图论GraphTheory-数学研究所
图论GraphTheory-数学研究所81页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
图论总结(超强大)解读
1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。
图论讲座
指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排 名员工去完成 项任务， 每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员 工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。 如何分配工作方案可以使总回报最大？
2013.11.10
中国邮递员问题(CPP－chinese postman problem)
图论的起源
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士 数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七 座桥”。 1857年，凯莱发现了“树”。 1895年，哈密尔顿提出周游世界游戏。
2013.11.10
图论的运用
近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发 展，大大促进了图论研究和运用，图论的理论 和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建 筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、 社会学等学科中。
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题的数学模型
2013.11.10
图与网络
图与网络是运筹学(Operations Research)中一 个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济 管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信 息技术通讯与网络技术等诸多领域。下面将要 讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流 问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。
2013.11.10
最短路问题(SSP—shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货 物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵 横交错，因此有多种行车路线，这名司机应该 选择哪条路线？假设货柜车行车速度是恒定的， 那么这一问题相当于需要找一条从甲地到乙地 的最短路。
图 论(Graph Theory) ----图与网络模型及方法
第五部分图论GraphTheory教学课件
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b
54
图同构示例 1
b
c
a G
d b’
b’
d’
a’
c’
G’
c’
a’
G’
d’
55
图同构举示例2
a1
b1
a d1
d a1
b
c1 c
b1
a
d1
b
c1
d
c
a a1 d1
d
b b1 c1
c
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图同构示例3
G1
GG3 2
GG11≌≌GG32？
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自补图
如果G和它的补图 G同构，称G为自补图
a
a’
b
e
d’
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
i 1
n
((deg (vi ) deg (vi ))((deg (vi ) deg (vi ))
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论GraphTheory教学讲义
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章 图 论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
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图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
图论GraphicTheoryppt课件
b、去某边后不能造成图形的不连通。
2020/8/1
v2
v7
v1
v3 3 1 v5
v6
v8
2
v4 v9
(3)接着去掉(v3,v2)
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件：
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边 ，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
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解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶 点的度是否都是偶数。
d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2，
d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4，
d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。
Hamilton图。
• 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道
路，则称这条道路为Hamilton道路。
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• 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为 n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有 d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条 Hamilton道路。
• 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒 有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条 Hamilton回路。
vk
v2
v1
vp-1
vp
vL
与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的 Hamilon道路。
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好的数学问题/猜想
简洁：简短而易理概念融于一体
一般性：适用性广，涵盖面宽
核心性：与已知的著名定理和猜想有关联
经久性：久而未决（至少20年）
影响力：解决该问题的尝试产生新概念，新 证明技巧
图论的起源——哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将七桥问题转化为图论问题 : 求图中一条 迹 (walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质 的迹称为欧拉迹）。 欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2。
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
闭的欧拉迹也称为欧拉回路。
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图存在欧拉回路 且可分解成 边不交的圈。
需要多少个圈？ 二百多年来，这个问题一直未能解决。
圈分解猜想
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可分解成至多 n/2 个 圈（欧拉图：无奇度数点的连通图）
四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着 色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。 Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上 有过合作。 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了 四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
优旅行路线(行程最短或费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。里程或机 票价作为每条边的权。
旅行商问题
问题: 在带权图中找一条回路：过每个点
恰好一次 , 且边的权之和最小 ( 带权最优哈
密顿圈）
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机等
中国邮递员问题
图论的发展——四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 该问题成为数学史上最著名问题之一。将地图 看作一个平面图：国界为边，相交处为点，国 家区域称为面，则该问题可表述为：
四色问题
Tait的错误在于他认为3-正则，3-连通的
平面图有一个圈包含所有点（哈密顿圈）。
可是他没能证明这一点。半个多世纪后(1946
年)，Tutte给出了第一个不含哈密顿圈的3正则，3-连通平面图，从而宣告了Tait证明 的错误是无法修补的。
图论的经典——哈密顿圈问题
Tait 对四色问题的错误证明在于假定
中国邮递员问题: 在带权图中找一条回路：
过每条边至少一次 , 且边的权之和最小 ( 带权
最优欧拉回路问题)
难度: 有多项式算法
(Edmonds, 1985 von Neumann Prize) 应用: 起源于中国邮递（管梅谷，1962）
图论的经典——Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
中科院系统所曾引领中国图论的发展。
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
图论分支
图 论
结 构 图 论
极 值 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
我们将通过图论发展历程中的若
干好问题/猜想，来了解这一学科的
Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可分解成cn 个圈。 Pyber 认为此猜想的解决在目前是不可及的“ out of reach at present”。
路分解猜想
Gallai 猜想： n 个点的连通图可分解成至多 (n+1)/2条路。 Lovasz 定理 ： n 个点的连通图可分解成至多 n/2条路和圈。 Lovasz： 长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科 学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现 为匈牙利科学院院长。
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图论研究的对象是图，它由点及连接两
点的线所构成。现实世界中许多问题的数学
抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通
网、通讯网、社团网、大规模集成电路、分 子结构等都可以用图来描述。对图的研究形 成了一个专门的数学分支—图论 。
3-正则，3-连通平面图有哈密顿圈（含
所有点的圈）。
哈密尔顿圈问题: 哪些图有哈密顿圈？
带权哈密尔顿圈
哈密顿圈可看成过每个点恰好一次的 回路；若每条边有一个权(weight),求最优
哈密顿圈（总权和最小的哈密顿圈），就
是找一条回路：过每个点恰好一次且行程
最短—旅行商问题。
旅行商问题
问题提出: 一个旅行商从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计最
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab ce
de
ac ad bc
cd
be
bd
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。 普林斯顿数学系自2008年起，一直有每周一 次的离散数学seminar，邀请世界各地的数学 家作报告，主要侧重图论。