组合数学在生活中的应用

组合数学在生活中的应用

组合数学在生活中的应用

组合数学在生活中的应用

数计学院姓名：廖梓文班别： 11数本3班学号：2011224323

摘要本文从对组合数学的一些基本概念和方法入手,结合具体的应用举例和数学史上的著名故事作为论题进行研究,进行了较全面的资料搜集.使人们加深对组合数学的理解,并应用于生活.

关键词:组合数学;数学游戏

1 引言

本文通过具体的应用实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.

2 组合数学的历史

组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机. 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。

4.组合数学的基本解题方法

4.1 组合分析法

组合分析法,或称组合解释法,此法对组合数学的初学者来说相对重要一些,它与代数演算法有明显的区别,其思想主要是给组合数以确定的现实意义,对提出的问题给以组合解释.这种方法的特点是相对直观,便于理解和记忆,富有启发性,类似于我们在连续型数学学习中常说的“几何意义”.

例1 在一群n >1个人中存在两个人,他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）.

证明 将这n 个人编号为{n ,,2,1⋅⋅⋅},记第i 个人的熟人数为i n ,则10-≤≤n n i .

如果某个人的熟人数为0,则其余n -1的熟人数的范围为{1,2,…,n -2},则由鸽巢原理知必有两个人的熟人数是相同的.

4.2 分类法

分类法在组合数学中使用频率也较高.此方法的基本思想是:设有某一集合A ,根据某一准则(具体问题具体确定),将A 分成若干两两不交子集之并.

例2 在3个孩子之间分发12个完全相同的苹果和1个橘子,使每个孩子至少得到一个水果有多少种分发方法？

解 对橘子的选择与否分2种情况进行讨论,

(1)先讨论橘子不分的情况.设321,,x x x 分别为三个孩子得到的苹果数,并设他们得到的苹果数的总和为k ,此时的分发方法数相当于方程

k x x x =++321,其中321,,x x x ≥1

的整数解的个数,有21-k k

1-33-k C C =+种不同的分法,其中12,,4,3Λ=k ,对k 求和可得

该情况下的分发方法数；

(2)再讨论将一个橘子分给一个孩子的情况.可从3个孩子中选择1个得到橘子,有13C 种取法,其次再如上考虑,321,,x x x 的意义同上,此时对苹果数总和为k ,分发方法数的计数相当于方程

k x x x =++321,其中1x ≥0,32,x x ≥1

的整数解的个数,可算得共有21-k k

1-33-k C C =+种不同的分法,其中k =2,3,Λ,12,对k

求和即可计算.

综上所述可得总的分法数为

∑∑==+122k 2k 123k 21-k 3C C

111222n n 22

3k k C C ===+∑∑32121243C C =+. 5.组合数学在生活中的应用举例

组合数学在生活中的应用是方方面面的,现在就从以下几个方面来简要说明,以达到抛砖引玉的效果.

5.1 乘法原则与加法原则的应用举例

这两种原则是组合数学当中两个最常用和最基本的原则.那么我们就先看看这两种原则在生活中的实际应用.（以下假设A 和B 是两类互不关联、互不相同的事件.）

加法原则可定义为:设事件A 有m 种选择方式,事件B 有n 种选择方式,则选A 或B 共有n m +种方式.

例如,大于1小于9的的奇数有3个,分别为3,5,7,9;大于1小于9的偶数有4个,分别为2,4,6,8.则大于1小于9的整数有7个,即2,3,4,5,6,7,8.这里事件A 为大于1小于9的奇数,事件B 为大于1小于9的偶数.而大于1小于9的整数即是属于A 或者属于B .

乘法原则可以定义为:设事件A 有m 种选取方式,事件B 有n 种选取方式,那么选取A 以后再选取B 共有n m ⋅种方式.

例如,从3个黑人、5个白人、9个黄种人中各选出1位的方式有359135⨯⨯=种方式.而从中共选出一人的方式有35917++=种方式.

下面再用一个实例看看这两个法则是如何应用的.

例5 某旅行社开辟了从北京去长白山和天山2条旅游线路,称为北线；从北京去西湖、黄山、峨眉山3条旅游线路,称为南线.问该社共有多少条不同的线路？如某人选定了从北京去四川,先要在西安中转,北京到西安有3种航班可选,西安到四川又有2种航班可选,问共有多少种不同的航班配置方式？

分析 由所学的概率知识可知,互不相容事件21A A 、,则其和的概率等于各自概率之和,即()()2121)(A P A P A A P +=+;同理,二个独立事件同时发生的概率()()()2121A P A P A A P ⋅=⋅.