阶段有三种定义：一种是古典概率,一种是几何概率,另一
概率论abc
概率论abc概率论是一门研究随机现象规律的数学学科。
其研究内容涉及到随机事件的概率、随机变量及其分布、极限理论等方面。
A-随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能事件，因为在掷的过程中，无法确定它将会朝哪个方向翻转。
概率是对随机事件发生的可能性进行度量的数学方法。
概率有三种定义方式：经典概率、几何概率和古典概率。
经典概率是指在随机试验中，每个基本事件出现的次数都是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等的情况下，某一事件发生的可能性等于该事件发生的基本事件数与样本空间中基本事件数的比值。
几何概率是指在某些特殊情况下，概率可以用几何图形的面积、长度、体积等形式表示。
例如：掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率相等，可以通过在平面上绘制一个1:1的正方形来表示。
古典概率是指在随机试验中，基本事件出现的可能性不一定相等，但是我们可以通过历史数据或经验得到每种基本事件出现的概率，从而计算某一事件发生的概率。
B-随机变量和分布随机变量是指随机现象中用数值来表示其结果的变量。
例如：掷一枚硬币，正面朝上为1，反面朝上为0，我们可以将这个随机过程用随机变量X=1表示。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
离散型随机变量的取值为有限个或可数个；连续型随机变量的取值可以是任意实数。
概率分布是指随机变量在各个取值点上的概率。
离散型随机变量的概率分布可以表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），连续型随机变量的概率分布可以表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。
C-极限理论极限理论是概率论中的重要内容，它涉及到许多基本概念和定理，如大数定律、中心极限定理等。
大数定律是指在随机试验中，当试验次数增加时，随机事件发生的频率趋近于该事件的概率。
例如：我们多次掷硬币，当投掷的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将逐渐趋近于0.5。
2、概率的几种定义(古典概型)
又1～2000中能被6整除的整数有
个
能被8整除的整数有
个
既能被6整除又能被8整除的整数有 个
于是，所求概率
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例 将15名新生随机的平均分配到三个班 级中去，这15名新生中有3名是优秀生。
（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概 率是多少？
（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率 是多少？
65
5
② 从 个元素中取出 个元素，而 不考虑其顺序，称为组合，其组合 的总数为：
6
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字，给定 一个6位数字暗码，只有拨对号码时，
问：“一次就能打开”的概率是多
少？
7
解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数
则称这个随机试验 为几何型随机
或称几何概型， 称为
的样本空
间，（可以是一维区间、二维区域、
三维区域，它们通常用长度，面积、
体积来度量大小）
A
S
27
定义：设 是一几何概型， 为它 的样本空间， 且A是可度量的， 以 、 分别表示 S 和 A 的 度量。
设 A=“随机点落在区域A内” 则 称为事件A发生的
23
所以事件
包含的样本点数为
所以
24
二、 概率的几何定义 古典概率局限于试验结果的有
限性，对许多试验结果无限的情况，
有时可用几何的方法来解决（注意
这里也要求等可能性）。
25
几何概型 向某一可度量的区域 内投一 点，如果所投的点落在 中任意区
域 内的可能性大小与
正比，而与 试验。
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的度量成
的位置和形状无关，
高中概率论中一个易错概念
高中概率论中的一个易错概念摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。
本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。
关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。
随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。
但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。
下面我们先来看两个例子。
例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。
例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。
如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。
接下来我们再看两个例子。
例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。
例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。
在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。
但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。
其实概率的定义有多种形式,如以下三种定义形式：1.概率的统计定义：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n( )之比，称为这个事件在这n 次试验中出现的频率。
高三概率知识点总结
高三概率知识点总结聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
小编准备了高三概率知识点总结法，希望能帮助到大家。
古典概率与几何概率1、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的;任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.P(A)A中所含样本点的个数nA中所含样本点的个数n.3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的`区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。
4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的;但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的.计数与概率问题在近几年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答题的形式出现。
在复习过程中，由于知识抽象性强，学习中要注重基础知识和基本方法，不可过深，过难。
复习时可从最基本的公式，定理，题型入手，恰当选取典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理定势。
另外，要加强数学思想方法的训练，这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想，在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、数学建模的思想等。
在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题，将问题孤立，片面强调单一知识和题型。
能力方面主要考查：运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。
在高考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决。
例1. 一次掷两颗骰子，求点数和恰为8这一事件A的概率。
分析：这实际上是一个等可能事件的概率。
掷两个骰子出现的基本结果如下表：解：表中基本结果36个，而点数为8的有5个，故：P(A)=-评述：本题可归结为掷骰子问题，通过对掷骰子情况的研究得出各种概率数学模型，体现了数学建模的思想：(1)、投掷一颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，这是等可能事件的概率，各点出现的概率为1/6。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
概率的定义与发展史
概率的定义与发展史2019-10-27初中阶段我们学习的概率内容⽐较基础，到了⾼中和⼤学阶段，概率内容将进⼀步丰富和深化，为了让同学们对概率知识板块有个全⾯的了解，下⾯就概率的定义和发展史作⼀个简单的介绍.概率论起源于17世纪中叶，但是它的严格化却是在20世纪完成的.在⼏百年的时间⾥，⼈们对概率意义的认识不断深化，下⾯⼏个定义就反映了这种认识的发展.1.古典定义古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古⽼.在数学史上，概率源于赌博.概率论的创⽴正是从研究赌博等问题⼊⼿，建⽴相关的数学模型，并从中逐步抽象出有关概率的⼀些初始概念.17 世纪有个叫保罗的⼈，⼀天他与梅累两个⼈⼀起赌钱，赌注是每⼈拿出6枚⾦币，通过掷骰⼦，先胜三局者得到12枚⾦币.刚赌完三局时，赌博因故不能进⾏，此时保罗胜⼀局，精通赌博的梅累胜了两局.因此，他们对赌注如何分配产⽣了争吵.保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的[13]，即4枚⾦币，梅累得总数的[23]，即8枚⾦币.可是梅累却不这样想.于是他们⼀起去请教法国数学家帕斯卡.“赌⾦分配”问题在⼏年⾥⼀直困扰着帕斯卡.经过反复研究，1654年帕斯卡终于取得了令⼈满意的答案，于是他写信把⾃⼰的⼼得告诉了好友（法国数学家费马），从此⼀场更深⼊的讨论在两⼈之间展开了.荷兰数学家惠更斯也对他们研究的问题很感兴趣，他潜⼼研究，于1657年出版了《论赌博中的计算》，该书塑造了概率论的雏形.帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩⼤应⽤等⽅⾯做出了重⼤的贡献.但直到1812年，法国数学家拉普拉斯才在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：如果试验的全部可能结果只有n（有限数）个，每个结果发⽣的可能性⼤⼩相等，其中 m个结果发⽣时必然导致事件A发⽣，那么分数[mn]叫做事件 A 发⽣的概率，记作P（A）=[mn].古典定义通过简单明了的⽅式定义了事件的概率，并给出了简单可⾏的算法.2 .⼏何定义概率的⼏何定义提供了某种特殊类型的随机试验：试验的⼀切可能结果是⽆限的且等可能的情形.1777 年，法国数学家布丰发表了《或然性算术试验》，⾸先提出并且解决了著名的“布丰投针问题”，开始了⼏何概率的早期研究，形成概率的⼏何定义.试验如下：事先准备⼀组相距为l的平⾏线，⼀根长为[l2]的针，将针随机地投到画了线的平⾯上，假如针与平⾏线相交，则称“扔出有利”.这样随机投若⼲次，此时令⼈惊奇的结果出现了，“扔出有利”的概率为[1π]，如果反复进⾏的次数越多，得到的[π]的值越精确.在数学发展的过程中，圆周率的计算有着举⾜轻重的地位，它曾经是体现⼀个国家数学发展⽔平的重要标志.⽽概率知识可以计算圆周率，对我们⼼灵是⼀个不⼩的震撼.此实验拓宽了⼈们运⽤数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为⼀种新的数学⽅法――统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.3.统计定义概率的古典定义和⼏何定义都要求在随机实验中基本事件发⽣的可能性相等，但⼈们发现在相同的条件下做⼤量重复试验，⼀个事件发⽣的次数和总的试验次数N之⽐，在试验次数N很⼤时，它的值将稳定在⼀个常数附近.N越⼤，这个⽐值“远离”这个常数的可能性越⼩，这个常数就称为这个事件的概率.这个定义与统计有密切的关系，它建⽴在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义.这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因⽽更具⼀般性.1919年德国数学家冯·⽶塞斯在《概率论基础研究》⼀书中提出了此定义：在相同的条件下，做⼤量重复试验，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在⼀个固定数值的附近摆动，显⽰出⼀定的稳定性，把这个固定的数值定义为这⼀事件的概率.3.公理化定义概率的前三种定义属于“描述性”定义，在叙述中都⽤了“可能性”⼀词，⽽概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌.由于缺乏严格的理论基础，常常被⼈找到⼀些可钻的空⼦，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在半径为1的圆上随机地取⼀条弦，问所取的弦其长超过圆内接等边三⾓形边长的概率是多少？这个提问者给出了三个不同的答案，产⽣的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验. 因此，在样本点为⽆限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运⽽⽣.1900年，38岁的希尔伯特在世界数学家⼤会上提出了建⽴概率公理系统的问题，这就是著名的“希尔伯特的23个问题”中的第6个问题，从⽽引导了⼀批数学家投⼊这⽅⾯的⼯作.在概率公理化的研究道路上，苏联数学家柯尔莫哥洛夫的成绩最为显著，1933年他在《概率论基础》中，运⽤集合论和测度论表⽰概率论的⽅法赋予了概率论以严密性.当然理解这个定义，需要⼀定的预备知识，故此处不再赘述.公理化定义作为⼀个数学平台，让⼈们在此基础上进⾏演绎，得到系统的概率论知识体系.这个定义的产⽣是概率论发展史上的⼀座⾥程碑.总之，“概率”概念的建构，经历了古典概率、⼏何概率、统计定义再到公理化定义，体现了概率定义“从简单到复杂、从特殊到⼀般、从具体到抽象”的逐步变化，反映了⼈们对概率的认识所经历的过程.各种定义产⽣的过程，也体现了⼈类认识随机现象所⾛过的艰难曲折的道路，折射着概率发展的不同阶段和⽔平，渗透着丰富的数学化、模型化思想⽅法，蕴含了深刻的辩证哲理.（作者单位：江苏省⽆锡市新安中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
概率论思想的历史演变
概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。
例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。
在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。
进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。
这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。
18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。
19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。
这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。
进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。
这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。
概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。
1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。
其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
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02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
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我认为概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义。
对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。
所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难。
但对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解。
在相同的条件下做大量重复实验，一个事件 A出现的次数 m和总的实验次数 n之比，称为事件 A在这 n次实验中出现的频率。
当实验次数 n很大时，频率将稳定在一个常数附近。
n越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率。
这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义。
这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性。
例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复实验，发现随着实验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数 2/3附近，则可以推断事件 A（硬币正面向上）发生的概率为 P ( A ) = 2/3 。
随着人们观察对象的广泛化 ,人们越来越认识到 , 对一个随机事件来说 , 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的 , 并且是客观存在的 , 就好比一根木棒有长度 ,一块土地有面积一样。
它就是频率稳定的中心值。
概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值 , 并且在实验重复次数 n较大时 , 可用频率给出概率的一个近似值 , 这一点是概率统计定义最有价值的地方。
概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机实验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛。
从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复实验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机实验。
对于初中学生，只要知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值即可。
为了使高中的学习更轻松，可以设计一些实验，如抛掷瓶盖、硬币、摸球等，使学生从动手实验的过程中体会概率的统计定义。