图论 平面图与对偶图
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图论重要结论
定理1： 图G= (V, E)中所有顶点的度的和等于边数m 的2倍，即：推论1 在任何图中，奇点个数为偶数。
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。
定理2 若n 阶简单图G 不包含Kl+1，则G 度弱于某个完全 l 部图 H ，且若G 具有与 H 相同的度序列，则: 定理3设T 是(n, m)树，则：偶图判定定理: 定理4图G 是偶图当且仅当G 中没有奇回路。
敏格尔定理: 定理5 (1) 设x 与y 是图G 中的两个不相邻点，则G 中分离点x 与y 的最小点数等于独立的(x, y)路的最大数目； (2)设x 与y 是图G 中的两个不相邻点，则G 中分离点x 与y 的最小边数等于G 中边不重的(x, y)路的最大数目。
欧拉图、欧拉迹的判定: 定理6 下列陈述对于非平凡连通图G 是等价的：(1) G 是欧拉图；(2) G 的顶点度数为偶数； (3) G 的边集合能划分为圈。
推论： 连通非欧拉图G 存在欧拉迹当且仅当G 中只有两个顶点度数为奇数。
H 图的判定: 定理H 图，则对V(G)的任一非空顶点子集S定理8 (充分条件) 对于n ≧3的单图G ，如果G 定理9 (充分条件) 对于n ≧3的单图G ，如果G 中的任意两个不相邻顶点u 与v ，有：定理10 (帮迪——闭包定理) 图G 是H 图当且仅当它的闭包是H 图。
定理11(Chv átal ——度序列判定法) 设简单图G 的度序列是(d1,d2,…,dn), 这里，d1≦d2≦…≦m<n/2,或者 dm>m,或者dn-m ≧ n-m,则定理12 设G 是n 阶单图。
若n ≧3且则G 是H 图；并且，具有n 个顶点 条边的非H 图只有C1,n 以及C2,5.定理13 (Hall G 存在饱和X 每个顶推论：若G 是k (k>0)正则偶图，则G 存在完美匹配。
定理14 (哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。
图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论 7-6 对偶图与着色
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
2、自对偶图 定义7-6.2 如果图G的对偶图G*同构于G,则称G
是自对偶图。
练习 321页 （4）
证明：若图G是自对偶的，则e=2v-2。
若图G是自对偶的，则v=v*，e=e*，即
r*=v=v*=r，e=e*则由欧拉定理v-e+r=2
证明一个图的色数为n，首 先必须证明用n种颜色可以着色 该图，其次证明用少于n种颜色 不能着色该图。
4、对点着色的鲍威尔方法： 第一步：对每个结点按度数递减次序进行排列(相 同度数的结点次序可随意) 第二步：用第一种颜色对第一个结点着色，并按次
序对与前面着色点不相邻的每一点着同样的颜色。
第三步：用第二种颜色对未着色的点重复第二步，
一、对偶图
1、对偶图 定义7-6.1 对具有面F1 ,F2,..., Fn的连通平面图 G=<V,E>实施下列步骤所得到的图G*称为图G的对 偶图（dual of graph）：
如果存在一个图G*=<V*，E*>满足下述条件： （a）在G的每一个面Fi的内部作一个G*的顶点vi* 。 即对图G的任一个面Fi内部有且仅有一个结点vi*∈V*。
边界时，作vi*的一条环与ek相交（且仅交于一处）。
所作的环不与 G*的边相交。 则称图G*为G的对偶图。
v*=r，e*=e， r*=v
例 画出下图的对偶图。
说明：v*=r，e*=e，r*=v。
平面图的对偶图仍满足欧拉定理，且仍是平
面图。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
指出肯普的方法 虽不能证明地图着色用四种颜色就
离散数学-图论
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G‘=〈V’，E‘〉，使得V’是V的子集， E‘是E的子集，则称G‘是G的子图。 • 如果G的子图G‘包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
图论
可达性矩阵
• 设G=〈V，E〉是图，V={v1, v2,…, vn}， 建立n阶方阵P(G)=(aij)，使得 aij =1， 从vi到vj至少存在一条路； aij =0，否则， 则称P(G)为图G的可达性矩阵。 比较：可达性矩阵与邻接矩阵的区别
图论
思考
• 邻接矩阵与可达矩阵之间有什么联系？ • 如何从邻接矩阵计算出可达矩阵？
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。 • 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。 • 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。 • 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！ • 连通性所划分的等价类是什么？
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集； • 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
图论习题
第三章 平面图
7.若G的顶点数不少于11个，则G c 不是平面图 证明：ε (G ) + ε (G c ) = v(v − 1) 2 , 又ε (G ) ≤ 3v(G ) − 6 则ε (G c ) ≥ 1 （v 2 − 7v + 12） 2 当v ≥ 11时，ε (G c ) > 3v(G c ) − 6, 从而G c 不是平面图
第四章 匹配理论及其应用
• 2.树上是否可能有两个不同的完备匹配？为什么？ • 解：不可能。
设M1，M 2为两个不同的完备匹配，则M1 ⊕ M 2 ≠ φ 且T[M1 ⊕ M 2 ]中的每个顶点的度为2. 由例1.9可知，T中包含圈。这与T为树矛盾。
第五章 着色理论
• 1.求n顶轮的边色数 • hints：n-1
' '
第五章 着色理论
第一条边颜色不变，其余边两色互换。 直至vl −1处无i h 色，多i l -1色； 得出矛盾：v l -1v l 着i h 色; vl 处i h = i l 色出现至少三次； 从而G中i h 和i l -1色边的导出子图中含v l的分支不可能是奇圈， 从而得出矛盾。
第五章 着色理论
• 8. 4名老师4个班级上课问题。 • 计算，一天应分几节课？若每天8节课，需几 间教室？ • hints： ∆(G ) = 16, ε (G ) = 48
16 = 4 一天分4节课 5 48 = 2 需2间教室 5*8
若 13. δ是单图G顶的最小次数，证明；若δ > 1则存在δ − 1边着色， 使与每顶关联的边种有δ − 1种颜色。 h int s : 反证法：设C = (E1 , E 2 ,..., E δ −1 )为G的(δ − 1) − 最佳边着色 构造点列：v1 , v2 ,..., vh , vh +1 ,....., vl ,.... v1处无i 0色，v j v j +1着i j色，且在v j点处i j 色重复出现，仅一个i j-1色；h = i l i 着色调整：v j v j +1着i j-1色( j = 1,2,..., h) 奇圈，颜色互换：E( Eih ∪ Eik )(k = h + 1, h + 2,..., l − 2),
二：平面图、对偶和作色、树和生成树
一个平面图，一定可以用四种颜色进行着色，
使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、着色
图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定一 种颜色，使得没有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图G在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。最小着色数用x(G)表示。 虽然目前还没有一个简单的方法，可以确定任一图G是n-色的。 但我们可以用韦尔奇鲍威尔(Welch Powell)对图G着色： a) 将图G中的结点按照度数的递减次序进行排列（这种排列可能 并不是唯一的，因为有些点有相同度数）；
3×5－6＝9＜10
K5
K3,3 推论： 如果图Ｇ＝<Ｖ,Ｅ>是连通的简单平面图，若v ≥ 3，
且每个区域至少由四条边围成，则有ｅ≤２v－４。
作业Ｐ317 (1) (2) (4)
7－6
对偶与着色
这个问题最早起源于地图着色，一个地图中相邻两个国家
以不同的颜色，那么最少需用多少种？
一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出用四种猜想即可对地 图进行着色的猜想，1879年肯普(Kempe)给出该猜想的第一个证 明，但到了1890年希伍德(Hewood)发现肯普的证明是错误的，指
1 4
3
5
2 带权树 2
6
三、最小生成树
定义：在图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树， 称作最小生成树。 最小生成树的生成算法： (1)避回路法 (2)破圈法 作业Ｐ327 (3) (6)
deg(v ) 2e
i 1 i
v
故2e ≥6v，所以e ≥3v>3v-6，与ｅ≤3v-6矛盾。 定理3 任意平面图G最多是5-色的。
7-7
一、树
树与生成树
定义： 一个连通且无回路的无向图称为树。树中度数为1
图论第6章
面的连通平面图，则有
n – m + ф =2
（1.2）
证明 对ф 用归纳法。
当ф =1时 ，G 无圈又连通，从而是树，有
于是
n =m+1 n -m+ф =（m+1）- m + 1= 2
设 ф = k 时，（1.2）式成立。
9
当 ф = k+1 时，此时 G 至少两个面，从而有 圈 C。删去 C 中一条边，记所得之图为 G ’ 。并 设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 ф ’, 易知 G ’ 仍连通，但只有 k 个面，由归纳假设有
(1.7）
证明 只需在定理4的证明中将所有不等号改为等号即可得 (1.7)式。
例3 在右图所示的图中， m=12，n = 8，l = 4
有 12×(4-2) = 4×(8-2)， 满足（1.7）式。
例4 证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。
16
证明 若 K5 是可平面图，则因 K5 是至少三个点的简单图， 由推论1，K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10， n = 5，代
例1
=
平面图
可平面图
3
不可平面图
=
可平面图
不可平面图
4
= 可平面图
= 可平面图
5
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平 面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界 称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。 每个平面图有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一 个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称 为 f 的次数，记为 deg(f )。
y1
y2
y3
但如果在 x3 与y1 之间也要修一条铁路，则 可验证满足要求的方案不存在。
第七章 图论
Graphs/图论
三、子图和补图
定义 无向简单图G＝<V,E>中，若每一对结点间都有 边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完全 图，记作Kn。 图10：
K 4图
Graphs/图论
定理 4 证明：
n个节点的无向完全图Kn的边数为：(1/2)*n*(n-1)。
在Kn中，任意两点间都有边相连，n个结点中任取两 点的组合数为：cn = (1/2)*n*(n-1) 故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。 （证毕）
推论：在一个具有n个结点图中，若从结点u到结点v存在 一条路，则必存在一条从u到v而边数小于n的通路。 删去所有结点s到结点s 的那些边，即得通路。
Graphs/图论
二、无向图的连通性
定义 在无向图G中，结点u和结点v之间若存在一条路， 则称结点u和结点v是连通的。
连通性是结点集合上的一种等价关系。
证明： 设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。 V2：图G中度数为偶数的结点集。 由定理1可知
vv 1
deg( v ) deg( v ) deg( v ) 2 | E |
vv 2 vV
因为
vv 2
deg( v) 为偶数。 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 v v1
b
b
Graphs/图论
四、图的同构
定义 设图G=<V,E> 及G’=<V’,E’>，如果存在一一对 应的映射ｇ：V → V’且ｅ=(vi ，vj)(或<vi ，vj>)是Ｇ的一条 边，当且仅当ｅ’=(g(vi ) ，g(vj))(或 <g(vi ) ，g(vj)>是Ｇ’的 一条边,则称Ｇ与G’同构，记作Ｇ ～ －G’ 。
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第四章 平面图与对偶图
4.1 平面图 4.2 平面图上的欧拉公式
4.3 对偶图
4.1 平面图
平面上的图(plane graph)：指的是画在平面上的一个图形，它的 所有的边都不相交（除顶点外）。
平面图(planar graph)：如果一个图经过重画之后，可以画成平面 上的一个边不相交的图形，则该图便称为平面图（可嵌入平面 (embeding)）。 Jordan curve：自身不相交的):
1）如果两个图能够从一个图G出发，通过在G的边上插入有限多 个2次顶点得到，则称这两个图是同胚。 2）如果两个图是同构的或通过反复插入或消去2次顶点后是同构 的，则称这两个图是同胚。 Th4.2：一个图为平面图当且仅当它不含与k5或k3.3同胚的子图。
Th4.3：一个图为平面图当且仅当它不含可以缩成k5或k3.3的子图。
4） G* 是连通的且为平面嵌入的。
Lemma4.10：设G为n，m和f且为平面上的连通图，其对偶图G*有n*， m*和f* n*= f， m= m*和n =f*。 Th4.11：设G为平面上的连通图，则G**≌G。 Th4.12：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边集构 成G的一个圈对应的G*的边集构成G*的一个割集。 Corollary4.13：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边 集构成G的一个割集对应的G*的边集构成G*的一个圈。
Th:一个图是可嵌入平面它是可嵌入球面。 Th4.4：设Ｇ是一个连通的平面上的图，n，m和f分别表示图Ｇ的顶 点数，边数和面数，则n-m+f=2。 Cor４.5：设Ｇ为具有n个顶点，m条边，f个面和k个分图的平面上的 图，则n-m+f=k+1。
Cor４.６：Ｇ<V,E>为简单连通平面图|V|=n（n>2）和|E|=m
Jordan closed curve： Jordan curve 两个端点重合。
Jordan curve theorem：C为在平面上的Jordan closed curve，平面 的其余部分被分成不相交的开集，分别称为C的外部和内部，则 连接内部和外部点的任何连续曲线必与C相交。 Th4.1：k5和k3.3不是平面图。
１）m≤3n-6； ２）如果G中不含三角形，则m ≤2n-4。
Cor４.7： k5和k3.3不是平面图。
Th4.8：每个简单平面图均包含一个次数最多为5的顶点。
下面内容见书： 一个图的厚度： Th4.9
4.3 对偶图
1. 对偶图(dual graph)： 任意一个平面上的图G， 如果：1）在G 的每个面Fi中选定一个点vi*作为顶点；
交叉数：为G画在平面上时，它的边出现相交的最少可能的数目。 记为：Cr(G)。
4.2 平面图上的欧拉公式
平面上的一个点x不与Ｇ相交的点：x既不是Ｇ的顶点也不是Ｇ的任 何一条边上的点。
Ｇ的包含ｘ的面：为平面上所有可以从ｘ出发通过一条不与Ｇ相交 的Jordan曲线而能达到的点的集合。
无穷面
Ｇ可嵌入曲面Ｓ：如果一个图Ｇ能够画在一张曲面Ｓ上，使得它的 边除了顶点外再无其它交点。
2）对应于G的每条边e，画一条线e*，它只与e相交，而不与 G的其它边相交，并且连接位于e两边的面Fi中的顶点vi*作为边。
这样构成的图称为图G的对偶图，记为G*。 Note:1）G中的每个悬点都产生G*的一个自环； 2）G中多于一条公共边的面，便产生多重边；
3）H G 但是H* G* 不一定；
4.1 平面图 4.2 平面图上的欧拉公式
4.3 对偶图
4.1 平面图
平面上的图(plane graph)：指的是画在平面上的一个图形，它的 所有的边都不相交（除顶点外）。
平面图(planar graph)：如果一个图经过重画之后，可以画成平面 上的一个边不相交的图形，则该图便称为平面图（可嵌入平面 (embeding)）。 Jordan curve：自身不相交的):
1）如果两个图能够从一个图G出发，通过在G的边上插入有限多 个2次顶点得到，则称这两个图是同胚。 2）如果两个图是同构的或通过反复插入或消去2次顶点后是同构 的，则称这两个图是同胚。 Th4.2：一个图为平面图当且仅当它不含与k5或k3.3同胚的子图。
Th4.3：一个图为平面图当且仅当它不含可以缩成k5或k3.3的子图。
4） G* 是连通的且为平面嵌入的。
Lemma4.10：设G为n，m和f且为平面上的连通图，其对偶图G*有n*， m*和f* n*= f， m= m*和n =f*。 Th4.11：设G为平面上的连通图，则G**≌G。 Th4.12：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边集构 成G的一个圈对应的G*的边集构成G*的一个割集。 Corollary4.13：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边 集构成G的一个割集对应的G*的边集构成G*的一个圈。
Th:一个图是可嵌入平面它是可嵌入球面。 Th4.4：设Ｇ是一个连通的平面上的图，n，m和f分别表示图Ｇ的顶 点数，边数和面数，则n-m+f=2。 Cor４.5：设Ｇ为具有n个顶点，m条边，f个面和k个分图的平面上的 图，则n-m+f=k+1。
Cor４.６：Ｇ<V,E>为简单连通平面图|V|=n（n>2）和|E|=m
Jordan closed curve： Jordan curve 两个端点重合。
Jordan curve theorem：C为在平面上的Jordan closed curve，平面 的其余部分被分成不相交的开集，分别称为C的外部和内部，则 连接内部和外部点的任何连续曲线必与C相交。 Th4.1：k5和k3.3不是平面图。
１）m≤3n-6； ２）如果G中不含三角形，则m ≤2n-4。
Cor４.7： k5和k3.3不是平面图。
Th4.8：每个简单平面图均包含一个次数最多为5的顶点。
下面内容见书： 一个图的厚度： Th4.9
4.3 对偶图
1. 对偶图(dual graph)： 任意一个平面上的图G， 如果：1）在G 的每个面Fi中选定一个点vi*作为顶点；
交叉数：为G画在平面上时，它的边出现相交的最少可能的数目。 记为：Cr(G)。
4.2 平面图上的欧拉公式
平面上的一个点x不与Ｇ相交的点：x既不是Ｇ的顶点也不是Ｇ的任 何一条边上的点。
Ｇ的包含ｘ的面：为平面上所有可以从ｘ出发通过一条不与Ｇ相交 的Jordan曲线而能达到的点的集合。
无穷面
Ｇ可嵌入曲面Ｓ：如果一个图Ｇ能够画在一张曲面Ｓ上，使得它的 边除了顶点外再无其它交点。
2）对应于G的每条边e，画一条线e*，它只与e相交，而不与 G的其它边相交，并且连接位于e两边的面Fi中的顶点vi*作为边。
这样构成的图称为图G的对偶图，记为G*。 Note:1）G中的每个悬点都产生G*的一个自环； 2）G中多于一条公共边的面，便产生多重边；
3）H G 但是H* G* 不一定；