图论第四章 平面图及着色讲解
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
图论4-6-平面图ppt课件
证明 假设K3,3图是平面图。
在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不 邻接，故每个面的次数都不小于4， 由4r≤2e，r≤e/2，即 v-e+e/2≥v-e+r=2， v-e/2≥2， 2v- e ≥ 4， 2v4≥e。
在K3,3中有6个结点9条边， 2v-4=2×6-4=8<9,与 2v-4≥e 矛盾， 故 K3,3不是平面图。
整理后得: e≤3v – 6
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。 •图论4-6-平面图
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。 证明K3,3图不是平面图。
例如图
deg(r1)=3 deg(r2)=3 deg(r3)=5 deg(r4)=4 deg(r5)=3
deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)
=18
•图论4-6-平面图
3.定理4-6.1 设G为一有限平面图，面的次数之 和等于其边数的两倍。 证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界 （贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）
•图论4-6-平面图
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边 可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处 相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
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f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
图论课件--平面图的判定与涉及平面性的不变量共34页文档
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
图论课件--平面图的判定与涉及平面 性的不变量
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法பைடு நூலகம்和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
图论4-4欧拉图和汉PPT课件
此定理是必要条件，可以用来证明一个图不是 汉密尔顿图。
如右图，取S={v1,v4}， 则G-S有3个连通分支，
不满足W(G-S)≤|S|，故 该图不是汉密尔顿图。
说明：此定理是必要条件而不是充分条件。有的图满足此必 要条件，但也是非汉密尔顿图。
所以用此定理来证明某一特定图是非汉密尔顿图并不是 总是有效的。例如，著名的彼得森(Petersen)图，在图中删 去任一个结点或任意两个结点，不能使它不连通；删去3个结 点，最多只能得到有两个连通分支的子图；删去4个结点，只 能得到最多三个连通分支的子图；删去5个或5个以上的结点， 余下子图的结点数都不大于6，故必不能有5个以上的连通分 支数。所以该图满足W(G-S)≤|S|，但是可以证明它是非汉密 尔顿图。
1 1
11 0 1
0
0
0
1
0
1
0
0
10
1d 0c 1b 1a
设有一个八个结点的有向图，如下图所示。其结点分别记为 三位二进制数{000，001，……，111}， 设ai{0,1}，从结点a1 a2 a3可引出两条有向边，其终点分别是a2 a30以及a2 a31。该两条边分别记为a1 a2 a30和a1 a2 a31。 按照上述方法，对于八个结点的有向图共有16条边，在这种图的 任一条路中，其邻接的边必是a1 a2 a3a4和a2 a3a4a5的形式，即是第 一条边标号的后三位数与第二条边的头三位数相同。
4-4 欧拉图
[教学重点] 无向欧拉图的定义、判定定 理和实际应用
[教学难点] 欧拉图判定定理的证明
1、哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡城有 一条横贯全城 的普雷格尔河， 城的各部分用 七桥联结，每 逢节假日，有 些城市居民进 行环城周游， 于是便产生了 能否“从某地 出发，通过每 桥恰好一次， 在走遍了七桥 后又返回到原 处”的问题。
[理学]图论第四章 平面图及着色
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v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用数学归纳法证明.
假设公式对n条边的图成立.设G有n+1条边. 若G不含圈,任取一点x,从结点x开始沿路行走.因G 不含圈,所以每次沿一边总能达到一个新结点,最后会 达到一个度数为1的结点,不妨设为a,在结点a不能再继 续前进.删除结点a及其关联的边得图G’,G’含有n条边. 由假设公式对G’成立,而G比G’多一个结点和一条边,且 G与G’面数相同,故公式也适合于G. 若G含有圈C,设y是圈C上的一边,则边y一定是两个 不同面的边界的一部分.删除边y得图G’,则G’有n条边. 由假设公式对G’成立而G比G’多一边和多一面,G与G’ 得顶点数相同.故公式也成立.
解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由
推论1知,K5是非平面图. 显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 因而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面 图，则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。 证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w) 从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重 复计算了w-1次.).所以有: V-e+r+(w-1)=2w 整理即得: v- e+ r=1+w.
定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两个 面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的边 界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边界 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平面 图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立.
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2e=d(f)3r (1)
其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e3(2-v+e)
即e3v-6。
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图， 其中v3且没有长度为3的圈，则e2v-4。 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的 度数至少为4.因此有2e=d(f)4r (1) 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e4(2-v+e) 即e2v-4。
两个点,从交点o到这两点的距离不超过1/2,不妨设为a,x,则点a与x
之间的距离小于1,与已知矛盾,所以G中的边除端点外不再有其它 交点,即G为平面图.再据推论1,知结论成立. a x o
y b
a
x b y
(a)
(b)
第2节 库拉图斯基定理与极大平面
定义1 设G是一个平面图，通过删除G的一条边{x、 y},并增加一个新结点a和两条边{x 、a}与{a、y} （所获得的任何图也是平面图），这样的操作称为 初等细分。若可以从相同的图G通过一系列初等细 分来获得图G1和G2，称G1和G2是同胚的. 如下图G1,G2,G3是同胚的.
G1
G2
G3
定理1一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个 同胚于K3.3或K5的子图。（证略）
例1 说明彼得森图不是平面图。 解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而 H胚于K3.3,所以皮得森不是平面图.
a f g b a e i c d g h (b)H e h j f d e j f
由推论1,只要证明G为一平面图时即知结论成立. 反设G中存在两条不同的边{a,b}和{x,y}相交于非端点处o,如下
图(a)所示,其夹角为(0< <).
若 =,这时如下图(b),显然存在两点距离小于1,与已知矛盾,从而 0< <.由于a到b的距离为1,x到y的距离为1,因此a,b,x,y中至少有
第四章 平面图
第一节 平面图 定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G 称为G的平面表示。
可平面图G与G的平面表示 G 同构，都简称为平面 图。(球极投影)
定理1 图G可嵌入球面图G可嵌入平面。
3
e1 f1 e 4 4 5 f5 e10 2 e7 f3 e6 f2 e8 e9 7
1
f4 e5
e2
e3 6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
例3 K5和K3.3都是非平面图。
解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由
推论1知,K5是非平面图.
显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边,因 而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
若G含有圈C,设y是圈C上的一边,则边y一定是两个不 同面的边界的一部分.删除边y得图G’,则G’有n条边.由 假设公式对G’成立，而G比G’多一边和多一面,G与G’ 得顶是带v个顶点，e条边的连通的平面简 单图，其中v3，则e3v-6。 证明:由于G是简单图,则G中无环和无平行边.因此 G的任何面的度数至少为3.故
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w)
从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了 w-1次.).所以有: V-e+r+(w-1)=2w
整理即得: v- e+ r=1+w.
推论4 设G是任意平面简单图，则(G)5。
证明:设G有v个顶点e条边.若e6,结论显然成立;若e>6, 假设G的每个顶点的度数6,则由推论1,有
6v 2e 6v-12
矛盾,所以 (G)5.
例4 平面上有n个顶点，其中任意两个点之间的距离 至少为1.证明 在这n个点中距离恰好为1的点对数 至多是3n-6。 证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n 个点(位置相同),当两个顶点之间的距离为1时,两顶 点之间用一条直线段连接.显然,图G是一个n阶简单 图.
定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。
证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两 个面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的 边界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边 界是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立.
定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平 面图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立.
v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用数学归纳法证明.
假设公式对n条边的图成立.设G有n+1条边.若G不 含圈,任取一点x,从结点x开始沿路行走.因G不含圈,所以 每次沿一边总能达到一个新结点,最后会达到一个度数 为1的结点,不妨设为a,在结点a不能再继续前进.删除结 点a及其关联的边得图G’,G’含有n条边.由假设公式对G’ 成立,而G比G’多一个结点和一条边,且G与G’面数相同, 故公式也适合于G.
例1 Q3是否可平面性？
定义2 (平面图的面,边界和度数).
设G是一个平面图，由G中的边所包围的区 域，在区域内既不包含G的结点，也不包含 G的边，这样的区域称为G的一个面。有界 区域称为内部面，无界区域称为外部面。包 围面的长度最短的闭链称为该面的边界。面 的边界的长度称为该面的度数。
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。