1.2古典概率

注意: 注意:这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
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即n=36且每个基本事件发生的可能性相同. n=36且每个基本事件发生的可能性相同. 且每个基本事件发生的可能性相同 第一次取一只甲类三极管共有4 ∵第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取 第二次再取一只甲类三极管还是有4 法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可 能的取法. 能的取法. 取两只甲类三极管共有4 4=16种可能的 ∴取两只甲类三极管共有4×4=16种可能的 取法, 取法, 即：kA=16 ∴P(A)=16/36=4/9 E={抽到两只乙类三极管 抽到两只乙类三极管},k =2× 令E={抽到两只乙类三极管},kE=2×2=4 的对立事件， ∴P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件， P(C)=1-P(E)=8/9； ∴P(C)=1-P(E)=8/9； ,且 互斥， ∵B= A∪E ,且A与E互斥， ∴P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件, P(B)=P(A)+P(E)=5/9； 的对立事件, ∴P(D)=1∴P(D)=1-P(B)=4/9
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从两袋分别取得白球的取法有3× 种 从两袋分别取得白球的取法有 ×10种 分别取得红球有7× 种 分别取得红球有 ×6种 分别取得黑球为15× 种 分别取得黑球为 ×9种 则从甲、乙两袋取得同颜色球的取 则从甲、 法有3× ＋ × ＋ × 种 法有 ×10＋7×6＋15×9种 故 P ( A) = 3 × 10 + 7 × 6 + 15 × 9 = 207 25 × 25 625
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有外观相同的三极管6 例5 有外观相同的三极管6只,按其电流放大 系数分类,4只属甲类,2只属乙类. 系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种 ,4只属甲类,2只属乙类 方案抽取三极管两只, 方案抽取三极管两只, （1） 每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽 每次抽取一个只,测试后放回, 取下一只(放回抽样). ).（ 每次抽取一只, 取下一只(放回抽样).（2）每次抽取一只,测 试后不放回, 试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下 一只(不放回抽样) 一只(不放回抽样) A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同 抽到两只甲类三极管},B={ 设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同 类三极管},C={至少抽到一只甲类三极 类三极管},C={至少抽到一只甲类三极 },C={ },D={抽到两只不同类三极管 抽到两只不同类三极管}. 管},D={抽到两只不同类三极管}. 求：P(A),P(B),P(C),P(D)
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（II）古典概率模型中事件的概率求法 II） ∵试验E的结果只有有限种,即样本点是 试验E的结果只有有限种, 有限个: 有限个: ω1,ω2 ,…,ωn , , Ω={ω }∪{ω }∪…∪{ ∪{ω ∴ Ω={ω1}∪{ω2 }∪ ∪{ωn} {ωi},i=1,2,…n是基本事件，而他们发生 },i=1,2,…n是基本事件， 的概率都相等， 的概率都相等，这样 1=P(Ω)=P({ω }∪{ω }∪…∪{ ∪{ω 1=P(Ω)=P({ω1}∪{ω2 }∪ ∪{ωn}) =P({ω })+P({ω })+…+P({ +P({ω =P({ω1})+P({ω2 })+ +P({ωn}) P({ω i=1,2,…n = n P({ωi}), i=1,2, n P({ω ∴ P({ωi})= 1/n i=1,2,…n i=1,2, n
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公式 把n个物品分成k组,使第一组有n1个, 个物品分成k 使第一组有n 第二组有n 组有n 第二组有n2个, ……,第k组有nk个,且n= , n1+ n2+…+nk . +n 则:不同的分组方法有
n! 种 . n !n2!Lnk ! 1
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例7 某公司生产的15件品中,有12件是 某公司生产的15件品中, 12件是 15件品中 正品,3件是次品.现将它们随机地分装在3 正品,3件是次品.现将它们随机地分装在3 ,3件是次品 个箱中,每箱装5 个箱中,每箱装5件. :A={每箱中恰有一件次品},B={三 每箱中恰有一件次品},B={ 设:A={每箱中恰有一件次品},B={三 件次品都在同一箱中}. 件次品都在同一箱中}. P(A)和 求: P(A)和P(B). 解:15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有 15件产品装入 个箱中,每箱装5 件产品装入3
2 5 1 452 5Fra bibliotek1 45m = C C ≈ 0.023 故 P ( A) = 3 n C 50
9
(2) 令B: “取出的 件商品中有次品” 取出的3件商品中有次品 取出的 件商品中有次品” 全部是次品: 全部是次品 m1 = C
2 5 3 5 1 45
件次品: 有2件次品 m 2 = C C 件次品 件次品: 有1件次品 m 3 = C C 件次品
5
Ω中包含6×6=36个样本点 中包含 × 个样本点 且由骰子的对称性知 每个样本点发 且由骰子的对称性知,每个样本点发 生的可能性相同 A={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} B={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3)} 由定义,得 由定义 得: 4 = 1, P ( A) = 36 9
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由于第一次抽测后不放回,因此, （2） 由于第一次抽测后不放回,因此,第一 次从6只中取一只,共有6种可能的取法, 次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二 次是从剩余的5只中取一只, 次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法 由乘法原理∴取两只三极管共有n=6 n=6× .由乘法原理∴取两只三极管共有n=6×5=30 种可能的取法.再由乘法原理: 种可能的取法.再由乘法原理: ∴kA=4×3=12 ∴P(A)=12/30=2/5 =4× =2× kE=2×1=2 ∴P(E)=2/30=1/15 ∵C是 的对立事件, ∵C是E的对立事件, ∴P(C)=1∴P(C)=1-P(E)=14/15 ,且 ∵B= A∪E ,且A与E互斥 ∵D是 ∴P(B)=P(A)+P(E)=7/15 ∵D是B的对立 事件, ∴P(D)=1事件, ∴P(D)=1-P(B)=8/15
解:
从15件商品中取出2商品,共有C215 =105 15件商品中取出2商品,共有C 件商品中取出 种取法,且每种取法都是等可能的.∴n=105 种取法,且每种取法都是等可能的.∴n=105 A={两件商品都来自产地甲 两件商品都来自产地甲} 令A={两件商品都来自产地甲} kA= C212 =66 B={两件商品都来自产地乙 两件商品都来自产地乙} 令B={两件商品都来自产地乙} kB= C23 =3 而事件{两件商品来自同一产地}=A∪B 而事件{ 两件商品来自同一产地 }=A∪B , 且 互斥. 它包含基本事件数=66+ A 与 B 互斥 . ∴ 它包含基本事件数 =66+3=69 所求概率=69/105=23/ ∴所求概率=69/105=23/35
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件同一种商品,其中有 件次品, 例3 有50件同一种商品 其中有 件次品 件同一种商品 其中有5件次品 从这50件商品中 任取出3件 件商品中,任取出 从这 件商品中 任取出 件. 取到2件次品的概率 求: (1) 取到 件次品的概率 (2) 取到次品的概率 取到2件次品 解: (1) 令A: “取到 件次品” 取到 件次品” 则 m=C C
15 ! 种 . 555 !!!
等可能的装法, ∴基 等可能的装法, ∴基 本事件总数为
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解:
（1）由于每次抽测后放回,因此,每次 由于每次抽测后放回,因此, 都是在6只三极管中抽取. 都是在6只三极管中抽取. 第一次从6只中取一只,共有6 第一次从6只中取一只,共有6种可能的 取法. 取法. 第二次还是从6只中取一只,还是有6 第二次还是从6只中取一只,还是有6种 可能的取法. 可能的取法. 取两只三极管共有6 6=36种可能的取法 种可能的取法. ∴取两只三极管共有6×6=36种可能的取法.
6 =1 P( B) = 36 6
6
甲袋中有3只白球 只红球,15只黑 只白球,7只红球 例2 甲袋中有 只白球 只红球 只黑 乙袋中有10只白球 只红球,9只黑球 球.乙袋中有 只白球 只红球 只黑球 乙袋中有 只白球,6只红球 只黑球, 现从两袋中各取一球, 现从两袋中各取一球 求两球颜色相同 的概率 解: 设A:事件“取得的两球颜色相同” 事件“ 事件 取得的两球颜色相同” 从甲、乙两袋中各取一球,每种取法 从甲、乙两袋中各取一球 每种取法 为一样本点 各样本点的出现是等可能的 样本点总数为25×25 样本点总数为 ×
1 5
3 5
2 45
2 5 1 45 1 5 2 45
共有: 共有 m = C + C C + C C
m ≈ 0.276 P( B) = n
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货架上有外观相同的商品15 15件 例4 货架上有外观相同的商品15件,其中 12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品 12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品 件来自产地甲,3件来自地乙 15 中随机地抽取两件, 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率
1.2 古典概率
一、古典概率的定义 二、古典概率的性质
1
一、古典概率的定义 （I）什么是古典概率模型 如果试验E 如果试验E满足 它的结果只有有限种. (1) 它的结果只有有限种. 且每种结果发生的可能性相同. (2) 且每种结果发生的可能性相同. 则称这样的试验模型为等可能概率模型或 则称这样的试验模型为等可能概率模型或 古典概率模型. 古典概率模型. 简称为等可能概型或古典概型. 简称为等可能概型或古典概型
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个球随机地放入N(N≥n)个盒子中, N(N≥n)个盒子中 例6 将n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中, 若盒子的容量无限制. 若盒子的容量无限制. 求:事件 ={每个盒子中至多有一个球 的概率. 每个盒子中至多有一个球} A ={每个盒子中至多有一个球}的概率.