线段树
线段树及其应用场景
线段树及其应用场景一、引言线段树（Segment Tree）是一种基于树状数组（Binary Indexed Tree）的数据结构，用于高效地处理区间查询问题。
它在许多算法和数据结构问题中都有广泛应用，如区间最值查询、区间修改和区间统计等。
二、线段树的定义和构建线段树是一种二叉树结构，每个节点代表一个区间。
叶子节点表示原始数据的单个元素，而非叶子节点则表示区间的合并结果。
线段树的构建过程可以通过递归或迭代的方式完成。
3、线段树的应用场景3.1 区间最值查询线段树的一个常见应用是区间最值查询。
给定一个数组，我们希望能够快速找到指定区间内的最大或最小值。
线段树能够在O(log n)的时间复杂度内完成单次查询，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
3.2 区间修改线段树还可以用于区间修改问题。
例如，给定一个数组，我们需要对指定区间内的元素进行加法或乘法操作。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次修改，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间查询操作。
3.3 区间统计线段树还可以用于区间统计问题。
例如，给定一个数组，我们需要统计指定区间内满足某种条件的元素个数。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次统计，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
4、线段树的实现和优化4.1 线段树的存储结构线段树可以使用数组或链表来实现。
数组实现简单高效，但需要额外的空间；链表实现节省空间，但查询和修改操作的时间复杂度会增加。
4.2 线段树的查询和修改算法线段树的查询和修改算法可以通过递归或迭代的方式来实现。
递归实现简洁直观，但可能会导致函数调用过多；迭代实现效率较高，但代码复杂度较高。
4.3 线段树的优化技巧线段树的性能可以通过一些优化技巧来提升。
例如，使用延迟标记（Lazy T ag）来延迟区间修改操作的执行，减少递归或迭代次数；使用预处理技巧来提前计算一些中间结果，减少查询或修改的时间复杂度。
线段树
对于线段树中的每个结点， 其表示一个区间，我们可以记录和这个区间相关 的一些信息（如最大值、最小值、和等） ，但要满足可二分性，即能直接由其子
结点的相关信息得到。 对于询问区间信息和修改区间信息的操作，线段树一般在能 O(log n) 的时间 内完成，而且常数相对较小（和后面的伸展树比较） ，算是一种高效实用的数据 结构。 （2）线段树的基本操作——查询区间信息 使用线段树的目的就是能高效地查找和修改区间信息， 下面先介绍第一个操 作——查询操作。 对于当前要查询的区间 a, b ，我们从线段树的根结点开始，如果当前结点 表示的区间被查询区间完全包含，那么更新结果，否则分别考察左右子结点，如 果查询区间与某个子结点有交集（也可能两个都有） ，那么就递归考察这个子结 点。代码框架如下1：
对于任意一个区间，会被划分成很多在线段树上存在的区间，可以证明，划 分出来的区间在线段树的每层最多有两个，又因为线段树的深度为 O(log n) ，因 此查询操作的时间复杂度为 O(log n) 。
（3）线段树的基本操作——修改区间信息 相对于查询区间信息，修改区间信息显得稍微复杂一些。
1
本文中的代码均使用 C++语言描述
（4）线段树特点总结 利用线段树， 我们可以高效地询问和修改一个数列中某个区间的信息，并且 代码也不算特别复杂。 但是线段树也是有一定的局限性的， 其中最明显的就是数列中数的个数必须 固定，即不能添加或删除数列中的数。对于这个问题，下面介绍的伸展树就可以 完美的解决。
(7,10]
(0,1] (1,2] (2,3] (3,5] (5,6]
(6,7] (7,8]
(8,10]
(3,4]
历史区间最值线段树
历史区间最值线段树
历史区间最值线段树是一种数据结构，用于在一个固定的区间上进行最值查询，同时支持历史版本查询。
线段树是一种二叉树，其中每个节点代表一个区间，左子节点表示左半区间，右子节点表示右半区间。
每个节点保存了该区间的最值信息。
通过将整个区间递归地划分成子区间，可以构建出一棵线段树。
历史区间最值线段树基于线段树的基本思想进行扩展。
除了保存每个区间的最值信息外，它还保存了每个区间的历史版本信息。
在每次更新操作时，会复制一份当前区间的最值信息，然后在新版本中进行更新。
这样就可以记录每个区间每个版本的最值信息。
对于查询操作，可以通过二分法在历史版本上进行查找，找到指定版本的最值信息。
同时可以通过二分法在每个版本上进行查找，找到某个区间范围内的最值。
历史区间最值线段树主要用于解决一些需要查询历史版本最值信息的问题，比如求解一段时间范围内的最大或最小值。
它在某些场景下可以提供更高效的查询性能，但是也需要额外的空间来保存历史版本信息。
线段树
线段树目录定义基本结构实现代码树状数组编辑本段定义区间在[1,5]内的线段树线段树又称区间树，是一种对动态集合进行维护的二叉搜索树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 Interval [ x ]。
线段树支持下列操作：Insert(t,x)：将包含区间 int 的元素 x 插入到树中；Delete(t,x)：从线段树 t 中删除元素 x；Search(t,i)：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。
编辑本段基本结构线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a , b]。
长度为1的线段称为元线段。
非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 , b]。
右图就是一棵长度范围为[1 , 5]的线段树。
长度范围为[1 , L] 的一棵线段树的深度为log ( L - 1 ) + 1。
这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L)。
线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。
下面以插入为例，详细叙述，删除类似。
将一条线段[a , b] 插入到代表线段[l , r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid＝（l＋r）/2。
如果b<mid，那么将线段[a , b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a , b] 也插入到p的右儿子结点中。
插入（删除）操作的时间复杂度为O (Log N)。
上面的都是些基本的线段树结构，但只有这些并不能做什么，就好比一个程序有输入没输出，根本没有任何用处。
最简单的应用就是记录线段有否被覆盖，并随时查询当前被覆盖线段的总长度。
那么此时可以在结点结构中加入一个变量int count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。
这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。
另外也可以将count换成bool cover；支持查找一个结点或线段是否被覆盖。
线段树ppt课件
•
else Count := 0; 连接处颜色相同并且
非底色，则总数减1
统计算法
最左边的颜色
• end • else if r – l > 1 then
最右边的颜色
• begin
最左颜色=最右颜色=本身
•
result := Count(p * 2, l,非(底l +色则r)统d计iv数加2,1 lc, tl) +
•
else if a >= m then Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b, c)
•
else begin
•
Insert(p * 2, l, m, a, m, c);
•
Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b, c);
•
end;
•
end;
• end;
• end;
示例
• 初始情况 0 0 0 0 0
• [1，2]
10000
• [3，5]
10110
• [4，6]
10111
• [5，6]
10111
4个1
缺点
• 此方法的时间复杂度决定于下标范围的平 方。
• 当下标范围很大时（[0,10000]），此方法 效率太低。
离散化的做法
• 基本思想：先把所有端点坐标从小到大排 序，将坐标值与其序号一一对应。这样便 可以将原先的坐标值转化为序号后，对其 应用前一种算法，再将最后结果转化回来 得解。
Wall
分析
• 这道题目是一个经典的模型。在这里，我 们略去某些处理的步骤，直接分析重点问 题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有 若干条线段，求线段覆盖的总长度。
线段树的概念与应用
线段树的概念与应用线段树（Segment Tree）是一种用于解决区间查询问题的数据结构。
它可以高效地支持以下两种操作：区间修改和区间查询。
线段树的应用非常广泛，在离线查询、区间统计、区间更新等问题中有着重要的作用。
一、概念线段树是一颗二叉树，其中每个节点代表了一个区间。
根节点表示整个待查询区间，而叶子节点表示的是单个元素。
每个内部节点包含了其子节点所代表区间的并集。
二、构建线段树线段树的构建过程是自底向上的。
将待查询数组划分成一颗满二叉树，并将每个区间的和存储在相应的节点中。
对于叶子节点，直接存储对应元素的值。
而非叶子节点的值可以通过其子节点的值计算得到。
三、线段树的查询对于区间查询操作，可以通过递归方式实现。
从根节点开始，判断查询区间和当前节点所代表的区间是否有交集。
若没有交集，则返回当前节点的默认值。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则返回当前节点存储的值。
否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询。
四、线段树的更新对于区间更新操作，也可以通过递归方式实现。
与查询操作类似，首先判断查询区间和当前节点所代表的区间的关系。
若没有交集，则无需更新。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则直接更新当前节点的值。
否则，将更新操作分割成左右两部分继续递归更新。
五、应用案例：区间最值查询一个常见的线段树应用是求解某个区间的最值。
以查询区间最小值为例，可以通过线段树来高效地解决。
首先构建线段树，然后进行区间查询时，分为以下几种情况处理：若当前节点所代表的区间完全包含于查询区间，则直接返回该节点的值；若当前节点所代表的区间与查询区间没有交集，则返回默认值；否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询，最后返回两个子区间查询结果的较小值。
六、总结线段树是一种非常有用的数据结构，能够高效地解决区间查询问题。
通过合理的构建和操作，线段树可以应用于多种场景，如区间最值查询、离线查询等。
熟练掌握线段树的概念和应用方法，对解决问题具有重要意义。
线段树求解区间最长递增子序列问题
线段树求解区间最长递增子序列问题区间最长递增子序列问题是指在给定的序列中找出一个区间，该区间内的子序列是递增的且具有最长长度。
为了解决这个问题，我们可以使用线段树的数据结构。
线段树是一种用于快速解决区间查询问题的树状数据结构。
对于区间最长递增子序列问题，我们可以通过建立线段树来实现。
首先，我们需要将原始序列分割成若干区间，每个区间有一个对应的节点。
每个节点存储这个区间内的最长递增子序列的长度。
然后，我们可以通过递归地建立线段树来实现。
在建立线段树时，我们首先将原始序列分为两半，然后递归地对每个子区间进行相同的分割操作。
当递归到只剩下一个元素时，该节点的最长递增子序列的长度为1。
接下来，我们需要将每个节点的子树的最长递增子序列的长度合并到父节点中。
对于一个父节点的区间来说，其最长递增子序列的长度可以由左子节点的最长递增子序列和右子节点的最长递增子序列合并得到。
具体合并的过程是比较左子节点的最长递增子序列的长度和右子节点的最长递增子序列的长度，取较大值即为父节点的最长递增子序列的长度。
当线段树建立完毕后，我们可以通过查询操作来求解区间最长递增子序列问题。
对于每个查询，我们从根节点开始，比较查询区间和当前节点的区间。
如果查询区间完全包含当前节点的区间，那么返回当前节点的最长递增子序列的长度。
如果查询区间与当前节点的区间有交集，那么递归地查找左子节点和右子节点，然后分别返回两个子节点的最长递增子序列的长度的较大值。
通过线段树，我们可以高效地解决区间最长递增子序列问题。
每次查询的时间复杂度为O(logn)，其中n是序列的长度。
然而，建立线段树的时间复杂度较高，为O(nlogn)。
因此，在需要频繁查询但很少修改的情况下，使用线段树是一个高效的选择。
总结起来，线段树是一种用于解决区间查询问题的数据结构。
通过建立线段树，可以高效地求解区间最长递增子序列问题，每次查询的时间复杂度为O(logn)。
线段树板子（懒惰标记）
线段树板⼦（懒惰标记）线段树线段树就是在⼆叉树的基础上,每个节点存储⼀个区间中所有数的和。
如果⼀个节点对应的区间是 [l ,r ],那么把 [l ,r ] 分成l ,l +r 2(左⼉⼦)和 l +r 2+1,r (右⼉⼦). 根节点表⽰的区间是[1, n],这样区间 [1, n]就被划分为⼀个树形结构.需要注意的还有线段树数组的⼤⼩：线段树的深度是 ⌈logn ⌉.线段树是⼀棵完全⼆叉树,总节点个数为 2⌈logn ⌉+1−1<4n .因此我们⾄少要把线段树的节点数开成 4n .建树根据⼆叉树的性质，rt 的左⼉⼦是rt×2，右⼉⼦是rt×2+1，⽤位运算可以优化时间效率Code单点修改修改线段树上的⼀个节点最多只会影响该节点到根的路径上的这些节点,也就是最多只需要修改⌊logn ⌋个节点。
Code区间查询Code懒惰标记[⌊⌋][⌊⌋]Processing math: 100%A 的懒惰标记加 1.A 的权值加上 1 ∗ 2(加上的数字 × 区间长度).询问 [1, 2],直接返回 tree[A].A 的懒惰标记下传 (特别注意, A 的懒惰标记和 A ⽆关, A 的懒惰标记是要加在⼉⼦⾝上的,⽽不是⾃⼰⾝上) tree[B], tree[C] 加上 lazy[A] ∗ 1(懒惰标记 × 区间长度)lazy[B], lazy[C] 加上 lazy[A]直接返回 tree[C].区间修改updatapushdown类似之前的询问操作,修改操作也是将区间拆成logn个区间分别修改,时间复杂度O(logn). Code区间查询有懒惰标记相⽐没有懒惰标记的时候,区间查询唯⼀的不同就是需要下放标记. Code例题Code。
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线段树应用举例
给一个序列A1,A2,…An,并且可能多次进 行下列两个操作： 1.对序列里面的某个数进行加减 2.询问这个序列里面任意一个子序列 Ai,Ai+1…Aj的和为多少。
线段树的应用举例
显然，[1,n]就是根结点对应的区间。 可以在每个结点记录该节点对应的区间里 面的数的sum。 对于操作1：在线段树中修改某个叶子结 点的sum值。 对于操作2：找到查询区间所覆盖的区域， 然后将区域的和累加起来。
线段树是处理动态统计问题的强有力的工 具，有良好的二分结构，能体现分治的思 想。
总结
在用线段树解题时： 1.题目有一定的区间性。 2.不要只拘泥于线段树这个名字，只要是 区间，而区间是由单位元素，点，线段， 数组中的一个值组成，都可以建立线段 树。 3.每个结点的值根据子结点的值来维护。 4.根据题目所需，灵活的设立变量记录信息。
线段树的存储结构(1)
叶子节点划分到1，通常为处理线段，不 涉及到点
线段树的存储结构(2)
叶子节点划分到0，通常为处理数列等区 间，涉及到单个点
线段树的实现
struct Node { int left,right; /*线段的左右端点*/ int lchild,rchild; /*左右孩子的编号*/ }; Node tree[MAXN]; 以上是描述一颗线段树所必须的4个量，根据实际需要 我们可以增加其他的域，如cover域来计算该线段被覆 盖的次数，sum代表区间的总和，best代表区间的最优 值等等。
复杂度分析
每次给区间涂上或擦除颜色耗时 O(len),len为操作区间的长度，若总共有 Q次操作，则总共为O(∑leni)(1<=i<=Q) 当每次操作的区间长度很大，或者操作 数量很多时，显然会超时！
解决办法
线段树登场！！
线段树的结构
线段树是一颗二叉树，其节点是一条 “线段”-[a,b],它的左孩子和右孩子分别 是这条线段的左半段和右半段，即 [a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b].线段树的叶子节 点是长度为1的单位线段[a,a+1].
线段树的改进
void clear(int num) { tree[num].cover=false; tree[num].bj=false; tree[tree[num].lchild].bj=true; tree[tree[num].rchild].bj=true; }
线段树的应用
掌握了线段树的基本操作后，可以高效的 解决一些与区间有关的动态统计问题。
作业
POJ 2823,3264,3468,3368,2777 HDU 1394,1166,2795
线段树的改进
要避免之前的情况，我们需要将[1,15]的 所有子结点修改，显然这耗时很大，比直 接模拟还要慢。
线段树的改进
引入标记位bj，增加如下操作： 1.擦去线段[a,b]后，给它的左儿子和右儿 子都做上标记，令它们的bj=true; 2.每访问一条线段，首先检查它是否被标 记，若其bj=true，则进行如下操作： (1)将该线段的状态改为未覆盖，并把该线段设 为标记，bj=false; (2)将该线段的左右孩子的bj置为true;
线段树及其应用
0908-冯子畅
问题:
在数轴上进行一系列的操作，每次操作 有两种类型，一种是在线段[a,b]上涂上 颜色，另一种是将[a,b]上的颜色擦去。 问经过一系列操作后，有多少条单位线 段[k,k+1]被涂上了颜色？
最直接的方法：
开一个数组Segments[MAXN]记录线段， 将[a,b]涂色对应于将Segments[a]Segments[b]标记为cover,相应的擦除颜 色对应于撤消标记，最后统计有多少区 间被标记为cover。
线段树的性质
1.线段树是平衡的二叉树，最大深度为 logn(n为线段树所表示区间的长度） 2.线段树把区间上的任意一条线段都分成 不超过2LogL条线段。 这些结论为线段树在O(logn)的时间内完成 一条线段的插入，删除，查找提供了理论 依据。
线段树的改进
对于开始的问题，我们基本上已经可以高效的解 决了。 根据题目描述，我们可以在结点中增加域 cover来标记该线段是否被覆盖，对于给区 间[a,b]涂色，可以用线段树的插入操作来 插入线段[a,b]，并将cover标记为true。对 于擦除操作，可以用线段树的删除操作来将[a,b] 的cover标记为false.最后再二分的统计就可以得 到答案。所有的操作都在O(logn)时间内完成。
线段树的改进
然而，还有一个潜在的问题存在。 考虑如下的情况： 首先将 [1,2],[2,3]…[14,15],[1,3],[3,5]…[13,15],[1,5 ],…[1,15]涂上颜色。然后将[1,15]的颜色擦去。 此时我们只将线段树中[1,15]的结点的cover标 记为了false,而它的所有子节点的cover仍然为 true，显然这与实际的情况不符合。
离散化
如果每个叶子节点都代表一块瓷砖，那么 线段树会导致MLE，即单位区间的数目太 多。实际上，由于最多10,000个海报， 共计20,000个端点，这些端点把墙最多 分成19,999个区间（题意为整个墙都会 被盖到）我们只要对这19,999个区间编 号，然后建树即可。这就是离散化。
构造区间
有时，不一定一眼就能看出什么是区间， 这就要靠仔细观察，造出“区间”来。如: 一颗有N(N≤ 100000)个节点的苹果树，开始 每个节点上有一个苹果。然后有M(M≤ 100000) 条语句，语句分2种形式： “C x”表示如果第x个节点上有苹果，则把苹果 摘去，如果没有，则在这个结点上长出一个苹 果。 “Q x”表示询问此时树上有多少苹果。
线段树的应用举例
如果走到结点[L,R],要查询的区间就是[L,R] 则直接返回结点的sum值。 如果不是： 看查询的区间与[L,mid],[mid+1,R]哪个有 交集，就进入哪个区间进行进一步查询。 最后通过左右孩子区间的sum值调整维护 当前区间的sum值
线段树的应用举例
给定Q(1<=Q<=200000)个数A1-AQ，多 次求任一区间Ai-Aj中最大数和最小数的差 本题节点结构： struct Node { int left,right; int lchild,rchild; int nMax,nMin; /*区间的最大和最小值*/ }
构造区间
深度优先遍历整棵树，为每个节点标记一 个开始时间和结束时间，显然子树里面的 开始时间和结束时间，都位于子树树根的 开始时间和结束时间之间。则问题变成： 有n个节点，2n个开始结束时间，构成序 列： A1，A2…A2n-1,A2n 序列里每个数为0或1，可变化，随时查询某个区 间的和。
总结
离散化
有时，区间端点不是整数，或者区间太大 导致建树内存开销太大MLE,那么就需要离 散化后在建树。
离散化
给定一些海报，可能互相重叠，告诉你 每个海报宽度（高度都一样）和先后叠 放次序，问没有被完全盖住的海报有多 少张。海报最多10,000张，但是墙有 10,000,000块瓷砖长。海报端点不会落 在瓷砖中间。
线段树的查询
查询线段[l,r]的相关信息
keytype search(int l,int r,int num) { if(l<=tree[num].left&&tree[num].right<=r) {根据key处理res;返回rse;} int mid=(tree[num].left+tree[num].right)>>1; if(l<mid) {根据search(l,r,tree[num].lchild)处理res;} if(r>mid) {根据search(l,r,tree[num].rchild)处理res;} return r结构：
线段树的建立
基于线段树的结构，可以用二分的方法来构建一颗线段树。
void build(int l,int r) { tree[total].left=l; tree[total].right=r; /*根据实际需要初始化额外的域*/ if(l+1==r) return; int now=total; int mid=(l+r)>>1; tree[now].lchild=++total; build(l,mid); tree[now].rchild=++total; build(mid,r);
}
线段树的修改
对线段[l,r]进行修改
void modify(int l,int r,int num,keytype value) { if(l<=tree[num].left&&tree[num].right<=r) {根据value值处理当前节点的key;} int mid=(tree[num].left+tree[num].right)>>1; if(l<mid) modify(l,r,tree[num].lchild,value); if(r>mid) modify(l,r,tree[num].rchild,value); {根据左右孩子的Key来处理当前节点的Key;} }