了样本容量均为7的A B 、两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则（ ）(A)12r r = (B)12r r <(C)12r r >(D)无法判定(4) 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且a a a 42475=⋅，12=a ，则=a 1（ ）(A)21(B)22 (C)2 (D) 2(5) 给出下列关于互不重合的三条直线m 、l 、n 和两个平面α、β的四个命题：①若α⊂m ，A l =⋂α，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ， βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l =⋂，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是（ ）(A) ①③④ (B) ②③④ (C) ①②④ (D) ①②③（6） 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现有周长为ABC △满足))sin :sin :sin 11A B C =+，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（ ）（7）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）(A)32π (B)112π3 (C)28π3 (D)64π3（8）在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行上面的程序框图，则输出3y ≥的概率为（ ）(A)13 (B)12 (C) 23 (D)34（9）设α、β都是锐角，且55cos =α，53)sin(=+βα，则βcos 等于（ ）()A 552 ()B 2552 ()C 2552或552 ()D 255或552（10）已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=e z -，则下列大小关系正确的是（ ）(A) x ＜y ＜z (B) z ＜x ＜y (C) z ＜y ＜x (D) y ＜z ＜x（11）若点P(x,y ）坐标满足，则点P 的轨迹图象大致是（ ）（12）定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=,当[0,2)x ∈时,23||2,[0,1)()1(),[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩, 若当[4,2)x ∈--时,函数21()42t f x t ≥-+恒成立,则实数t 的取值范围为( )(A) 13t ≤≤(B) 23t ≤≤(C)14t ≤≤(D)24t ≤≤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）(13) 已知,x y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则264x y x +--的取值范围是 .(14) 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，若AB =，则C 的实轴长为 .(15) 已知非零向量,a b 满足||2||a b = 且()a b b +⊥，则向量,a b 的夹角为 .(16) 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==，若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+．(1) 求角B 的大小； (2) 若π2A =，D 为△ABC 外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD 面积的最大值．18 (本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 参考数据及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19 (本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，AB⊥面ACD ，DE⊥面ACD ；三角形ACD 是正三角形，且2,1AD DE AB ===(1) 求直线AE 和面CDE 所成角的正切值；(2) 求多面体ABCDE 的体积；(3) 判断直线CB 和AE 能否垂直，证明你的结论．20 (本小题满分12分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知圆O :)(222a rb r y x <<=+，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点M ，且直线l 与圆O 相切于点N ；求||MN 的最大值．21（本小题满分12分）已知函数()ln(1),()1xf x xg x e =+=-， (1) 若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；(2) 对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明理由．请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22 (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以2πθ=的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系,已知曲线C 的直角坐标方程为222x y +=，直线l 的参数方程12x ty t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）． (1) 写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程；(2) 设平面上伸缩变换的坐标表达式为2X xY y ==⎧⎨⎩，求C 在此变换下得到曲线C '的方程，并求曲线C '内接矩形的最大面积．23 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知|1||2|2)(++-=x x x f . (1) 求不等式6)(<x f 的解集；(2) 设p n m ,,为正实数，且)2(f p n m =++，求证：3≤++pm np mn ．2017届安徽省高三下学期高考仿真模拟考试数学（文）试题答案一、选择题（每小题5分，共60分）13．171,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．415． 32π 16．29k ≥ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分）(17) (本小题满分12分）解： （1）在ABC △中，(sin cos )a b C C =+有sin sin (sin cos )A B C C =+，- ----------2分sin()sin (sin cos )B C B C C +=+，∴cos sin sin sin B C B C =，sin 0C >，则cos sin B B =， -----------5分 即tan 1B =；(0,π)B ∈，则π4B =．- ---------6分 （2）在BCD △中，2BD =，1DC =，∴22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-． 又π2A =，则ABC △为等腰直角三角形，21115=cos 2244ABC S BC BC BC D =⨯⨯⨯=-△，------8分又1sin sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯=△，∴55πcos sin )444ABCD S D D D =-+=+-，当3π4D =时，四边形ABCD 的面积有最大值，最大值为54-----------12分(18) (本小题满分12分）解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名. ---------1分所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)， 记为A 1，A 2，A 3； 25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2).其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2). 故所求的概率P ＝710. -----------6分(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：得2()()()()()n ad bc K a b c d ac bd -=++++＝2514≈1.786. ---10分因为1.786<2.706. 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” ----12分(19) (本小题满分12分）解：(1)取CD 的中点F ，连接AF 、EF ，ACD ∆为正三角形，∴AF CD ⊥，DE ⊥平面ACD ，∴平面CDE ⊥平面ACD ，∴AF⊥平面CDE，AEF ∠为所求AE 和平面CDE 所成的角，AF =，EF =，tan AEF ∠=直线AE 和面CDE ………4分 (2)取AD 中点G ，平面ABED ⊥平面ACD ，CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED1112332ABCD V S CG +=⋅=⨯=(3)CB AE ⊥，证明如下：如图建立坐标系，(2,0)E ，(0,2)A ，(1,2)B ，(0,1)G ，(2,2)AE =- ，(1,1)GB =，0AE GB ⋅= ，∴AE GB ⊥∵CG AE ⊥，∴AE ⊥平面CGB ，∴AE CB ⊥ ………12分(20) (本小题满分12分） (Ⅰ)解法一：由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ==-=得 3,2==b a ，故C 的方程为13422=+y x . … …………………………………4分解法二： 依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+yx . ………………………………4分（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为t kx y +=，由直线l 与圆O 相切，得2222)1(,1||r k t k t r +=+=① ………………………………5分 由01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+t ktx x k t kx y y x （*)， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以0)124)(43(4)8(222=-+-=∆t k kt ，得2243k t +=②， 将②代入（*)式，解得t kkkt x M 44342-=+-=. …………………………………………………7分 由MN ON ⊥可得222222222223434341||||||r kk r x r y x ON OM MN M MM-++=-+=-+=-=③，……9分 由①②22243rr k --=⇒④， ……………10分 将④代入③得347127||222-≤--=rr MN ， ……………10分当且仅当)4,3(322∈=r ，所以32||-≤MN …………………………………… 12分(21) (本小题满分12分）解：．（1）()()ln(1)F x f x px x px =+=++，11()11px p F x p x x ++'∴=+=++………2分 ①当0p =时，()0F x '>在(1,)-+∞上恒成立，()F x ∴的递增区间为(1,)-+∞； ………3分②当0p >时，()F x 的递增区间为(1,)-+∞； ………4分 ③当0p <时，()F x 的递增区间为1(1,1)p ---，递减区间为1(1,)p--+∞； ………5分 （2）令()()()1ln(1)(1)xG x g x f x e x x =-=--+>-，11()11x x xe x e G x e x x +-'∴=-=++， ………6分令()1(1)x x H x e x e x =+->-，()(2)0xH x e x '=+>在(1,)-+∞上恒成立，∴当0x >时，()(0)0H x H >=成立，()0G x '∴>在0x >上恒成立， ∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0G x G >=恒成立，∴当0x >时，()()0g x f x ->恒成立， ………8分∴对于任意的210x x >>时，2121()()g x x f x x ->-， ………9分又212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++， 2212111ln(1)lnln(1)ln(1)1x x x x x x +∴-+>=+-++， 2121()()()f x x f x f x ∴->-，即21()g x x ->21()()f x f x -． ………12分 注:其他方法正确均可得分(22) (本小题满分10分）(23) (本小题满分10分） 解：（Ⅰ）不等式2|2||1|6x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩或2336x x >⎧⎨-<⎩所以不等式2|2||1|6x x -++<的解集为(1,3)- …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：因为3m n p ++=，所以2222()2229m n p m n p mn np mp ++=+++++= 因为,,m n p 为正实数，所以由基本不等式得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号） 同理：222n p np +≥；222p m mp +≥，所以222m n p mn np mp ++≥++所以2222()2229333m n p m n p mn np mp mn np mp ++=+++++=≥++ 所以3mn np pm ++≤ …………………………………………………………………10分。
2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．3．从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）A．B．C．D．6．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．2 B．0 C．4 D．167．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）8．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（）A．12πB．7πC．9πD．8π9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a ＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．511．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+l；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=l﹣ex；④f（x）=，其中“H函数”的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=．14．实数x，y满足，则的取值范围是．=2a n+2n﹣1（n∈N*），且{}为等差15．已知数列{a n}满足递推关系式a n+1数列，则λ的值是．16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．（I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A1MC1；（2）若AA1=l，求三棱锥A﹣MA1C1的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．21．已知函数f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）＜0对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】若A∪B=B可得A⊆B，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵A={x|x2≤1}=[﹣1，1]，B={x|x＜a}=（﹣∞，a），若A∪B=B，∴A⊆B，∴a＞1，故选：C．2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到P===，故选B．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，利用求出ω的值，再根据函数f（x）图象过点（，0）求出φ的值．【解答】解：根据题意，=﹣=，∴T=2π，∴ω=1；又函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象过点（，0），∴sin（+φ）=0，+φ=kπ，k∈Z；解得φ=kπ﹣，k∈Z；当k=1时，φ=满足题意．故选：B．6．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．2 B．0 C．4 D．16【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，则b变为12﹣8=4，由b＜a，则a变为8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：C．7．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）．【解答】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B8．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（）A．12πB．7πC．9πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】证明BC⊥平面ACD，三棱锥S﹣ABC可以扩充为AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，∴三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=12，∴R=∴球O的表面积为4πR2=12π，故选：A．9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a ＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a＞1，0＜b＜1时，“log a2＞0，log b e＜0，推不出0＜a＜b＜1，不是充分条件，0＜a＜b＜1时，log a2＞log b2＞log b e，是必要条件，故选：B．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5【考点】抽象函数及其应用．【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化为f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），由函数f（x）是定义在R上的单调函数，可得x2+y2+2x+8y+5=0，化为（x+1）2+（y+4）2=12，可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），则x+y=2（cosα+sinα）﹣5=2cos （α﹣）﹣5，当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，故选：A．11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故选：C．12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+l；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=l﹣ex；④f（x）=，其中“H函数”的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，进而分析可得若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；据此依次分析所给函数的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），则有f（x1）（x1﹣x2）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，分析可得：若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；对于①、y=﹣x3+x+l，有y′=﹣3x2+l，不是增函数也不是常数函数，则其不是“H 函数”，对于②、y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；有y′=3﹣2（sinx+cosx）=3﹣2sin（x+），有y′≥0，y=3x﹣2（sinx﹣cosx）为增函数，则其是“H函数”，对于③、y=l﹣ex=﹣ex+1，是减函数，则其不是“H函数”，对于④、f（x）=，当x＜1时是常数函数，当x≥1时是增函数，则其是“H函数”，故“H函数”有2个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．【解答】解：两个单位向量，的夹角为60°，∴•=1×1×cos60°=，∴=+4•+4=1+4×+4×1=7，∴|+2|=．故答案为：．14．实数x，y满足，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设k=，利用目标函数的几何意义，求k的最值即可．【解答】解：设k=，则k的几何意义为过原点的直线的斜率：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：则由图象可知，过原点的直线y=kx，当直线y=kx，经过点A时，直线的斜率k 最小，当经过点A时，直线的斜率k最大，由，解得A（2，2），此时k==1．由，解得B（3，1），此时k=，∴直线y=kx的斜率k的取值范围是≤k≤1，故答案为：．15．已知数列{a n}满足递推关系式a n=2a n+2n﹣1（n∈N*），且{}为等差+1数列，则λ的值是﹣1．【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义即可得到结论．【解答】解：若{}为等差数列，则﹣=﹣==为常数，即=0，则λ﹣1﹣2λ=0，解得λ=﹣1，故答案为：﹣116．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…18．为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．（I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由频率分布表得，由此能求出a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率．（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，由随机抽取一考生恰为优秀生的概率能求出优秀生应抽取的人数．（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有5人，成绩在[90，100]的有3人，从8个人中选2个人，结果共有n==28种选法，其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，由此能示出至少一人的成绩在[90，100]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得a=20，b=0.35，由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为：P=0.25+0.15=0.4．（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取20×0.4=8人．（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有：20×0.25=5人，成绩在[90，100]的有：20×0.15=3人，从8个人中选2个人，结果共有n==28种选法，其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，所以共有5×3+3=18种，∴至少一人的成绩在[90，100]的概率．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A1MC1；（2）若AA1=l，求三棱锥A﹣MA1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BC中点为N，连结MN，C1N，则MN∥AC∥A1C1，从而DE∥NC1．由此能证明DE∥平面A1MC1．（2）三棱锥A﹣MA1C1的体积．由此能求出结果．【解答】证明：（1）如图1，取BC中点为N，连结MN，C1N，∵M是AB中点，∴MN∥AC∥A1C1，∴M，N，C1，A1共面．∵BE=3EC，∴E是NC的中点．又D是CC1的中点，∴DE∥NC1．∵DE⊄平面MNC1A1，NC1⊂平面MNC1A1，∴DE∥平面A1MC1．解：（2）如图2，当AA1=1时，则AM=1，A1M=，A1C1=．∴三棱锥A﹣MA1C1的体积：．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=，把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a2=4，b2=2．则椭圆方程可求；（2）设出AB所在直线方程x=ty﹣，联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系得到A，B的纵坐标的和与积，求出|y1﹣y2|取最大值时的t值，得到A 的坐标，由圆心到三边的距离相等求得最大内切圆的半径，则答案可求．【解答】解：（1）由题意得，c=，由点（﹣，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，得，①又a2=b2+c2，∴a2=b2+2，②联立①②解得：a2=4，b2=2．∴椭圆方程为：；（2）如图，设AB所在直线方程为x=ty﹣，联立，消去x得：．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，====．当且仅当，即t=0时上式等号成立．∴当AB所在直线方程为x=﹣时，△ABF2的面积最大，内切圆得半径最大，设内切圆得圆心为（m，0），AF2所在直线方程为，整理得．由，解得m=﹣．∴△ABF2的内切圆的最大半径为，则△ABF2的内切圆的最大周长为2π•．21．已知函数f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）＜0对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；（Ⅱ）求f（x）＜0恒成立，求参数a的取值范围，设h（x）=lnx﹣，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx﹣x+1，f′（x）=lnx，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）有极小值f（1）=0，无极大值；（Ⅱ）f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1＜0，在（1，+∞）恒成立．①若a=0，f（x）=xlnx﹣x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）为增函数．∴f（x）＞f（1）=0，即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．②∵x＞1，lnx﹣＜0，在（1，+∞）恒成立，不妨设h（x）=lnx﹣，x∈（1，+∞）h′（x）=﹣，x∈（1，+∞）h′（x）=0，x=1或，若a＜0，则＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；若0＜a＜，x∈（1，），h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；若a≥，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（1）=0（符合题意）．综上所述若x＞1时，f（x）＜0恒成立，则a≥．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得结论；（2）直线与曲线联立，利用弦长公式，建立方程，即可求a的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0）可得ρ2sin2θ=2aρcosθ．可得：曲线C的普通方程为：y2=2ax；直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2=0；（2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a=0，∵|AB|=2，∴=2，解得a=﹣5或1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x ＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．【解答】解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，故|x+1|≤3，故﹣4≤x≤2，故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，即|x﹣a|≥﹣5x，即（x﹣a）2≥25x2，即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，即（4x+a）（6x﹣a）≤0，当a=0时，解4x×6x≤0得x=0，不成立；当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，﹣≤x≤，故只需使﹣≤﹣1，解得，a≥4；当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，≤x≤﹣，故只需使≤﹣1，解得，a≤﹣6；综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．2017年3月2日。
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
2017届安徽省淮南市高三第二次模拟考试文科数学试题及答案(word版)
淮南市2017届高三第二次模拟考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合M=｛x︱y2=3x,x∈R｝,N=｛y︱x2+y2=4，x∈R, y∈R｝,则M ∩N等于（）A. B.〔0，2〕 C.｛(1，｝ D.〔-2，2〕2.已知sin 2a = 13,则cos2(a－4p)=( )A. ﹣13 B.﹣23C. 23D. 133.在等差数列｛a n｝中，a n∈C,a12+a22+a32=﹣1，求a1·a3= （）A.2iB. ﹣2iC.2D. ﹣24.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC,得到三棱锥C—ABD,其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）A. 125.已知一个圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的圆心角为23p，面积为3π，则此圆锥的体积是（）6.设F1，F2是双曲线C:22221yxa b-=（a﹥0，b﹥0）的两个焦点，P是C上一点，若︳PF1︳+ ︳PF2︳=6a且△PF1F2的最小内角为30o，则C的离心率为（）7.下列说法正确的是（）A.对于实数a,b,c,若ac2﹥bc2，则a﹥b；B.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；C.设有一个回归直线方程y L=2－1.5x,则变量x每增加一个单位，y平均增加1.5个单位；D.已知空间直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c则a∥c8.定义R在上的函数f(x)满足f(-x)= f(x)，f(x－1)= f(x+3)，且x∈(-1，0)时，f(x)= 152x+，则f(㏒220)= ( )A. -45B.1 C 45.D.-19.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD =3，点P 为△BCD 内（含边界）动点，设OP uu u r =αOC uuu r +βOD uuu r(α,β∈R ),则α+β的最大值等于（ ）A. 43B.1C. 53D. 43x －1 (x ≤0)10.已知函数f (x )= x e (x ＞0) 则方程f (x ) －kx =0恰有两个不同的实根时，实数k 的取值范围是（其中e 为自然对数的底数） A.(1，e ) B. []1,3 C.(3，+∞) D.（e ,3]第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.过点P (2，3)且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程是________. 12.已知函数f (x )=2x －1+1过定点A ，且点A 在直线l ：mx+ny =1(m >0，n >0)上，则112m n+的最小值是________. 13.执行如图的程序框图，输出的结果是________.14.如图，函数f (x )=A sin(ωx +φ)（其中A>0，ω>0, φ≤2p ） 与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P （2,0），PQR Ð=4p ,M 为QR 的中点，PM =A 的值为________.15.O 是面a 上一定点，A 、B 、C 是面a 上△ABC 的三个顶点，∠B ,∠C 分别是边AC 、AB 对应的角。
高三数学第二次模拟考试试题文扫描版新人教A版
安徽省淮南市高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）2013年淮南市高三年级联考 数学（文科）参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADACBDBCBA第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 56. 12. 50. 13. 322+. 14. 3. 15. ①②④.三、解答题：(本大题共6小题，共75分.) 16. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）2()123sin cos 2cos 1f x a b x x x3sin 2cos 22sin(2)6x x x………………………………3分 ∴22T. 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴函数()f x 的最小正周期为，单调减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈……………6分 （Ⅱ）∵0,2x ，72,666x k Z πππ≤+≤∈ ……………8分 ∴()2sin(2)1,26f x x.∴函数()y f x =的值域为1,2. ………12分17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）.取线段AD 的中点G ，连接FG 、EG ，由已知可得FGPDDC D EG EFG FGEFG平面平面//EFG PCD EFEFG平面平面平面//EF 3h PG 13EPCDPECDECD V V S h11121sin 603322(本小题满分12分) 解（1）当x =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，11所以平均数为88+9+10+1146=55 …………………………2分222222146464646468891011555555s222221661495555553425…………………………6分（Ⅱ）从甲、乙两组中各随机选取一名同学共有25种情况，∵植树总棵数为19的概率为15∴植树总棵数为19的情况有5种 ………………………………9分 甲组中取9,9,11,11时，乙组分别取10,10,8,8符合条件只有7x 时，恰好甲组取12，共有5中情况，∴7x ………………12分（类似方法可酌情给分） 19. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）1a时，1()ln f x x xx .211()1f x x x ，2113(2)1224f ，…………………………3分∵切点为2,(2)P f∴切线方程为33ln 2(2)24y x 即344ln 20x y ………………………………………6分（Ⅱ）∵2221()a ax x af x a x xx 0,x①0a 时，()0f x ，函数()f x 在定义域内单调递增.②0a时，()0f x ，函数()f x 在定义域内单调递增. ……9分③0a 时，12a 时，()0f x ，函数()f x 在定义域内单调递减.102a 时，由()0f x解得2212114114,22a a x x aa，120,,xx x 时()0f x ，12,xx x 时()0f x函数的递增区间为12,x x ，递减区间为120,,,x x综上：0a时，函数()f x 在定义域内单调递增；12a时，函数()f x 在定义域内单调递减；102a 时，函数的递增区间为22114114,22a a aa，递减区间为221141140,,,22a a aa…………………………………13分20. (本小题满分13分) 解：I ()1111....(1);....(2)44n n n n a S a S +-=+=+1(1)(2):2(2)n n a a n +-=≥得,又212a a = ∴数列{}n a 为等比数列 …………………………………………………5分II () 由I ()知131224n n n a --=⨯=，22log 1n b a n n +==-，312n n n a b n213021222(1)2n n T n 10122021222(1)2n n T n1032222(1)2nn nT n∴21(2)22nnT n …………………………………………………9分 ∵3120nn n a b n ，∴随着n 的增大，n T 递增∵9102013T T ，对于任意n k ，2013nT 恒成立，∴max10k ………………………………………13分21. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率2c e a ==， 因为,得1c b ==．所以椭圆的方程为2214x y +=． ………………5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)E x y F x y 当EF K 存在时，设直线EF 的方程为ykx m则联立直线与椭圆方程得2214ykx m x y222418440k x kmx m∴122841kmx x k ，21224441m x x k ……………………………………8分∵AE AF ,∴1212(2)(20AE AF x x y y ）即1212(2)(2()()0x x kx m kx m ）整理得22516120m km k 解得65mk 或2m k …………………………10分65mk 时，直线EF 的方程为65y kxk ，直线EF 恒过点6(,0)52m k 时，直线EF 的方程为2y kx k ，直线EF 恒过点(2,0)不满足条件当EF K 不存在时，∵AEAF ,直线12,l l 的斜率分别为1此时可以求得6464(,),(,)5555E F ，直线EF 也经过点6(,0)5，∴直线EF 恒过定点6(,0)5………………………………13分。
安徽省淮南市数学高三文数第二次教学质量监测试卷
安徽省淮南市数学高三文数第二次教学质量监测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合则= （）A .B .C .D .2. （2分）(2020·江西模拟) 若复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分）甲、乙两名同学在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有（）A .B .C .D .4. （2分）已知变量x,y满足约束条件则的最大值为（）A . -3B . -1C . 1D . 35. （2分）一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是（）A . 或﹣B . 1C . 1或﹣1D . 2或﹣26. （2分）已知等差数列的前项和为，且，为平面内三点，点为平面外任意一点，若，则（）A . 共线B . 不共线C . 共线与否和点的位置有关D . 位置关系不能确定7. （2分）(2016·安庆模拟) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·成都模拟) 在区间[﹣4，1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为（）A .B . 1C . 2D . 39. （2分）一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过（）A . 2.4米B . 3米C . 3.6米D . 2.0米10. （2分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（）A . y=sin4xB . y=sinxC . y=sin（4x﹣）D . y=sin（x﹣）11. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）A . ﹣B .C . ﹣D . 不能确定12. （2分） (2019高一上·鹤壁期中) 已知上的单调函数满足，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·定远期末) 设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．14. （1分）(2016·中山模拟) 已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（+ ）• =0（其中O为坐标原点），且| |= | |，则双曲线离心率为________．15. （1分）(2017·林芝模拟) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，b2﹣a2= ac，则cosB=________．16. （1分）球O面上四点P、A、B、C满足：PA、PB、PC两两垂直，，则球O 的表面积等于________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高一下·姜堰期中) 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）求数列{ }的前n项和Tn．18. （15分） (2017高二下·陕西期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．19. （15分） (2018高二下·晋江期末) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.20. （10分） (2018高三下·滨海模拟) 已知 ,椭圆的离心率 ,是椭圆的右焦点,直线的斜率为 ,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于 ,两点,当的面积最大时,求直线的方程.21. （5分）(2018·淮南模拟) 已知（为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）①若有两个零点，求的取值范围；②在①的条件下，求证：．22. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 在极坐标系中，已知点，直线为 . （1）求点的直角坐标与直线的直角坐标方程；（2）求点到直线的距离.23. （5分）(2020·辽宁模拟) 设函数 .（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
安徽省淮南市高三数学第二次模拟考试试题 理(扫描版)
２０１７淮北二模理科数学参考答案 一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题13.15ln - 14.38 15.3π 16.*∈+N n nba ab,,（没注明*∈N n 的不扣分） 三、解答题17. 解：（1）证明：设公比为q ，由题意得：111112222n n n n a a a q n a n b b ++--+-===，即1n n a a q +-= 所以{}n a 为A P ⋅,又3112a a d -==，12a = 所以1,n a n n N *=+∈ ……………………6分（2）由（1）得122n n n a n += 由错位相减法或裂项相消发求得332n n n S +=- ……………………12分18.（1）证明：在三棱柱111C B A ABC -中，由1111C B AA BB ⊥面得11CB AA BB ⊥面，则1CB AB ⊥， …………………2分 又11BB AA 是菱形, 得11AB A B ⊥,而1CB A B B =I ,则11AB A BC ⊥面, ……………………4分故平面⊥1ACB 平面. …………………5分（2）由题意得11A B B ∆为正三角形， 取11A B 得中点为D ，连CD,BD, 则11BD A B ⊥,又11CB A B ⊥易得11CD A B ⊥,则CDB ∠为二面角B B A C --11的平面角， 因1BC =,CDB ∠=6π,所以3BD =, 所以11112A B BB A B ===过11,AB A B 交点O 作1OE A C ⊥,垂足为E ,连AE则AEO ∠为二面角B C A A --1的平面角， ……………………9分 又5,3OE AO == 得45AE = 所以1cos 4AEO ∠=…………………12分 另：建系用向量法相应给分。
19.解(1)由直方图知：T ∈[4，8)时交通指数的中位数在T ∈[5，6)，且为 5＋1×0.20.24＝356 ………2分T ∈[4，8)时交通指数的平均数为：4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. ………4分 (2)设事件A 为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1， 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为： P ＝C 32×(110)2×(1－110)＋C 33×(110)3＝7250，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为7250. ………8分(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：X 30 35 45 60 P0.10.440.360.1则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟． ………12分20.解：（1）由题意得2,1a b ==，得椭圆方程为：2214x y += ………………4分（2）i)当,OP OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1122(,),(,)P x y Q x y由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得212414x k =+，2222112414k y k x k ==+ 同理得222244k x k =+，222222144y x k k ==+ 故2222221122111154x y x y OPOQ+=+=++ …………………7分 当,OP OQ 斜率一个为0，一个不存在时，得2211115414OPOQ+=+= 综上得221154OPOQ+=，得证。
2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷(文科)
2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}2．（5分）命题“∃x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（）A．B．C．D．3．（5分）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则α=（）A．215°B．225°C．235° D．245°4．（5分）已知是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）方程lnx+2x=6的根所在的区间为（）A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）6．（5分）函数的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位后的单调递减区间是（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f （e）D．f（e）＞f（3）＞f（2）8．（5分）设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），g（x）若的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（）A．既有极大值，也有极小值B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值D．既无极大值，也没有极小值9．（5分）设函数f（x）是二次函数，若f（x）e x的一个极值点为x=﹣1，则下列图象不可能为f（x）图象的是（）A．B．C．D．10．（5分）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第6卷19题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC内一点O满足，直线AO交BC于点D，则（）A． B． C．D．12．（5分）已知函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的两个零点分别为x1，x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）sin15°+cos15°=．14．（5分）已知{a n}是等比数列，a3=1，a7=9，则a5=．15．（5分）已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（0）+f（2）=．16．（5分）在△ABC中，，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，则AD=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，且C=2A．（Ⅰ）求a，b，c；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，其前n项和为S n，若S9=99，且a4，a7，a12成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．19．（12分）已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）画出函数y=f（x）在区间上的图象．20．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{a n3b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x ﹣2ln2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0，k≤2时，求证：（k﹣x）f'（x）＜x+1（其中f'（x）为f（x）的导函数）．2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}【分析】求解一元一次不等式化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：∵B={x|x﹣1＜0}=（﹣∞，1），A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）命题“∃x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（）A．B．C．D．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可．【解答】解：命题“∃x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是：“∀x∈（1，+∞），x2+2x+2＞0”．故选：A．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．3．（5分）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则α=（）A．215°B．225°C．235° D．245°【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得α的值．【解答】解：∵角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），由三角函数定义得cosα=sin215°=cos235°，sinα=cos215°=sin235°，∴α=235°，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（5分）已知是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】设出向量的坐标，求出”的充要条件，判断即可．【解答】解：设=（1，0），则=（，），若”，则（2﹣k）•=0，故[2（1，0）﹣k（，）]•（1，0）=2﹣=0，解得：k=4，故实数k=4”是“”的充要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查向量的运算，是一道中档题．5．（5分）方程lnx+2x=6的根所在的区间为（）A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）【分析】方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，而函数f（x）=lnx+2x ﹣6在定义域上单调连续，从而即可求零点的区间．【解答】解：令f（x）=lnx+2x﹣6，则f（x）在（2，3）上为增函数．f（2）=ln2﹣2＜0，f（2.25）=ln2.25﹣1.5＜0，f（2.5）=ln2.5﹣1＜0，f（2.75）=ln2.75﹣0.5＞0，f（3）=ln3＞0，故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．6．（5分）函数的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位后的单调递减区间是（）A．B．C．D．【分析】根据最小正周期是π，可知ω=2，求得图象向右平移个单位后解析式，再结合三角函数的性质求单调递减区间．【解答】解：由函数的最小正周期是π，即，解得：ω=2，图象向右平移个单位，经过平移后得到函数解析式为，由（k∈Z），解得单调递减区间为．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力．属于基础题．7．（5分）已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f （e）D．f（e）＞f（3）＞f（2）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，计算f（e），f（3），f（2）的值，比较即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），∵，∴x∈（0，e），f'（x）＞0；x∈（e，+∞），f'（x）＜0，故x=e时，f（x）max=f（e），而，f（e）＞f（3）＞f（2），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．8．（5分）设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），g（x）若的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（）A．既有极大值，也有极小值B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值D．既无极大值，也没有极小值【分析】根据函数恒成立，得出m的值，利用函数单调性得出结果．【解答】解：，由已知得g′（x）=x﹣a＜0，当x∈（﹣1，2）时恒成立，故a≥2，又已知a≤2，故a=2，此时由f′（x）=0，得：x1=2﹣，x2=2+∉（﹣1，2），当x∈（﹣1，2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（2﹣，2）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣1，2）有极大值，没有极小值，故选：B．【点评】本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性，属于基础知识，基本运算的考查．9．（5分）设函数f（x）是二次函数，若f（x）e x的一个极值点为x=﹣1，则下列图象不可能为f（x）图象的是（）A．B．C．D．【分析】先求出函数f（x）e x的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．10．（5分）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第6卷19题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（）A．B．C．D．【分析】设九节竹自上而下分别为a1，a2，…，a9，由题意可得，求出首项和公差，则答案可求．【解答】解：由题意，设九节竹自上而下分别为a1，a2，…，a9，则，解得，∴．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．11．（5分）△ABC内一点O满足，直线AO交BC于点D，则（）A． B． C．D．【分析】由已知得=，则=，从而得到=，由此能求出2+3=．【解答】解：∵△ABC内一点O满足=，直线AO交BC于点D，∴=，令=，则=，∴B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，∴D，E重合．∴=，∴2+3=2﹣2+3﹣3=﹣﹣5=．故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真，注意平面向量运算法则的合理运用．12．（5分）已知函数f （x ）=e ﹣x ﹣|lnx |的两个零点分别为x 1，x 2，则（ ） A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2=1 C ．1＜x 1x 2＜e D ．x 1x 2＞e【分析】利用函数的零点，判断零点的范围，利用指数函数的单调性以及对数运算法则，推出结果即可．【解答】解：函数f （x ）=e ﹣x ﹣|lnx |的两个零点分别为x 1，x 2， 不妨设0＜x 1＜1＜x 2，则，，，所以﹣lnx 1＞lnx 2，ln （x 1x 2）＜0，0＜x 1x 2＜1． 故选：A ．【点评】本题考查函数的零点判定定理以及函数的性质的应用，考查计算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）sin15°+cos15°= ．【分析】原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果． 【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin （15°+45°）=sin60°=． 故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知{a n }是等比数列，a 3=1，a 7=9，则a 5= 3 ． 【分析】由已知结合等比数列的性质求解．【解答】解：∵a3=1，a7=9，∴由等比数列的性质可得：，又＞0，∴a5=3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．15．（5分）已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（0）+f（2）=﹣4．【分析】y=f（x+1）+2的图象关于原点（0，0）对称，则y=f（x）图象关于（1，﹣2）对称，即可求出f（0）+f（2）．【解答】解：y=f（x+1）+2的图象关于原点（0，0）对称，则y=f（x）是由y=f（x+1）+2的图象向右平移1个单位、向下平移2个单位得到，图象关于（1，﹣2）对称，f（0）+f（2）=﹣4．故答案为﹣4．【点评】本题考查函数的奇偶性、对称性，考查学生的计算能力，比较基础．16．（5分）在△ABC中，，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，则AD=．【分析】设AD=x，由题意求出∠CBD、sin∠BDC，由正弦定理求出BC，在△ABC 中由余弦定理列出方程，化简后求出x的值，可得答案．【解答】解：设AD=x，且BD⊥AB，AB=CD=1，在△BCD中，，则，且sin∠BDC=sin（π﹣∠ADB）=sin∠ADB==，由正弦定理得，，所以BC===，在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2•AB•BCcos∠ABC则，化简得，则x4+2x3=2x+4，即x3（x+2）=2（x+2），解得x=，即AD=，故答案为：．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查方程思想，化简、计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，且C=2A．（Ⅰ）求a，b，c；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知得a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，结合正弦定理即可求a，b，c的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）中的边长，利用余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA求sinA，即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA 整理得：b+4=2（b+1）cosA …①由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA由正弦定理得c=2acosA，即cosA=…②由①②整理得：b=5，∴a=4，c=6；（Ⅱ）由（Ⅰ）得cosA==∴sinA=，故得△ABC的面积．【点评】本题考查了等差数列的性质、正余弦定理的灵活运用能力，属于基础题．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，其前n项和为S n，若S9=99，且a4，a7，a12成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．【分析】（Ⅰ）由S9=99，求出a5=11，由a4，a7，a12成等比数列，求出d=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出=n（n+2），从而==，由此利用裂项求和法能证明．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{a n}的公差d≠0，其前n项和为S n，S9=99，∴a5=11，…（2分）由a4，a7，a12成等比数列，得，即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，…（4分）∴a1=11﹣4×2=3，故a n=2n+1 …（6分）证明：（Ⅱ）=n（n+2），==，…（8分）∴=[（1﹣）+（）+（）+…+（）+（）]…（10分）=[1+]=，故．…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19．（12分）已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）画出函数y=f（x ）在区间上的图象．【分析】（I）根据向量的数量积运算公式二倍角公式化简f（x）即可得出结论；（II）使用描点法作出图象即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2=2（sin2x+sinxcosx）=sin2x+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x ﹣）+1．所以f（x）的最小正周期T=π；f（x ）的最大值为+1．（Ⅱ）函数y=f（x）在区间[﹣，]上列表为﹣y=sin）描点作图如下：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算和三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．20．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{a n3b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．当q=1时，显然S3+S6≠2S9，与已知S3，S9，S6成等差数列矛盾，可得q≠1．由S3+S6=2S9，利用求和公式化为：1+q3=2q6，即可证明a2，a8，a5成等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得q3=﹣．可得===．b1=a2=1，b3=a5=﹣，可得b n=﹣+，=，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：设等比数列{a n}的公比为q．当q=1时，显然S3+S6≠2S9，与已知S3，S9，S6成等差数列矛盾，∴q≠1．由S3+S6=2S9，可得+=2，化为：1+q3=2q6，∴a2+a5===2a8．∴a2，a8，a5成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得q3=1（舍去），q3=﹣．∴===．b1=a2=1，b3=a5=﹣，数列{b n}的公差d=（b3﹣b1）=﹣．∴b n=﹣+，故=，T n=++…+，①=+…++②①﹣②得：=﹣2+﹣=﹣2﹣﹣=+，解得T n=﹣+．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极值点的个数，确定m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+mx﹣（2m+1），由已知得，f′（1）=1﹣m=0，m=1，此时f′（x）=，由f′（x）=0，得x=1或x=2，随x的变化f′（x）、f（x）的变化情况如下：故f（x）极大值为f（1）=﹣；f（x）极小值为f（2）=2ln2﹣4；（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=，（1）当m=0时，f′（x）=，x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，所以x=2时，f（x）取得极大值；（2）当m≠0时，由f′（x）=0，得x=2或x=，①若m＜0，则＜0，x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，所以x=2时，f（x）取得极大值；②若m=，则=2，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，无极值；③若0＜m＜，则＞2，随x的变化f′（x）、f（x）的变化情况如下：所以，当x=2时，f（x）取得极大值；当x=时，f（x）取得极小值．④若m＞，则0＜＜，随x的变化f′（x），f（x）的变化情况如下：）所以，当x=时，f（x）取得极大值；当x=2时，f（x）取得极小值，综上：f（x）有两个极值点，m的取值范围是（0，）∪（，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x ﹣2ln2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0，k≤2时，求证：（k﹣x）f'（x）＜x+1（其中f'（x）为f（x）的导函数）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（ln2）=1，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为（k﹣x）e x﹣k﹣1＜0，令g（x）=（k﹣x）e x﹣k﹣1，（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x+a，由已知得f′（ln2）=1，故e ln2+a=1，解得a=﹣1，又f（ln2）=﹣ln2，得e ln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得：b=﹣2，f（x）=e x﹣x﹣2，所以f′（x）=e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；证明：（Ⅱ）由已知（k﹣x）f′（x）＜x+1，及f′（x）=e x﹣1，整理得（k﹣x）e x﹣k﹣1＜0，令g（x）=（k﹣x）e x﹣k﹣1，（x＞0），g′（x）=（k﹣1﹣x）e x，g′（x）=0得，x=k﹣1，①因为x＞0，所以g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，g（x）＜g（0）=﹣1＜0，满足条件．②当1＜k≤2时，x∈（0，k﹣1），g′（x）＞0，g（x）在上为增函数；x∈（k﹣1，+∞），g′（x）＜0，g（x）在上为减函数．所以g（x）max=g（k﹣1）=e k﹣1﹣（k+1），令h（k）=e k﹣1﹣（k+1），（1＜k≤2），h′（k）=e k﹣1﹣1＞0，h（k）在k∈（1，2]上为增函数，所以h（k）≤h（2）=e﹣3＜0，故当x＞0，k≤2时，（k﹣x）f′（x）＜x+1成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。
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淮南市2017年高三第二次模拟
（文科数学）参考答案
一、选择题：1-5 BCCBD 6-10 CCADA 11-12 BD 二、填空题： 13.
10
10 14. m>1 15. 29 16. 12)1(+⋅-n
n 三、解答题
17.解：（1）2c b = ，∴sin 2sin C B =，1sin sin sin 3A B C = ，∴2
sin 3
A =， ∴18
sin 23
ABC S bc A ∆=
=， 52,,3BCD
BCD ABC
S CD AC S AC S ∆∆∆===
， ∴5
4
CD =
. ------6分 （2）在ABD ∆中，4
A π
=，c A b =sin 3
则b c 223=
，2212642
c b bc +-=，
解得6b c ==.
在ABC ∆中，2
24368222cos 2
222a bc a c b A -+=
-+==，解得52=a ∴ABC ∆
的最短边的边长分
18.解：（1）这段时间的天数为10÷0.25=40天. PM2.5的数据为优的天数为
40×(1-0.0005×50-0.003×50-0.0075×50×2)=40×0.075=3天. ---6分
（2）两项数据为优的各有3天，其中有两天的两项数据均为优，所以还有两天只有一项数据为优.
设这四天为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙这两天数据均为优，则在至少一项数据为优的这些天中，随机抽取两天进行分析，基本事件为:
{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}共6个， 设“随机抽取两天，这两天的两项数据均为优”为事件M ，则事件M 包含的事件有
1个，则6
1
)(=M P . ----12分
19.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB=AC ，∠BAD=1350
，所以AB ⊥AC. 又因为E,F 分别为BC,AD 的中点，所以可得得EF ‖AB ，所以EF ⊥AC 又因为PA ⊥底面ABCD ，EF 在底面ABCD 内，所以PA ⊥EF.
又因为PA AC A = ，,PA PAC AC PAC ⊆⊆平面平面,所以EF ⊥平面PAC. 又因为EF EFM ⊆平面，所以平面PAC ⊥平面EFM 。
---------6分 （Ⅱ）设点A 到平面PBC 的距离为d ,
由（Ⅰ）可知三角形ABC 为等腰直角三角形，可求1122
ABC S AB AC =
⨯= , 又因为PA ⊥底面ABCD ，可求三角形PBC
可求2
2PBC S =
= .
所以由1
1
,3
3
P ABC A PBC ABC PBC V V PA S d S --=⨯⨯=
⨯⨯ 可得,
所以，1
1ABC
PBC
PA S d S ⨯
⨯=
== . -----------12分
20.解（1）曲线C
上的点满足12122PF PF F F +=>=, ∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆
∴1,1a c b ===
∴曲线C 的方程是2
212
x y += -----------4分
（2）∵22F M F N a λμ==
，
∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l
∴直线MN l 的方程为)1y x =- 与椭圆方程联立得271240x x -+=
∴MN =7
=
-----------8分
设)
,sin P
θθ，
∴P 到直线MN l 的距离d =
=
∴max d =
∴MNP S -----------12分
21.解：（1）2a e =
时，12()=f x x e '-，1
()=f e e
'-，()=1f e - ∴()f x 在x e =处的切线方程为()11y x e e +=--，即1
0x y e
+= ----4分
（2）由ln 0x ax ->得ln x
a x
<，令
∴21ln ()=x
g x x
-'，()=0g x '时，x e = ()0,x e ∈时()>0g x '，()g x 单调递增，(),x e ∈+∞时()<0g x '，()g x 单调递减
∴max 1
()()g x g e e
==
， ----8分 ∴()1,x e ∈时，()g x 单调递增，(),4x e ∈时，()g x 单调递减 又∵1(2)(4)ln 22g g ==
，1
(3)ln 33
g = ∴要使不等式ln 0x ax ->的解集有唯一整数，实数a 应满足11
ln 2ln 323
a ≤<， ∴a 的取值范围是
11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭
----12分
22.解：（1）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为
2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
. -------4分
（2
）把22
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =， 所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-
令202
t
+
=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+= ---------10分
法二：把22
x t
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
化为普通方程得2y x =+
令0y =得点Ｐ
坐标为P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，
故28PA PB PC +===
23.（Ⅰ）由题可得()4,2
2,224,2x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
，
当2x <-时，由())(x g x f ≥可得92x ≤-
，所以92
x ≤-； 当22x -≤≤时，由())(x g x f ≥可得1
2
x ≥，所以122x ≤≤；
当2x >时，由())(x g x f ≥可得7
2
x ≤，所以722x <≤；
综上可得，不等式())(x g x f ≥的解集为917,,222
⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝
⎦⎣⎦
. ---------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩
, 所以(),4min -=x f ，若∀x ∈R ，()25f x t t ≥- 恒成立，解得41≤≤t ， 综上，t 的取值范围为[]4,1. ----------10分。