方法技巧专题05 立体几何中平行与垂直证明(原卷版)
立体几何平行垂直的证明方法
立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。
本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。
一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。
要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。
通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。
2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。
这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。
3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。
常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。
通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。
二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。
根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。
2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。
通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。
3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。
两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。
通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。
三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。
通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。
2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
方法技巧专题05 立体几何中平行与垂直证明(解析版)
方法技巧专题5 立体几何中平行与垂直证明解析版一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
αbaabαβ ba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题【例1】 如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM 在菱形ABCD 中，O 为AC 中点，M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP ---------------（利用1.1.2中位线性质）又OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD ----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】 已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaP证明：DN//平面PMB。
方法技巧专题05立体几何中平行与垂直证明
方法技巧专题05立体几何中平行与垂直证明平行与垂直证明是立体几何中的重要内容之一，本文将介绍一些方法和技巧用于解决平行与垂直的证明问题。
一、平行性的证明方法：1.公共光线法：如果两条直线分别与第三条直线相交，在相交点处的两个对应的内角相等，则这两条直线是平行的。
例如，如果直线AB和CD都与直线EF相交，在交点F处的∠AFC=∠DFB，则AB，CD。
2.反证法：假设AB和CD不平行，然后通过构造形式，证明得到矛盾。
例如，如果直线AB和CD不平行，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线分别相交于F和G，且所形成的内角∠FAG=π/2-∠DAF≠π/2，则与直线EF平行，这是与已知条件矛盾的，所以AB，CD。
3.平行线性质法：利用平行线的性质来证明其他线段平行。
例如，根据平行线的交角性质可证明，如果一条直线与一对平行线之一形成等于直角的角，则与另一条平行线也形成等于直角的角。
二、垂直性的证明方法：1.垂直线性质法：利用垂直线的性质来证明其他线段垂直。
例如，如果直线AB与直线CD相交于点E，且∠AED=∠BEC=π/2，则直线AB垂直于直线CD。
2.垂直线段法：如果两条线段的斜率之积为-1，则这两条线段垂直。
例如，如果直线AB和直线CD的斜率之积为-1，则AB⊥CD。
3.反证法：假设AB和CD不垂直，然后通过构造形式，证明得到矛盾。
例如，如果直线AB和CD不垂直，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线相交于点G，且所形成的两个内角∠GAC和∠GDB之和小于π/2，这与直线EF垂直的性质矛盾，所以AB⊥CD。
综上所述，平行与垂直证明可以通过公共光线法、反证法、平行线性质法、垂直线性质法、垂直线段法等方法和技巧来解决。
在实际问题中，可以根据已知条件选择合适的方法和技巧，灵活运用来解决平行与垂直的证明问题。
(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2023-2024年小学数学四年级上册知识梳理真题讲练 专题五(人教版原卷)
专题05 平行四边形和梯形知识点一：平行与垂直（一）、认识平行与垂直1、同一平面内的两条直线的位置关系，不是平行就是相交。
2、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
图一：“直线A和直线B是平行线；直线A 和直线B互相平行。
”3、平行可以用符号“//”表示。
a与b互相平行，记作a//b，读作：a平行于b。
4、如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
图二：“直线A和直线B相互垂直；直线A是直线B的垂线；点C是垂足。
”5、垂直可以用符号“⊥”表示。
a与b互相垂直，记作a⊥b，读作：a垂直于b。
6、两条直线互相垂直，可以组成4个直角。
有1个垂足。
7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
垂直的线段最短。
9、两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段不仅互相平行而且长度相等。
平行线间的垂直线段都相等。
10、过直线上一点和直线外一点画已知直线的垂线，只可以画1条。
过直线外一点画已知直线的平行线只可以画1条。
（二）垂线的画法用三角尺画已知直线的垂线，移动三角尺时，必须保证与直线重合的直角边要始终与直线重合，不能错位。
画好后别忘了标出直角符号。
（三）画长方形的方法：1、画一条长度等于长方形的长的线段；2、从画出的线段两端开始，向同一方向画两条与这条线段垂直且长度等于长方形的宽的线段；3、把新画的两条线段另外的端点联结起来，画出长方形的另外一条长。
真题讲练：一、选择题1．（2021·广东广州·四年级期末）观察下图，已知AB CD=，以下表达正确的是（）。
⊥C．//a bA．a b⊥B．AB CD2．（2021·广东广州·四年级期末）要从F村修一条通往公路的水泥路，下列（）中所修的路最近。
A．B．C．D．3．（2021·广东广州·四年级期末）下面的说法，正确的是（）。
高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。
立体几何中的平行与垂直
立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析 （1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。
专题5 第2讲 空间中的平行与垂直
令∠BMN＝θ，根据题意可知 BD⊥CN， BD⊥AN，且 CN∩AN＝N， ∴BD⊥平面 ACN，又 MN⊂平面 ACN，∴BD⊥MN， ∴0<θ<π2，∴MN＝BMcosθ＝8cosθ<8. ∵cosθ＝MBMN＝OO1MM，∴OM·MN＝O1M·BM＝74×8＝14， 又 OM<MN，∴MN2>14，∴MN> 14， ∴ 14<MN<8，即线段 MN 长度的取值范围为( 14，8)．
(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学A＝SB，四边形 ABCD 是平行四边形，且平面 SAB⊥平 面 ABCD，点 M，N 分别是 SC，AB 的中点．
求证：(1)MN∥平面 SAD； (2)SN⊥AC.
证明 (1)取 SD 的中点 E，连接 EM，EA. ∵M 是 SC 的中点，∴EM∥CD， 且 EM＝12CD. ∵底面 ABCD 是平行四边形，N 为 AB 的中点， ∴AN∥CD，且 AN＝21CD， ∴EM∥AN，EM＝AN， ∴四边形 EMNA 是平行四边形，∴MN∥AE. ∵MN⊄平面 SAD，AE⊂平面 SAD， ∴MN∥平面 SAD.
解析
(2)如图 1，在直角梯形 ABCP 中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝21CP， D 是 CP 的中点，将△PAD 沿 AD 折起，使点 P 到达点 P′的位置得到图 2， 点 M 为棱 P′C 上的动点．
①当 M 在何处时，平面 ADM⊥平面 P′BC，并证明； ②若 AB＝2，∠P′DC＝135°，证明：点 C 到平面 P′AD 的距离等于 点 P′到平面 ABCD 的距离，并求出该距离．
答案
解析 由 m，n 为两条不重合的直线，α，β 为两个不重合的平面，知： 对于 A，若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m 与 n 相交、平行或异面，故错误；对 于 B，若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得 m⊥n， 故正确；对于 C，若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面 平行的判定定理得 α∥β，故正确；对于 D，若 m∥n，n⊥α，α⊥β，则 m∥ β 或 m⊂β，故错误．故选 BC.
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一、立体几何中平行与垂直知识框架
【一】“平行关系”常见证明方法
二、立体几何中的向量方法
1.1 直线与直线平行的证明 1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等
1.1.2 利用三角形中位线性质 1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理 4）：
[来源:学科网 ZXXK]
【二】 “垂直关系”常见证明方法 2.1 直线与直线垂直的证明 2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），
正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 [来源:学§科§网]
2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
// a a // b b
1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：
ab
a b
a∥b
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明 1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：
2.巩固提升综合练习
【 练 习 1 】 如 图 ， 在 六 面 体 ABCDEFG 中 ， 平 面 ABC ∥ 平 面 DEFG ， AD ⊥ 平 面 DEFG ，
AB AC , ED DG , EF ∥ DG ,且 AB AD DE DG 2, AC EF 1．
BF ACGD 求证： ∥平面
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a ∥
a∥
α
a a
β
1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
1.3 平面与平面平行的证明
1.例题 【例 1】如图,四边形 ABCD 为矩形，CF⊥平面 ABCD，DE⊥平面 ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，P 为 AB
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条
直线。
a∥b ac
bc
c
a
b
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
a b ∥
ab
2.2 直线与平面垂直的证明
b
αa
2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等
2.1.3 利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
a
b ba α
b a
2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
l a b
al
bl
ab
β b
l
α
a
2.1.5 利用常用结论：
l
b
Aa
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l a
a
a
a l
l
2.2.5 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a∥b b
a
ab
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
2.3 平面与平面垂直
∥ a
a
的证明
2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
a
2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说
这连个平面互相垂直。
2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a
a a
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
a∥c a ∥b b∥c
1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
a ∥ a
a∥b
β
a
b
α
b
1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 [来源:学§科§网 Z§X§X§K]
2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两 条相 交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：
1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
⇒ //
b
a
P
a //
b //
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点
1.例题
【例 1】 如图，已知菱形 ABCD ，其边长为 2， BAD 60 ， ABD 绕着 BD 顺时针旋转120 得到 PBD ， M 是 PC 的中点． （1）求证： PA / / 平面 MBD ； （2）求直线 AD 与平面 PBD 所成角的正弦值．
；
[来源:学.科.网]
A
C
B
D
G
E
F
【练习 2】如 图， E ， F ， G ， H 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 BC ， CC1 ， C1D1 ， AA1 的中点．
求证：（1）
EG∥平面
BB1D1D
； [来源:学科网]
（2）平面 BDF∥平面 B1D1H ．
【练习 3】在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且 DAB 60 ， EF / / 平面 ABCD ， EA ED AB 2EF 2 ， M 为 BC 中点. 求证： FM / / 平面 BDE .
【例 2】 已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是 A 60 、边 长为 a 的菱形，又 PD 底ABCD，且 PD=CD，
点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点． 证明：DN//平面 PMB。
P
N
D
M
C
A
B
【例 3】如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， E ， F 分别是 PA ， BD 上的点且 PE∶EA BF∶FD ，求证： EF//平面 PBC ．