2、概率的几种定义(古典概型)
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
§1.2 概率的定义与古典概型
设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:N k ≤（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；k m ≤（2）某指定的一个盒子恰有m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例2（分房模型）例7两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1 到达码头的时刻为x，0 ≤x < 24船2 到达码头的时刻为y，0 ≤y < 24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头设Ω是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种赋值满足下面的三个条件：非负性：0)(,≥⊂∀A P A Ω 规范性：1)(=ΩP ∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P U 可列可加性：L ,,21A A 其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.三、概率的公理化定义6、加法公式：对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪)()()(BPAPBAP+≤∪推广：) ()()() ()( )()()(ABC PBCP ACPAB PCP BPAPCBAP+−−−+ +=∪∪)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i nj i j i ni i ni i A A A P A A A P A A P A P A P L L U −≤<<≤≤<≤==−++++−=∑∑∑一般：右端共有项.12−n例9 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？2.07.0×若是的话, 则应有)()()(2121A P A P A A P =而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.21,A A例10设A , B 满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()()(B A P B P A P AB P ∪−+=3.01)()(=−+≥B P A P 1)(=∪B A P 最小值在时取得6.0)()(=≤A P AB P ——最小值——最大值)()(B P B A P =∪最大值在时取得。
古典概型2
古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。
强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。
一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。
做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
古典概型定义及公式
古典概型定义及公式好的，以下是为您生成的文章：咱今儿就来唠唠古典概型，这玩意儿在咱数学里头可是挺重要的角儿。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这小李啊，平时看着挺机灵，但一碰到古典概型的问题，就跟那霜打的茄子——蔫儿了。
有一次课堂测验，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这小李可好，抓耳挠腮半天，愣是没整明白。
咱先来说说古典概型的定义哈。
简单来讲，古典概型就是那种试验结果有限，而且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
比如说掷骰子，骰子就六个面，1 点到 6 点，每次掷出的结果就那么几种，而且出现每个点数的可能性都一样，这就是典型的古典概型。
再比如抽奖，假设箱子里有 100 张奖券，其中 10 张有奖，你随机抽一张，这也是古典概型。
为啥呢？因为结果就那么 100 种，而且每张奖券被抽到的机会均等。
那古典概型的公式是啥呢？就是P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 表示样本空间Ω包含的基本事件总数。
还是拿前面说的盒子里取球的例子来说。
总共有 8 个球，取出红球这个事件 A 包含 5 个基本事件（也就是 5 个红球），样本空间Ω包含的基本事件总数是 8 个球，所以取出红球的概率 P(取出红球) = 5 / 8 。
咱再举个例子，抛硬币。
抛一次硬币，结果不是正面就是反面，这就是有限的结果，而且出现正面和反面的可能性相等。
假设我们关心的事件 A 是抛出正面，那 n(A) 就是 1 ，n(Ω) 就是 2 ，所以抛出正面的概率 P(抛出正面) = 1 / 2 。
我后来给小李单独辅导的时候，就拿这些例子反复跟他讲。
我让他自己动手多做几道类似的题目，慢慢地，小李好像开了窍。
其实啊，古典概型在生活中也挺常见的。
像买彩票，虽然中奖概率低得可怜，但从概率的角度来看，也能算是古典概型。
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率的统计定义 古典概型
p
p44 p4
10
4321 10 9 8 7
1. 210
2020/6/11
17
课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
(答案 : 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. (答案 : p 2010 36520 )
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
概率.
(答案 : p 3 63 )
2020/6/11
14
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限
问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
2020/6/11
13
样本点总数为 101010 103,
A 所包含样本点的个数为 6 6 4,
故
P( A)
664 103
0.144.
课堂练习
1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位
数字互不相同的概率. (答案 : p P170 107 )
实验者
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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8
例2 袋中装有 个球，其中有 白球和 个黑球，从中任取 问所取的球中恰含有 个黑球的概率。
个 个，
个白球和
9
解：设 A=“所取的球中恰含有 和 个黑球” 个白球
A事件的取法为： 而样本空间的基本事件总数为 ：
所以
10
称此为超几何分布公式 此例可推广到
11
例3 将 只球随机地放入 个盒子中去，每球放入各盒等可能， 试求下列事件的概率： ① ② ③
12
解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
13
事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
14
(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
15
(3) 下面我们来求 事件 C所含样
袋中有 个白球， 个彩球， 从中逐一摸出，试求第 次摸得彩 球的概率。
21
解：将
只白球和 只彩球都看作
不同的（设想将其编号）若把摸出 的球依次排列在 个空格内， 则可能的排列法相当于把 元素进行全排列，总数为 个
22
又设
=“第 k 次摸得彩球的概率” 则第 个空格内可以是 个彩球中 的任一个，共有 种结果,其余 个球在余下的 个空 格内进行任意排列,共有 种排列。
2
这种试验是概率论发展早期
研究对象，称古典概型。 古典概型的计算公式：
3
计算事件A的概率，关键在于弄
清楚什么是样本点，样本空间中包含
样本点的总数以及A所包含的样本点
数，当样本点较多时，很难将它们一
一列出，需用排列、组合的知识进行
分析。
4
二 、排列组合公式 ①从 数为： 个不同元素中取出 个元素 且考虑其顺 序称为排列，其排列总
则称这个随机试验 为几何型随机
或称几何概型， 称为
的样本空
间，（可以是一维区间、二维区域、
三维区域，它们通常用长度，面积、
体积来度量大小）
A
S
27
定义：设 是一几何概型， 为它 的样本空间， 且A是可度量的， 以 、 分别表示 S 和 A 的 度量。
设 A=“随机点落在区域A内” 则 称为事件A发生的
44
3）对任何事件A有
45
4）若 则 且 证：由
A B
，
而 故
S
46
移项即得:
又 故
本点数，我们先取m个球放入指 定盒中，共有 种取法，然 后再把剩下的（n-m）个球任意 放入其余（N-1）个盒中,放法有 种，
16
根据乘法原理可得C的样本点数为：
所以 注：有不少实际问题与(2)有相同模型
17
例如：假设每人的生日在一年365
天中的任一天是等可能的，即都
为： ，则随机选取
个人，它们的生日各不相同的概
生的概率为p。
39
四、概率的公理化定义
由于古典定义，几何定义局限 于等可能性，统计定义试验次数的 不确定性，使用现代数学工具的不 便性，限制了概率论的发展，这就 必须给出更一般的，既能概括前三 种定义，具有一般性，又能使用现 代数学工具，这就产生了概率的公 理化定义。
40
（一）公理化定义：设
是随机试
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
18
个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
19
经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
20
例4 公平抽签问题：
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
37
2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
38
3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
5
② 从 个元素中取出 个元素，而 不考虑其顺序，称为组合，其组合 的总数为：
6
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字，给定 一个6位数字暗码，只有拨对号码时，
问：“一次就能打开”的概率是多
少？
7
解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数
30
y
我们关心的事件是 A=“甲乙将会面”
T
t 0 t
T
x
如图 A是正方形S中夹于直线 与直线 间的部分。
31
中
由几何概率的计算公式得
y
T t 0 t T x
注意t与T的关系
32
三、 概率的统计定义 1、频率：设事件A在 次试验中
出现了 为 次，则称
次试验中事件A出现的频率。 频率能反映事件A发生的可能
验，
是
的样本空间，对于
E的每一事件A，赋于一实数， 称为事件A的概率，记为 并规定 公理：
41
必须满足下列三条
1）非负性：
2）规范性：
3）可列可加性：若事件 两两互不相容即 则
42
（二） 基本 性质
1）
由公理3）
43
2） 有限可加性:若 两两互不相容， 即
则 令 由公理3）及1) 可得 有限可加性
概率，并称为几何概率。
28
例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
1.2
随机事件的概率
对于一个随机事件来说，在一
次试验中可能发生，也可能不发生， 我们希望有一个能刻划随机事件发 生的可能性大小的数量指标，即概 率，以 表示事件A的概率 。
1
一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 （1）有限性：试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如： （2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即：
23
所以事件
包含的样本点数为
所以
24
二、 概率的几何定义 古典概率局限于试验结果的有
限性，对许多试验结果无限的情况，
有时可用几何的方法来解决（注意
这里也要求等可能性）。
25
几何概型 向某一可度量的区域 内投一 点，如果所投的点落在 中任意区
域 内的可能性大小与
正比，而与 试验。
26
的度量成
的位置和形状无关，