01.2古典概率几何概率统计概率
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1.2古典概率
n
n
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
14
在400米赛跑中有7条跑道。其中有3条好跑道， 7名运动员抽签决定自己的跑道，运动员小张 最先抽，小李第二抽，试想小张，小李抽到 好跑道的概率是否相等？并证明你的结论。
利用古典概率考虑，把7个签所有可能的排列作
为基本事件总数，而“小张先抽到好跑道就是
5
有重复排列：从含有n个元素集合中抽取 k次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
无重复排列：从含n有个元素集合中抽取k 次，每次取一个，记录其结果不放回，
将记录结果排成一列
6
组合：从含n有个元素集合中抽取k个，共有
Cnk
Ank k!
n! k !(n k)!
取法
7
1、抽球问题
成3组， 求：（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
N(S)
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
30! 10!
10!
3! 27! P( A) 9! 9! 9! 50
N (S) 203
P(B) 3 C277C2100C1100
N (S )
12
一般地，把n个球随机地分成m 组(n>m),要求第 i 组恰有ni个 球(i=1,…m)，共有分法：
n! n1!.... nm!
13
二、古典概率的性质
(1)非负性: 对任一事件A,有
0≤P(A) ≤1
(2)规范性: 对必然事件,有 P()=1
(3)有限可加性: 若事件A1, A2, …, An 两两互斥,则
1-2古典概率
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
例7 设有180件产品，其中含8件次品，今从中任取 4件，问“次品超过1件”的概率是多少？
2 6
A 所包含基本事件的个数为
C
2 4
2 故 P( A) C C . 5
2 4 2 6
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
第3次摸到红球 4种
(答案 : 2 9)
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 10 10 20 (答案 : p C20C10 365 )
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A1 为“恰有一 .
次出现正面”求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 , “至少有一 次出现正面”求 P ( A2 ). ,
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率的可列可加性
(4) P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
§1.2
古典概率
一、等可能概型
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
例7 设有180件产品，其中含8件次品，今从中任取 4件，问“次品超过1件”的概率是多少？
2 6
A 所包含基本事件的个数为
C
2 4
2 故 P( A) C C . 5
2 4 2 6
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
第3次摸到红球 4种
(答案 : 2 9)
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 10 10 20 (答案 : p C20C10 365 )
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A1 为“恰有一 .
次出现正面”求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 , “至少有一 次出现正面”求 P ( A2 ). ,
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率的可列可加性
(4) P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
§1.2
古典概率
一、等可能概型
1.2古典概率模型
1.2 古典与几何概率模型
一、古典概率 二、几何概率
一、古典概率
古典概型的条件:
(1)它的样本空间只有有限个样本点 (2)每个样本点出现的可能性相同 (即等可能性)
比如: 足球比赛中扔硬币挑边; 围棋比赛中猜先
概率的古典定义:
在某随机现象的试验中共有n个等 可能的样本点,而随机事件A是由其中的 m (0≤m≤n) 个样本点组成,则事件A的概 率是：
m A所含的样本点的个数 P ( A) n 样本点总数
例1 将一颗均匀的骰子掷两次,观察其 先后出现的点数,设A表示事件“两次掷 出的点数之和为5”,B表示事件“两次 掷出的点数中一个恰好是另一个的两 倍”,试求P(A)和P(B)
解: 样本空间为: ={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6} (i, j)表示“第一次掷出的点数为i, 第二次掷出的点数为j ”这一样本点
由于两人分别在0到T时之间任一 时刻到达约定地点是等可能的
故可看作几何型随机试验 “两人能相见”这事件: 甲先到: x<y, x+t≥y yx≤t 乙先到: x>y, y+t≥x xy≤t 则A={(x,y)|0≤x≤T, 0≤y≤T, |x－y|≤t}
y
T t o
A t
x T ( A) S A 故, P ( A) ( ) S 2 2 T (T t ) t )2 1 (1 2 T T
分别取得红球有7×6种
分别取得黑球为15×9种 则从甲、乙两袋取得同颜色球的取 法有3×10＋7×6＋15×9种
故 P ( A) 3 10 7 6 15 9 207 25 25 625
例3 有50件同一种商品,其中有5件次品, 从这50件商品中,任取出3件. 求: (1) 取到2件次品的概率 (2) 取到次品的概率
一、古典概率 二、几何概率
一、古典概率
古典概型的条件:
(1)它的样本空间只有有限个样本点 (2)每个样本点出现的可能性相同 (即等可能性)
比如: 足球比赛中扔硬币挑边; 围棋比赛中猜先
概率的古典定义:
在某随机现象的试验中共有n个等 可能的样本点,而随机事件A是由其中的 m (0≤m≤n) 个样本点组成,则事件A的概 率是：
m A所含的样本点的个数 P ( A) n 样本点总数
例1 将一颗均匀的骰子掷两次,观察其 先后出现的点数,设A表示事件“两次掷 出的点数之和为5”,B表示事件“两次 掷出的点数中一个恰好是另一个的两 倍”,试求P(A)和P(B)
解: 样本空间为: ={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6} (i, j)表示“第一次掷出的点数为i, 第二次掷出的点数为j ”这一样本点
由于两人分别在0到T时之间任一 时刻到达约定地点是等可能的
故可看作几何型随机试验 “两人能相见”这事件: 甲先到: x<y, x+t≥y yx≤t 乙先到: x>y, y+t≥x xy≤t 则A={(x,y)|0≤x≤T, 0≤y≤T, |x－y|≤t}
y
T t o
A t
x T ( A) S A 故, P ( A) ( ) S 2 2 T (T t ) t )2 1 (1 2 T T
分别取得红球有7×6种
分别取得黑球为15×9种 则从甲、乙两袋取得同颜色球的取 法有3×10＋7×6＋15×9种
故 P ( A) 3 10 7 6 15 9 207 25 25 625
例3 有50件同一种商品,其中有5件次品, 从这50件商品中,任取出3件. 求: (1) 取到2件次品的概率 (2) 取到次品的概率
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
§1.2 古典概型-§1.3 概率的定义
19
古典概率的性质
1.（非负性）对于任意事件 ，有 0≤P(A)≤1; （非负性）对于任意事件A， ≤ ≤ 2.（规范性） 必然事件 的概率等于 ，即 （规范性） 的概率等于1， P( )=1; 3.（有限可加性）若事件 1,A2,...,Ak两两互不相容，则 （有限可加性）若事件A 两两互不相容， P(A1∪A2∪... ∪Ak)=P (A1)+P (A2)+...+P (Ak)
3
二、概率的古典定义与实例
定义2 定义 若在某随机现象的试验中共有n个等可能的样 若在某随机现象的试验中共有 个等可能的样 本点，而随机事件A是由其中的 是由其中的m 本点，而随机事件 是由其中的 (0≤m≤n)个样本 个样本 点所组成，则定义事件A的概率为 的概率为: 点所组成，则定义事件A的概率为:
2 5 1 45
2 1 C 5 C 45 故 P ( A) = m = ≈ 0.023 3 n C 50
16
(2) 令B: “取出的3件商品中有次品” 取出的3 : 取出的 件商品中有次品” 3 全部是次品: 全部是次品: m1 = C 5 有2件次品: 件次品: 有1件次品: 件次品: 共有: 共有:
S阴 P= S整
21
几何型随机试验及其特征
若一个随机试验可归结为： 若一个随机试验可归结为： 向某可度量区域Ω内投掷一点， 向某可度量区域Ω内投掷一点，落在其中的各 个点是等可能性的，且落在Ω中任意子区域A的可能 个点是等可能性的，且落在Ω中任意子区域 的可能 性大小与A的度量 长度、面积、体积等)成正比 而 性大小与 的度量(长度、面积、体积等 成正比, 的度量 长度 成正比 与A的位置与形状无关 的位置与形状无关 则称这个随机试验为几何型随机试验， 则称这个随机试验为几何型随机试验，或称为 几何型随机试验 几何概型。 几何概型。
概率的古典概型和几何概型
即
P({ei })
1 n
,
i 1, 2,
,n.
若事件 A 包含其样本空间 S 中 k 个基本事件,即 A {ei1} {ei2 } {eik },
则事件 A 发生的概率
k
k
P( A) P eij P eij
j1
j1
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
例 1.10 将1, 2, 3, 4 四个数随意地排成一行,求下列各事件的概
设试验的样本空间为 S {e1, e2 , , en} .在古典概型的假设下,
试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1}) P({e2}) P({en}) . 又由于基本事件是两两互不相容的.因而
1 P(S) P({e1} {e2}
{en})
P({e1}) P({e2}) P({en}) nP({ei}) ,
(1)事件 A 中共有 2 种排法,因而
P( A) 2 1 . 24 12
(2)事件 B 中有 2 (3!) 12 种排法,故有
P(B) 12 1 . 24 2
(3)先将数字1和 2 排在任意相邻两个位置,共有 23种排法, 其余两个数可在其余两个位置任意排放,共有 2!种排法,因而事件 C 有 23 2 12种排法,即
出的 n 只球中至少有 m 只红球} , Bm { 取出的 n 只球中恰有 m 只红球
} ,求 P( Am ) 及 P(Bm ) m min(n, M ) .
解 （i）放回抽样
在放回抽样的情况下,从 N 只球中取 n 只,共有 N n 种取法.
事件 Am 相当于从 n 次取球中先选取 m 次,使得这 m 次都取红球, 剩下的 n m 次可以任意取,因而 Am 中总的取法有 Cmn M m N nm 种.
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
19
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
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20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
概率与统计的基本概念和计算方法
概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。
本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。
在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。
当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。
2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。
它常用于描述连续随机变量的概率。
几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。
3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。
当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。
统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。
二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。
在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。
1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。
常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。
计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。
2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。
推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。
常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。
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54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
第五组试验 1000次 1点向上 102次 频率0.102
统计定义
定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称
fn
(
A)
nA n
为事件A 在这 n 次试验中发生的频率。
fn ( A) 总是在某一个数之间摆动，此 数定义为概 率P( A)
频率的性质
0 fn ( A) 1
解：设A=“至少有一人的生日是 元旦这一天”，A =“则没有一人 的生日是元旦这一天”
364 1000 P( A)
365 1000
于是
P(
A)
1
P(
A)
1
364 365
1000 1000
几何概型
例1：在区间[0,1]上投针，则针落在 [0.2, 0.5]的概率是多大？
0 0.2 0.5
P( A) 1 SA S
1
602
-2
1 2
602
402
5 9
y=x 60 x
古典定义和几何定义的局限： 等可能性。
对一般的随机试验，不再具有等可能性，对这种随机 试验人们采用观察记录试验次数和事件发生次数的办法。
第一组试验 1000次 1点向上 100次 频率0.100 第二组试验 1000次 1点向上 98次 频率0.098 第三组试验 1000次 1点向上 101次 频率0.101 第四组试验 1000次 1点向上 99次 频率0.099
1
例2 : 如果在一个50000平方 公里的海域里有表面积达40 平方公里的大陆架贮藏着石 油，假如在这海域里随意选 定一点钻探，问钻到石油的 概率是多少？
50000 40
几何概型定义： 设样本空间是一个有限区域S （如：线段，
平面有界区域，空间有界区域等等。） ，做 随机试验：向区域S内投一质点M，若质点M 落入S内任何子区域A中的概率与区域A 的度 量成正比，而与A 的位置和形状无关，则称此 试验为几何型随机试验，简称几何概型
§1.2 概率的定义及其性质
概率的古典定义 概率的几何定义 概率的统计定义
概率的公理化定义
古典概率模型
定义 设 E 是一随机试验，如果它具有下列条件：
基本事件的个数有限 S {e1, e2 ,, en}
每个基本事件发生的可能性大小相同
P(e1) P(e2 ) P(en )
此时，样本点落入A内的概率为
P( A)
A的度量 S 的度量
L( A) L(S )
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m i 1
Ai
m i 1
P( Ai )
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
可列可加性：
P i1
Ai
i 1
P( Ai )
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件。
例4 两人约定于8时至9时在某地会面。先
到者等候20分钟，过时就离去，试求两人
能见面的概率 y
y=x
解设两人 到达 60
的时间分别为8
时 x分、 8时y分，
则：0 x < 60，
0 y < 60
相遇条件： -20<x-y <20
60 x
{(x, y) 0 x 60,0 y 60}
A {(x, y) (x, y) ,
0 y x 20, 0 x y 20}
S 602
y
SA
2
1 2
402
60
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m i 1
Ai
m i 1
P( Ai )
其中A1, A2, …Am为两两互斥事件。 推导性质： P(A) P(A) 1
1 P(S) P(A A) P(A) P(A)
则称 E 为 古典概型
例子：投掷一颗匀称的骰子，观察其 出现的点数。易知，
S {e1, e2 ,, e6} 其中ei表示出现i点。
则出现奇数点的概率为 3
6
即：等可能概型中概率的计算：
记n = S中所包含的基本事件的个数 记k = 组成A的基本事件的个数 则 P( A) k
n
古典概ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质：
例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，
数码之和为奇数的概率。 解 设A=数码之和为奇数，
P( A)
C51C43 C53C14 C94
例2 盒内装有5个红球，3个白球。 从中任取两个，
试求：（1）取到两个红球的概率； （2）取到两个相同颜色球的概率。
解：设A=“取到两个红球”
B=“取到两个同颜色的球”