图论-平面图在信息学中的应用-平面图理论
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图论及其应用的平面图
称为该面 f 的次数, 记为deg ( f )。
f4
f2 f3
f1
平面图G
在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。
deg( f1) 1 deg( f2 ) 3 deg( f3 ) 6 deg( f4 ) 6
1、平面图的次数公式
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg( f ) 2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有：
f1
平面图G
在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部 面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)
要求空调管道间不能交叉。如何设计？
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
f4
f2 f3
f1
平面图G
在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。
deg( f1) 1 deg( f2 ) 3 deg( f3 ) 6 deg( f4 ) 6
1、平面图的次数公式
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg( f ) 2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有：
f1
平面图G
在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部 面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)
要求空调管道间不能交叉。如何设计？
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
第3章 平图与平面图
第1节 平图与Euler公式
基本性质 性质1
10
若图 G 是平面图，则 G 的任何子图都是平面图。
性质2
性质3
若图 G 是非平面图，则 G 的任何母图都是非平面图。
若图 G 是平面图，则在 G 中添加重边或环边后所得之
图仍是平面图。
注：由以上定理知
(1) K n ( n ≤ 4 ) 和 K1,n (n ≥ 1) 及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。
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第1节 平图与Euler公式
定理3.1.2
14
平面图 G 中所有面的次数之和等于 G 的边数的
两倍，即
deg( f ) 2
i 1 i
r
其中 f1 , … , fr 是 G 的所有面。
证明：对
G 的任何一条边 e ，若 e 是两个面 fi 和 fj 的公共
边界，则在计算 fi 和 fj 的次数时， e 各提供了 1 ；若 e 只 是某一个面的边界，则在计算该面的次数时， e 提供了 2 。
返回 结束
第2节 Kuratowski定理
定理3.2 (Kuratowski定理 1930)
24
P125
图G是平面图 G不含K5或K3,3的细分图。
根据Kuratowski定理，可以断定：所有树都是平面图。
补充 (Wager定理 1937)
P128
图G是平面图 G不含边收缩为K5或K3,3的子图。
定理3.1.4 设G是简单平面图，则G是极大的 ε= 3ν- 6。 推论3.1.4.1 设G是简单平面图，则 ε≤ 3ν- 6。 推论3.1.4.2 若图G是简单平面图，则δ≤5。 推论3.1.4.3 K5是非平面图。
《图论》第5章 平面图
下不需作严格区分。
5.1 平面图及其性质
[区域] 由平面图的边包围而成，其中不含图的顶点。 也称为面。包围域 R 的所有边组成的回路称为该 域的边界，回路长度称为该域的度，记为deg(R)。
[例]
v2
v1
R1
v3
v5 各域的边界：
v4
v6 R2
R0
v7
R3
R0: v1 v2 v4 v5 v7 v7 v4 v3 v1 R1: v1 v2 v4 v3 v1 R2: v4 v5 v7 v4 v6 v4 R3: v7 v7
deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5, deg(R3)=1
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-1] 平面图 G 的所有域的度之和等于其边数 m 的2倍，即：
r
deg(Ri ) 2m
i1
➢ 域的度也称为域的次数。
[内部面和外部面] 由平面图的边包围且无穷大的域称 为外部面。（如上例的域 R0 为外部面）
5.1 平面图及其性质
[二部图] 图 G=(V, E)，若 V 可划分成 V1 和 V2 两部分， 使得：①任给 v1 V1，若( v1, v2 ) E ，则必 v2V2 ；②任给 v2 V2，若( v1, v2 ) E ，则必 v1V1 。则称G为一个二部图。
[例]
5.1 平面图及其性质
[完全二部图] 设 G=(V, E)为一个二部图， V1 和V2 如 上所述，若 (v1) (v2)(v1V1, v2V2 ( v1, v2 ) E)， 则称 G 为一个完全二部图，记为 Kn1, n2。 ( n1 =|V1| ，n2 =| V2 |)
m (nk 1)l l 2
[证明]
由欧拉公式： nm+d =k+1 得 d = k+1+mn 由[定理5-1-1]：2mld = l (k+1+mn)= (k+1n)l +ml 联立得不等式： (l2)m (n k1)l
5.1 平面图及其性质
[区域] 由平面图的边包围而成，其中不含图的顶点。 也称为面。包围域 R 的所有边组成的回路称为该 域的边界，回路长度称为该域的度，记为deg(R)。
[例]
v2
v1
R1
v3
v5 各域的边界：
v4
v6 R2
R0
v7
R3
R0: v1 v2 v4 v5 v7 v7 v4 v3 v1 R1: v1 v2 v4 v3 v1 R2: v4 v5 v7 v4 v6 v4 R3: v7 v7
deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5, deg(R3)=1
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-1] 平面图 G 的所有域的度之和等于其边数 m 的2倍，即：
r
deg(Ri ) 2m
i1
➢ 域的度也称为域的次数。
[内部面和外部面] 由平面图的边包围且无穷大的域称 为外部面。（如上例的域 R0 为外部面）
5.1 平面图及其性质
[二部图] 图 G=(V, E)，若 V 可划分成 V1 和 V2 两部分， 使得：①任给 v1 V1，若( v1, v2 ) E ，则必 v2V2 ；②任给 v2 V2，若( v1, v2 ) E ，则必 v1V1 。则称G为一个二部图。
[例]
5.1 平面图及其性质
[完全二部图] 设 G=(V, E)为一个二部图， V1 和V2 如 上所述，若 (v1) (v2)(v1V1, v2V2 ( v1, v2 ) E)， 则称 G 为一个完全二部图，记为 Kn1, n2。 ( n1 =|V1| ，n2 =| V2 |)
m (nk 1)l l 2
[证明]
由欧拉公式： nm+d =k+1 得 d = k+1+mn 由[定理5-1-1]：2mld = l (k+1+mn)= (k+1n)l +ml 联立得不等式： (l2)m (n k1)l
图论第6章
面的连通平面图，则有
n – m + ф =2
（1.2）
证明 对ф 用归纳法。
当ф =1时 ，G 无圈又连通，从而是树，有
于是
n =m+1 n -m+ф =（m+1）- m + 1= 2
设 ф = k 时，（1.2）式成立。
9
当 ф = k+1 时，此时 G 至少两个面，从而有 圈 C。删去 C 中一条边，记所得之图为 G ’ 。并 设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 ф ’, 易知 G ’ 仍连通，但只有 k 个面，由归纳假设有
(1.7）
证明 只需在定理4的证明中将所有不等号改为等号即可得 (1.7)式。
例3 在右图所示的图中， m=12，n = 8，l = 4
有 12×(4-2) = 4×(8-2)， 满足（1.7）式。
例4 证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。
16
证明 若 K5 是可平面图，则因 K5 是至少三个点的简单图， 由推论1，K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10， n = 5，代
例1
=
平面图
可平面图
3
不可平面图
=
可平面图
不可平面图
4
= 可平面图
= 可平面图
5
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平 面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界 称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。 每个平面图有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一 个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称 为 f 的次数，记为 deg(f )。
y1
y2
y3
但如果在 x3 与y1 之间也要修一条铁路，则 可验证满足要求的方案不存在。
图论方法在信息科学中的应用研究
图论方法在信息科学中的应用研究图论是数学中的一个分支，研究的对象是图。
图是用点和线（或称边）所组成的数学模型，它是一种非常抽象的结构，但在现实生活中却有着广泛的应用。
图论方法在信息科学中的应用研究，旨在利用图论的理论和方法来解决信息科学领域中的各种问题，包括网络安全、社交网络分析、推荐系统等方面。
在信息科学领域，网络结构是一个非常重要的研究对象。
网络由节点和边组成，节点代表实体或主体，边代表节点之间的联系。
通过构建网络结构，我们可以分析节点之间的关系，发现隐藏在数据背后的规律，并为信息传播、资源分配等问题提供有效的解决方案。
网络安全是信息科学中一个非常重要的研究领域，图论方法在网络安全中得到了广泛的应用。
通过建立网络的图模型，可以分析网络中节点之间的连接关系，识别出网络中的关键节点和脆弱点，从而设计有效的安全防护策略。
例如，通过分析社交网络中用户之间的联系，可以识别潜在的垃圾信息传播节点，采取相应的措施进行防范。
另一个信息科学领域中图论方法的应用是社交网络分析。
社交网络是人们之间相互联系的网络模型，通过分析社交网络中节点之间的联系，可以发现人们的社交行为规律、群体结构等信息。
社交网络分析可以应用在社交媒体营销、舆情监测等领域，帮助企业提升营销效果，政府及时了解社会热点，从而更好地服务人民。
除此之外，图论方法还在推荐系统中得到了广泛的应用。
推荐系统是一种通过分析用户的行为数据，向用户推荐他们可能感兴趣的信息、产品等内容的系统。
通过构建用户-物品关系的图模型，可以发现用户之间的相似性和物品之间的相关性，从而为用户提供更加个性化和准确的推荐。
图论方法在推荐系统中的应用，可以提高系统的精确度和用户满意度，促进用户与系统的互动与信任。
总的来说，图论方法在信息科学中的应用研究具有重要的意义。
通过构建图模型，可以揭示数据之间的联系和规律，帮助人们更好地理解信息世界。
图论方法不仅可以提高信息科学研究的效率和准确度，还可以推动信息技术的发展与创新。
图论平面图
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。
4-6 平面图
重点：掌握欧拉定理及其证明。
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和 边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点 处相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面 图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
5.定理4-6.3 设G为一简单连通平面图，其顶点数 v≥3，其边数为e，那么 e≤3v – 6
证明思路：设G的面数为r,当v=3,e=2时上式成立,
若e=3,则每Hale Waihona Puke 面的次数不小于3,各面次数之和不小于
2e,因此
2e≥3r, r≤2e/3
代入欧拉公式: 2=v-e+r≤v-e+ 2e/3
整理后得: e≤3v – 6
定义4-6.3 设图G=<V,E>是一连通平面图,由图中 各边所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的 区域称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面 的闭的路径称为面的边界（boundary），面r的边界长 度称为面r的度（degree）记为deg (r) ，又称为面r的 次数 。
例如图
故 v-e+r=2成立。 （2）若G为一个边，即v=2，e=1，r=1，
图论讲义第7章-平面图
第七章 平面图§7.1 平面图的概念定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。
若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。
例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。
根据定义，下列定理是显然的。
定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。
定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。
定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。
注：由以上定理知(1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。
(2) 环边和重边不影响图的平面性。
故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。
定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。
其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。
包围一个面的所有边称为该面的边界。
一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。
定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。
证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。
可见每条边在计算总次数时，都提供2。
因而结论成立。
1deg()2().r ii R G ε==∑定义7.1.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u, v之间加边uv 后，所得之图成为非平面图，则称G是极大平面图。
易见K1, K2, K3, K4, K5– e 都是极大平面图。
定义7.1.4 若非平面图G任意删除一条边后，所得之图都是平面图，则称G为极小非平面图。
图论第6章-平面图
n–m+r=( n′+1)–(m′ +1)+r′= n′-m′ +r′ =2。
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
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R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
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R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
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f ejg baFra bibliotekd g
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在同一水平面上有N(N<=500)个洞穴，洞 穴之间有通道相连，且每个洞穴恰好连着三个 通道。通道与通道不相交，每个通道都有一个 难度值，现从1号洞穴开始遍历所有的洞穴刚 好一次并回到洞穴1，求通过通道难度值之和 的最小值。(给定所有通道的信息和在外圈上 的洞穴)
应用-例2:洞穴(CEOI97)
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1,…,a2,…,a3,…,…,…,ak,…,1.
应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
给定一地图，要求用不超过5种颜色涂每 一个区域，使得相邻区域的颜色不同。（区域 数<=500）
分析： 把每个区域看成点，相邻区域之间连一条边，则
问题转化为对每个点着色并使得相邻点颜色不同。 根据地图的平面性可知：转化后的图是平面图。
故对任何连通简单平面图G，G是五着色的.
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应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
算法：
procedure Paint(G:Graph); 找出度最小的点v0 Paint(G-v0) 考虑图G，若无法对v0着色，则对v0的相邻点，枚举
相关定义、定理及推论
平面图
– 一个无向图G=<V，E>，如果能把它画在平面上， 且除V中的节点外，任意两条边均不相交，则称该 图G为平面图。
例如：图(a)经变动后成为(b)，故图(a)为平面图。而图(c)无论 如何变动，总出现边相交，图(c)为非平面图。
(a)
(b)
(c)
相关定义、定理及推论
面
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
如何建立图G？
算法二
– 定义线段树T：
时间性能分析
• 设节点N描述区间[a,b]的覆盖情况
排序：O(NlogN)
0
(无线段覆盖[a,b])
检索：O(NlogYmax)
• 则N.Cover= L
(线段L完全覆盖[a,b]) 插入：O(NlogYmax)
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应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
若d(v0)=5且各邻接点分别着不同的颜色，则设与之相 邻的点的按顺时针排列为v1,v2,v3,v4,v5.它们分别着不同的颜 色c1,c2,c3,c4,c5.
考 虑 点 集 Vc1,c3={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c1 或 c3} 所 诱 导 的 G1-v0的子图<Vc1,c3>.若v1,v3属于<Vc1,c3>的不同的分图，则在 v1所在的分图中，调换颜色c1与c3后，v1,v2,v3,v4,v5五个点是 四着色的，再令v0着c1色，得到G1的一种五着色.
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应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
若v1,v3属于<Vc1,c3>的同一的分图，则点集Vc1,c3∪{v0} 所诱导的G1的子图中含有一个圈C，而v2,v4不能同时在圈的 内 部 或 外 部 ， 即 v2,v4 不 是 邻 接 点 ， 于 是 考 虑 Vc2,c4={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c2或c4}所诱导的子图<Vc2,c4>， v2,v4必属于<Vc2,c4>的不同的分图.做与上面类似的调整，又 可得到G1的一种五着色.
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
有没有更好的办法？
算法三—换个角度，从点出发 每次选取度最小的点v，由推论2知d(v)≤5，只需花常数时间就可 以计算含点v的三角形的数目. 应用二叉堆可以提高寻找和删除点v的效率，总的时间复杂度仅为 O(NlogN)
算法二与算法三的比较 算法二是以边作为出发点的，从整体上看，平面图中三角形的个 数只是O(N)级的，而算法二的复杂度却是O(N2)，这种浪费是判断 条件过于复杂造成的。算法三从点出发，则只需要判断某两点是 否相邻即可。
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
分析 把线段看成点 若两条线段水平可见，则在
对应两点之间连一条边，建 立无向图G 统计G中的三角形的数目
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
如何建立图G？ 算法一
– 设数组C[I]（I=0..2Ymax），C[2y]表示覆 盖y点的最后一条线段，C[2y+1]表示覆 盖区间(y,y+1)的最后一条线段
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的最后一个除外）的个数小于等于1。
应用-例2:洞穴(CEOI97)
情形二
路径1-3-7-9-10-8-4把图分成两部分，
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而且两部分中都有未访问过的点。由
于图是平面图，其中必有一部分点不
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能被访问到。
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剪枝条件二
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设外圈上的点按连接顺序为1,a2,…,ak，
则访问的顺序只能为：
(其他情形)
– 线段树的存储：
使用完全二叉树的数组结构，可以免去复
杂的指针运算和不必要的空间浪费。
总计：O(NlogYmax)
空间性能分析
线段：O(N)
线段树：O(Ymax) 边表：O(N)
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
统计图G中三角形的数目
算法一 枚举所有的三元组，判断三个顶点是否两两相邻。由于总共有Cn3个三元 组，因此时间复杂度为O(N3)
– 设G为一平面图，若由G的一条或多条边所界定的 区域内不含图G的节点和边，这样的区域称为G的 一个面，记为f。包围这个区域的各条边所构成的圈， 称为该面f的边界，其圈的长度，称为该面f的度， 记为d(f)。为强调平面图G中含有面这个元素，把平 面图表示为G=<V，E，F>，其中F是G中所有面的 集合。
相关定义、定理及推论
定理1：若G=<V，E，F>是连通平面图，则∑f∈Fd(f)=2|E|. 定理2：若G=<V，E，F>是连通平面图，则|V|-|E|+|F|=2.
证明：
首先假定G是树，则|E|=|V|-1，G只有一个无限面， 因此|V|-|E|+|F|=|V|-(|V|-1)+1=2. 现在假设G不是树，由于G是连通的，故G中至少存在一个基本 圈C，于是G必有一个有限面f，而f的边界是由基本圈C及可能 连同计算两次的一些边组成.如果从G中删去基本圈C上的一条 边后得到的平面图G1=<V1，E1，F1>，则|V1|=|V|，|E1|=|E|-1， |F1|=|F|-1，故|V1|-|E1|+|F1|=|V|-|E|+|F|，仿此做下去，最终得到G 的一棵生成树T0=<V0，E0，F0>，于是|V|-|E|+|F|=|V0|-|E0|+|F0|=2.
对于任意平面图G，是否都能用不超过5种颜色着色？
应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
定理：对于任意平面图G，都能用不超过5种颜色着色. 证明：只需考虑G是连通简单平面图的情形.
若|V|≤5，则命题显然成立. 假设对所有的平面图G=<V，E>，当|V|≤k时命题成 立.现在考虑图G1=<V1，E>，|V1|=k+1的情形.由推论2 可知：存在v0∈V1，使得d(v0)≤5.在图G1中删去v0，得 图G1-v0.由归纳，图G1-v0可用5种颜色着色. 若邻接结点使用颜色数不超过4，则可对v0着色， 得到一个最多是五色的图G1.
相关定义、定理及推论
推论1：给定连通简单平面图G=<V，E，F>，若|V|≥3， 则|E|≤3|V|-6且|F|≤2|V|-4.
推论2：设G=<V，E，F>是连通简单平面图，若|V|≥3， 则存在v∈V，使得d(v)≤5.
推论1：|E|=O(|V|)
邻接表、散列表结构O(|V|) VS
邻接矩阵结构O(|V|2)
谢谢!
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
平面上有N(N<=8000)条互不相连的竖直线 段。如果两条线段可以被一条不经过第三条竖 直线段的水平线段连接，则这两条竖直线段被 称为“水平可见”的。三条两两“水平可见” 的线段构成一个“三元组”。求给定输入中 “三元组”的数目。（坐标值为0到8000的整 数）
分析 本题求的是最优路径，但最优路径具备什么性质并不
明显，故考虑深度优先搜索。 N最大达到500，考虑剪枝以提高效率。 基本剪枝条件：若当前路径的难度值的总和比当前最
优值大则放弃当前路径。 为了找到强剪枝条件，考虑问题所具有的特性
– 所有点的度数为3 – 所给的图是平面图 – 外圈上的点已知
所有点对,直到找到属于不同分图的点对，对其进行 调整. 任选剩下的一种颜色，对v0着色 时间复杂度：O(N2) 空间复杂度：O(N)
总结
以上例子分别论述了平面图理论在几类信 息学问题中的应用。我们研究平面图就是为了 更深刻地认识平面图，提高算法效率，但有时 候单独应用平面图理论还不够，还需要和其它 理论知识综合起来应用。然而要达到理想的效 果并非一朝一夕的事情，它还需要我们平时多 积累、多思考，遇到问题时才能运用自如。相 信随着对平面图的研究不断深入，平面图的应 用一定会更加广阔。
算法二 枚举一条边，再枚举第三个顶点，判断是否与边上的两个端点相邻。根 据水平可见的定义可知G为平面图，G中的边数为O(N)，故算法二的复 杂度为O(N2)
算法一与算法二的比较 算法一只是单纯的枚举，没有注意到问题的实际情况，而实际上三角形 的数目是很少的，算法一作了许多无用的枚举，因此效率很低。 算法二从边出发，枚举第三个顶点，这正好符合了问题的实际情况，避 免了许多不必要的枚举，所以算法二比算法一更加高效。