古典概型与几何概型大学数学教案2
《几何概型》教学设计2
《几何概型》教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第三节几何概型。
学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。
现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型的目的。
教学目标知识与技能目标1．初步体会几何概型及其基本特点；2．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
教学重点：初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。
教学过程：一、复习引入T1：计算随机事件概率的方法有哪些?T2：古典概型的特征是什么？T3：如何计算古典概型的概率？二、创设情景，引入新课1．玩转盘游戏游戏规则:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.数据的统计：1）请每一位同学以左边的转盘，做20次试验，统计指针指向B的次数，并计算指针指向B的频率。
2）教师以右边的转盘，分别做100、200、400、700次试验，统计指针指向B的次数，并计算指针指向B的频率。
2．学生活动（分组讨论）分析下列三个题目，回答问题：1)如图，甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜. 求甲获胜的概率?2)射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。
1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
古典概型教案
古典概型教案【教案名称】：古典概型教案【教学目标】：1. 理解什么是古典概型；2. 掌握计算古典概型的方法；3. 能够运用古典概型解决实际问题。
【教学重点】：1. 理解古典概型的定义及特点；2. 掌握计算古典概型的方法。
【教学难点】：1. 运用古典概型解决实际问题；2. 培养学生的逻辑思维能力。
【教学准备】：1. 教材：教科书、课件；2. 素材：相关实例和题目；3. 工具：黑板、粉笔、计算器。
【教学过程】：一、导入（5分钟）1. 引入话题：你有没有听说过古典概型？你对它有什么了解？2. 提出问题：古典概型是指什么？它有什么特点？二、讲解古典概型（10分钟）1. 定义古典概型：古典概型是指指定的试验只有有限个可能结果，每个可能结果发生的机会相同。
2. 特点：（1）试验只有有限个可能结果；（2）每个可能结果发生的机会相同。
3. 示例：抛一枚公正的硬币，问正反面的概率各是多少？三、计算古典概型（15分钟）1. 公式：事件A发生的概率 = 事件A包含的基本结果数 ÷所有基本结果数。
2. 示例：扔一枚公正的骰子，求出出现3的概率。
3. 练习：让学生尝试计算一些实例的概率，巩固所学知识。
四、运用古典概型解决实际问题（15分钟）1. 实例1：某班有30名学生，其中20名男生、10名女生。
从中任选一人，求选中的是女生的概率。
2. 实例2：有一包装机器生产的零件，其中10%有缺陷。
从中任选一件，求选中的是有缺陷的概率。
3. 其他实例：老师根据实际情况设置更多的实例，供学生思考和解答。
五、小结（5分钟）1. 总结古典概型的定义及特点；2. 复习计算古典概型的方法；3. 提醒学生在解决实际问题时，要注意分析问题的条件和要求。
【课后作业】：1. 让学生完成课后习题，巩固所学知识；2. 指导学生通过阅读相关的教材和资料，进一步了解和掌握古典概型。
【教学反思】：通过本节课的教学，学生对古典概型有了初步的了解，并能够运用古典概型解决简单的实际问题。
1.3古典概型与几何概型
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
D N D 种, k n k D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
19
2005
. (1) 设事件 A1 为“恰有一 练习1 将一枚硬币抛掷三次 次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
3
这不是 等可能概型！
2005
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
袋中有 a 只白球， b只红球. 从袋中任取 n 只球， 求取到 k ( min(n, a) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
nk k C C 取到 k 只白球的有利场合数为 a b
概率非常小的事件，称为小概率事件
小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.
下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作
出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。
例：某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知
所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 抽象:模型化 人=“球”
1.3_古典概型与几何概型
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站
第13章第2讲 古典概型与几何概型
1 3
������
3)ቚ1 −1
=43,故所求概率P=
4 3
2
=23.故选B.
考法4 随机模拟的应用
考法指导 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依 据是根据随机模拟估计概率P(A)=随机随取机的取点点落的在总������中次的数频数,然后根据 P(A)=随机取点构的成全事部件结������的果区构域成面的积区域面积列等式求A的面积.为了方便解题, 我们常常设计出一个规则的图形(面积为定值)来表示随机取点的全部结果 构成的区域.
C方法帮∙素养大提升 易错 几何概型中“区域”选取不准致误
理科数学 第十三章：概率
理科数学 第十三章：概率
考情精解读
考纲解读 命题规律 命题分析预测
考纲解读
1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义.
∠∠������������������������������������′=π−π22 π4 =34.
( 利用角度比求概率 )
理科数学 第十三章：概率
拓展变式2 在区间[0,π]上随机取一个数x,使cos x的值介于- 23与 23之间的 概率为（ ）
A.13 B.23 C.38 D.58 答案 B
思路分析 先写出“6元分成3份”所含的基本事件数,然后求出乙获得“手气 最佳”所含的基本事件数,最后利用古典概型的概率公式即可得结果.
理科数学 第十三章：概率
解析 用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为 (1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)( 按顺 序列举，不重不漏) 乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1), (2,2,2). 根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P=140=25. 答案 D
数学 古典概型教案
数学古典概型教案教案标题：数学-古典概型教案教案目标：1. 了解古典概型的基本概念和原理。
2. 能够应用古典概型解决简单的概率问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学资源：1. 教科书：包含古典概型的相关知识点和例题。
2. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔。
3. 学生练习册或作业本。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾概率的基本概念，并提出一个问题：如果有一枚硬币，抛掷一次，正面朝上的概率是多少？2. 让学生进行讨论，并记录他们的答案和理由。
知识讲解：1. 介绍古典概型的概念和原理，即指出在一次试验中，所有可能的结果都是等可能发生的。
2. 通过例子解释古典概型的应用，如抛硬币、掷骰子等。
3. 强调古典概型只适用于有限样本空间的情况。
示范演练：1. 给出一个例题：一个袋子里有3个红球和2个蓝球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
2. 引导学生思考解决问题的步骤，并进行解答。
3. 让学生自主尝试解决类似的例题，然后进行讨论和纠正。
巩固练习：1. 分发练习册或作业本，让学生完成相关练习题。
2. 监督学生的学习进度，及时解答他们的问题。
拓展活动：1. 提供更复杂的问题，让学生应用古典概型解决。
2. 鼓励学生思考概率问题在现实生活中的应用，并分享他们的观点和例子。
总结：1. 总结古典概型的基本概念和应用方法。
2. 强调学生在解决概率问题时需要准确地定义样本空间和事件。
3. 鼓励学生继续探索概率和统计的相关知识。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力。
2. 批改学生完成的练习册或作业本，给予及时的反馈和评价。
教学延伸：1. 将古典概型与其他概率模型进行比较，如条件概率、贝叶斯概率等。
2. 引导学生进行实际探究，设计自己的概率实验，并分析结果。
注意事项：1. 确保教学过程中注重学生的参与和思考，避免单纯的讲解。
2. 鼓励学生提问和讨论，促进他们的思维发展和合作能力。
3. 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和难度。
古典概型公开课教案
古典概型公开课教案一、教学目标1. 让学生了解古典概型的定义和特点。
2. 让学生掌握古典概型的计算方法。
3. 培养学生运用古典概型解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 古典概型的定义与特点2. 古典概型的计算方法3. 实际问题中的应用案例三、教学重点与难点1. 教学重点：古典概型的定义、特点和计算方法。
2. 教学难点：古典概型的计算方法和实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解古典概型的定义、特点和计算方法。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用案例。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入古代骰子游戏，引发学生对古典概型的兴趣。
2. 讲解古典概型的定义与特点：引导学生了解古典概型的基本概念，分析其特点。
3. 讲解古典概型的计算方法：引导学生掌握古典概型的计算方法，并进行课堂练习。
4. 分析实际问题中的应用案例：通过案例分析，让学生学会将古典概型应用于实际问题。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业评价：检查学生完成的练习题，评估学生对古典概型的理解和应用能力。
3. 小组讨论评价：在小组讨论环节，评估学生的合作意识和问题解决能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考：如何将古典概型应用于现实生活中的概率问题？2. 推荐阅读材料：让学生了解古典概型在数学发展史上的应用和重要性。
八、教学资源1. 教学PPT：展示古典概型的定义、特点、计算方法和应用案例。
2. 练习题：提供相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
3. 案例分析资料：提供实际问题案例，供学生分析讨论。
九、教学建议1. 注重学生基础知识的培养，确保学生掌握古典概型的基本概念和计算方法。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考和问题解决能力。
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第三节 古典概型与几何概型
引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为10
1. 这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.
内容分布图示
★ 引例
★ 古典概型
★ 计算古典概率的方法 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 几何概型
★ 例7
★ 例8 ★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题1-3
内容要点:
一、古典概型
我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。
1. 随机试验只有有限个可能的结果;
2. 每一个结果发生的可能性大小相同.
因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。
它在数学上可表述为:
在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A 包含其样本空间S 中k 个基本事件, 即
},{}{}{21k
i i i e e e A = 则事件A 发生的概率
.)()()(11中基本事件的总数
包含的基本事件数S A n k e P e P A P k
j i k j i j j ====∑== 称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.
二、 计算古典概率的方法
基本计数原理：
1. 加法原理：设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有1n 种方法，第二种方式有
2n 种方法，……,第m 种方式有m n 种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这
件事的方法总数为m n n n +++ 21.
2. 乘法原理：设完成一件事有m 个步骤,其中第一个步骤有1n 种方法，第二个步骤有
2n 种方法，……，第m 个步骤有m n 种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完
成这件事的方法总数为 m n n n ⨯⨯⨯ 21.
3. 排列组合方法
(1) 排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.
三、几何概型
古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.
a) 设样本空间S 是平面上某个区域, 它的面积记为)(S μ;
b) 向区域S 上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何部分区域A 的可能性只与区域A 的面积)(A μ成比例, 而与区域A 的位置和形状无关. 向区域S 上随机投掷一点, 该点落在区域A 的的事件仍记为A ，则A 概率为)()(A A P λμ=, 其中λ为常数，而)()(S S P λμ=，于是得)(1S μλ=，从而事件A 的概率为
)
()()(S A A P μμ= 几何概率 )(* 注: 若样本空间S 为一线段或一空间立体, 则向S “投点”的相应概率仍可用)(*式确定, 但)(⋅μ应理解为长度或体积.
例题选讲：
例1 (讲义例1) 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求
(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 解 (1) 10个球中任取一个, 共有10110=C 种.
从而根据古典概率计算, 事件A ：“取到的球为黑球”的概率为)(A P 11013
C C =.10
3= (2) 10球中任取两球的取法有210C 种, 其中刚好一个白球, 一个黑球的取法有17
13C C ⋅种取法, 两个球均是黑球的取法有23C 种, 记B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, C 为事
件“两个球均为黑球”, 则。