概率论与数理统计第3讲 古典概率
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论与数理统计第3讲
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
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而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
概率论与数理统计—古典概型
2023/8/17
3
3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，记为
Pnm n (n 1) (n m 1)
4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
有m1种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法，…… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
P( A) C9153 C52 0.1377 C15
100
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6
例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中 取一只球，
(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样
求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率 （设k ≤ a+b）.
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7
Cnm
n (n
1)
(n m!
m
1)
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4
例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)
概率论与数理统计第3讲_OK
首先先排n个男生的排法共有n!种，
再排m个女生，总共排法有
C
m n1
m!
种。
所以，p
n!
m!C
m n1
(n m)!
Cm n1
Cm nm
.
思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是 排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生
都不相邻的概率是多少？
(C
m n
/
C
m n
m
1
)
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26
例9：从5双不同的鞋子中任y 取4只，这4只鞋
子中“至少有两只配成一双”（事件A）的
概率是多少？
13579
解：
2 4 6 8 10
首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
虑对立事件，A {4只中没有两只配成一双}
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例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少
有两只配成一双”（事件A）的概y 率是多少？
解：首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}
样本点总数为
M N
mn
,
A 所包含的样本点个数为
M N
m
n
.
故
P(
A)
M m
N n
MN
m
n
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问题1设袋中有M个白球和 Ny个黑球, 现从袋中
无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m 个白球,n个黑球的概率?
第四节 等可能概型(古典概型)
➢排列组合公式 ➢古典概型 ➢典型例题 ➢小结
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1
第3课次 古典几何概型、条件概率
n 365 ，求下述事件 A、B 的概率：
A ｛n 个人中生日各不相同｝ B ｛n 个人中至少有 2 人生日在同一天｝
分析 （引导学生分析总的可能种数与事件 A 深层含义 及所包含种数） 每个人的生日均有 365 种可能，故 n 个人的生日共 有 365 n 种可能；在事件 A 中，n 个人生日各不相同，即 探究古典概 型中的经典 问题——生 日问题 他们生日所占天数为 365 天中的任意 n 天，且考虑次序
Pnk n! k ! k !(n k )!
k
排列与组合的关系： P n
0 1. 注：1） 0! 1, Cn
Cnk k !
由于文科、 理 科生对此处 知识点学习 程度不同， 故 根据班级具 体情况可细 讲或粗讲， 使 学生掌握排 列、 组合的不 同及其实际 计算。
k n k k k k 1 Cn ; Cn Cn 2） C n 1 Cn 1 .
(1 k a b) 。
分析 设 A={第 k 个人摸到红球} 假设这 a b 个球各不相同，让这 a b 人摸完球后排成 探究“抓阄” 的 公 平 性 与 第 k 个人摸到红球，相当于第 k 个位置放的是红球，其 否问题 1 (a b 1)! 种。 余随意，故有 Ca 一列，共有 (a b)! 种排法。 引导思考： 是否有别的 解决方法？
教学方法 与策略 板书设计
教学时间设 计
第 1 节课：古典概型和几何概型 1.1 古典概型与几何概型的理论基础（6 分钟） 1.2 古典概型及其典型例题（26 分钟） 1.3 几何概型与典型例题（18 分钟） 课间休息 10 分钟 第 2 节课：条件概率和乘法公式 2.1 条件概率（26 分钟） 2.2 乘法公式（5 分钟） 2.3 乘法公式的实际应用（15 分钟） 2.4 小节及作业布置（4 分钟）
概率论与数理统计-古典概型_图文
思考题
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
则有
该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
[例1]
表达方法：
[例 2]
解：(1) 有放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数： 于是，
(2) 无放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数：
于是，
[例3]（继上题） 将抽样方式改为“一次任取 件样品”,求相应
的概率. 解： 样本空间中基本事件总数为：
解：基本事件总数为：
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基本 事件都是等可能的. 定义
小结
1. 古典概型：构建合适的样本空间,正确计算样本 点个数.构建样本空间时,要特别注意样本点的等可能 性.
2. 两个重要的概率模型---无放回抽样(超几何分 布),抽签次序无关性.
3. 几何概型---古典概型的推广：样本空间为无穷 集合.
所包含的基本事件总数为：
于是，
附：不放回依次抽样与一次抽样的等价性
例4 在10张奖券中有2张中奖券，有10人依次逐个 抽取一张奖
[例4] 一批产品共有 件,其中有 件次品.每次从中 任取一件,取出后不放回,接连取 个产品.求第 次取 得次品的概率.
概率论与数理统计-古典概型_图文.ppt
一、古典概型的定义
定义 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.
等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
概率论与数理统计之古典概率.
计算 S 以及感兴趣的事件 A 所包含的样本点数，分别记 作n和m. 计算得 P( A) .mn
备注
• • 放回抽样 取出元素旋即放回，参加下一次抽取， 即每次抽取都是在全体元素中进行. 不放回抽样 某元素一旦被取出就不再参加以后 的抽取，所以每个元素至多被选中一次．
第一章 概率论的基本概念
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
二、古典概率的定义
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为： A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝ S的样本点总数 称此概率为古典概率.
P13 例1
古典概型的解题步骤：
1.
2. 3.
选取适当的样本空间 S，判断是否为古典概型（有限性、 等可能性）.
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
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cb ca ba
元素无重复排列
从3个不同的球中取出2个的排列有?种，
A32 3 2=6.
元素无重复排列
(2)从n个不同元素中任取 k个(1 ≤ k ≤ n) 元素排成一列，不同的排列总数为
Ank
n(n 1)(n 2)(n k
1)
n! (n k)!
k = n时，则为全排列
Ann n(n 1)(n 2)21 n!
元素无重复排列
例2 5个小孩排成一排的方式有多少种? 解 5！=5 ×4 ×3 ×2 ×1=120. 例3 将10本书任意放在书架上，求其指定的 3本书靠在一起的排法有多少种?
解 8!3！=241920.
元素允许重复的排列
(3)从n个不同元素中取k个(1 ≤ k ≤ n)排成一列,
(元素允许重复)不同排列的总数为
n nn nk
例如：从盒中有放回地取3个 4.4.4=43 种可能取法.
组合
(1)组合:从n个不同元素中取 k (1 ≤ k ≤ n) 个元素组成一组,(无次序)称为一个组合,所
有组合的个数为
Cnk
Ank k!
P(A)
Ar 365
(365)r
P
(
A)
1
P
(
A
)
1
A3r65 (365)
r
当r=22时，P(A)=0.476, r=23时，P(A)=0.507,
r=50时，P(A)=0.97.
谢 谢！
(4) P(A) 1 P(A);
(5) P() 0;
S AB
(6)若A B,则 P（A） P（B）() A (B A)
且 P（B A） P（B） P（A） ()
证明: P(B) P( A (B A))
P( A) P(B A)
移项得(**),再由 P(B A) 0 得（）.
飞机有3班 火车有4班
3+4=7种
乙地
排列与组合
乘法原理
设完成一件事必须经过r个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法， 第三个步骤有n3种方法， ……
第 r 个步骤有nr种方法.
则完成这件事总 共有n 1×n2× … × nr 种方法 .
乘法原理
• 例如，小王要从三种不同水果和两种不 同饮料中各选一个，他有多少种不同选法？
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
• 这里计算样本点数的主要工具是排列、 组合.
排列与组合
加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法， ……
第m种方式有nm种方法，
则完成这件事总共有
n1 + n2 + … + nm 种方法 .
排列与组合
例如 甲地
本点，则
P(A) a(a b 1)! a
与k无关
(a b)! (a b)
古典概率的计算
解2 把第k次摸到的球号作为一个样本点，
由等可能性
P( A) a (a b)
与k无关
结论说明抽签与次序无关.
古典概率的性质
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (2) P(S)=1;
7! =210. 3!2!2!
古典概率的计算公式
• 在古典概型下，事件A的概率定义为：
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
.
古典概率的计算
例1 一批产品中有10个正品和2个次品，任 意抽取两次，每次抽出一个，抽出后不放回， 求第二次抽到次品的概率？ 解 设 A=“第二次抽到次品”，则
P( A)
古典概率的性质
推广：P(A－B)=P(A) －P(AB)
(7)（一般概率加法公式）
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
证明
B AB A
P( A B) P( A (B AB)) P( A) P(B AB)
S P( A) P(B) P( AB).
(n
n! k)
!k
!
=Cnn
k
,
Cnk常记作 kn ，称为组合数.
Ank
C
k n
k!
组合
从3个不同的球中取出2个的组合有?种, (无次序)
C32
A32 2!
3 2 =3. 21
(2) n个不同元素分为k个(1 ≤ k ≤ n)不
同组，每组元素个数分别为r1,r2,…,rk个的 分法总数为
(3) 若事件A、B互斥，则
P(A+B)=P(A)+P(B);
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
.
推广：若 A1,A2,„, An 互斥，则：
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
这是概率的加法公式或概率的有限可加性.
古典概率的性质
A (B AB)
古典概率的性质
• 推广： P(A B C) P( A) P(B) P(C)
P(AB) P( AC) P(BC) P( ABC). • 一般情形
n
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) „ (1)n1 P( A1A2 „ An )
1i jkn
古典概率的计算
例4 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，求事件“至少有两
人生日相同”的概率.
解 设A=“至少有两人生日相同”，则
A=“r 个人的生日都不相同”
C C C r1
r2
rk
n
nr1
rk
n! r1 !r2 !rk !
其中 r1 r2 rk n.
例4 将7个学生安排到一个三人间和两个双人 间中住宿，问有多少种不同的住法？ 解 问题转化为将7人分为3组，第1组有3人， 第2组有2人，第3组有2人，不同住法总数为：
C73
C723C22
第3讲 古典概率
概率
概率——表示事件A发生可能性大小的 数值，称为事件A的概率，记为P(A).
注意：概率是随机事件的函数.
古典概率的定义
• 若试验的样本空间S满足：
只有有限个样本点— 有限性，
每个样本点发生的可能性相等 — 等可能性.
称此试验为古典概型试验.
古典概率的计算公式
• 在古典概型下，事件A的概率定义为：
r! nr
P(
A2
)
cnr r ! nr
P( A3)
crk
(n 1)rk nr
古典概率的计算
例3 袋中有a个黑球，b个白球，若随机地 (不放回)把球一个接一个地摸出来，求A= “第k次摸出的球是黑球”的概率(k ≤ a+b). 解1 把a+b个球编号为1,2,„a+b，前a号球 是黑球. 把a+b个球的一种排列作为一个样
A110 A21 A122
A22
10 2 21 1211
1. 6
古典概率的计算
例2 将r个人随机地分配到n个房间里，设
A1=“某指定r个房间中各有一人”,A2=“恰
有r个房间中各有一人”, A3=“某指定房间
恰有k个人”，k ≤ r.求 A1, A2, A3的概率.
解
P(
A1)
可以有3×2中选法.
排列和组合的区别
• 顺序不同是不同排列
• 组合不管顺序
元素无重复排列
(1)将n个不同元素按照一定次序排成一列， 称为全排列,全排列的个数为
n! n(n 1)(n 2)21.
例1 3个不同字母a, b, c的全排列个数为 3！=3×2×1=6.
a
b
c
bc ac ab