第二节概率的概念

? 中基本事件总数 n有限——有限性 ? =?? 1 ,? 2 ? n ?
每个基本事件发生的可能性相同 ——等可能性
P(? i ) ?
P(?
j) ?
1 n
则称该试验为古典型随机试验。
二、概率的定义
（2）古典定义 设古典型试验 E的样本空间 ? 中所含基本事件数
为n，A为任意一个事件，若设事件 A包含的基本事 件数为 m ，则 A发生的概率为
? 中基本事件总数无限不可数 ——无限性 每个基本事件发生的可能性相同 ——均匀性 则称该试验为几何型随机试验。
二、概率的定义
（2）几何定义
设几何型试验 E的样本空间 ? 可用一有界区域描 述，其中部分区域可描述 A事件所含样本点数量， 则A发生的概率为
P(A) ?
L(A) ? L(? )
A事件对应子集的几何度量 ? 整个空间的几何度量
7 遍, 观察正面出现的次数及频率 .
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n?5
n ? 50
n ? 500
nH
f
nH
f
nH
2 0.4
22
0.44 251
随3 n的增0.6大
,
在25
频率
1
2f
处波0动.5较0 大 249
呈现出稳定性
1 0.2
21 0.42 256
f
0.502 0.498 0.512
5 1
设A表示“任取一张是黑桃”，nA ? 13
P4
注：若以花色为基本事件，共 5种花色，即
? ? {黑，红，梅，方，王 }
设A表示“黑桃”，则nA ? 1 ?
P(A) ?
nA
n
?
1 5
此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。
二、概率的定义
若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共 52张， 从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色 为基本事件数求解均正确。即
以张数为基本事件： P( A) ? nA ? 13 ? 1 n 52 4
以花色为基本事件： P( A) ? nA ? 1
n4
二、概率的定义
利用古典定义解题的基本步骤： 1、选择适当的样本空间满足有限与等可能 2、计算样本点数量，利用公式解题。
二、概率的定义
3. 概率的几何定义
（1）几何试验概型 若随机试验具有如下两个特征：
( P( A ? B ) ? nA? B ? nA ? nB ? P( A) ? P(B ))
n
n
n
n
? ? A1, A2 An两两互斥 ? P( Ai ) ? P( Ai )
i?1
i?1
二、概率的定义
例1 一付扑克牌 54张，任取一张，求它是黑桃的概率。
解: 以每一张扑克牌为基本事件，所以 n ? 54
P ( A) ? m ? A事件包含样本点数 = nA n ? 包含样本点总数 n
二、概率的定义
注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这 两个条件
古典定义满足：
0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 1, P(? ) ? 0;
AB ? ? ? P( A ? B ) ? P( A) ? P(B );
一、事件的频率
定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
成 f n ( A).
f n (A)
?
事件A出现的次数nA 试验总次数n
一、事件的频率
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
二、概率的定义
鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们 往往依照长期积累的关于“对称性”的实际经验， 提出模型直接计算概率。这类模型称为 等可能试 验概型。
等可能试验概型
?古典概型 —— 样本空间有限集 ??几何概型 ——样本空间无限集
二、概率的定义
2. 概率的古典定义
（1）古典试验概型
若随机试验具有如下两个特征：
二、概率的定义
1. 概率的统计定义
在相同的条件下重复进行 n次试验，其中事件Ａ 发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件Ａ的频率
nA/n将稳定在某一个常数 p附近，则称此常数 p为事件
Ａ出现的概率，记作 P( A) ? p
注：当试验次数 n充分大时，根据频率的稳定性，可 以用频率近似的代替概率，即
1.0
在
1
25
处波动较小
0.50
0.2 2 24 0.48
247 0.494
251 0.502
2
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
4
0.8
27 0.54 258 0.516
一、事件的频率
实验者
德 ?摩根 蒲丰
K ?皮尔逊 K ?皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
二、概率的定义
注： 试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的 随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于 等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无 限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位 置形状无关。
几何定义同样满足：
随机事件及其概率
第二节 概率的概念
引言
随机事件具有偶然性，在一次试验中不可事 先预知。但相同条件下重复进行多次试验，即会 发现不同事件发生的可能性存在大小之分。
事件A发生可能性大小的度量 ——概率P(A)
概率是事件本身具有的属性，是通过大量重 复试验展现出来的内在特征。
介绍众多概率定义之前，先引入频率。
f (H ) n的增大
1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
一、事件的频率
从上表中可以看出 ,出现 ?正面向上?的频率 fn ?A?
虽然随 n 的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验 次 数的增加而逐渐稳定在 0.5 这个数值上 .
可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的 频率具有稳定性 ，即通常所说的 统计规律性 . 我们 可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的 可能性，得到概率的 统计定义 .
P(A) ? nA n
显然，0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 0, P(? ) ? 1
二、概率的定义
注意：
（1）理解频率与概率的区别与联系 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只 是随机性很大的表面现象。 （2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限 （3）统计定义的局限性
试验n+1次所计算的频率并不一定比 n次试验更加 接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及 完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。