图论第四章 平面图及着色
图论 平面图与对偶图
4.1 平面图 4.2 平面图上的欧拉公式
4.3 对偶图
4.1 平面图
平面上的图(plane graph)：指的是画在平面上的一个图形，它的 所有的边都不相交（除顶点外）。
平面图(planar graph)：如果一个图经过重画之后，可以画成平面 上的一个边不相交的图形，则该图便称为平面图（可嵌入平面 (embeding)）。 Jordan curve：自身不相交的):
1）如果两个图能够从一个图G出发，通过在G的边上插入有限多 个2次顶点得到，则称这两个图是同胚。 2）如果两个图是同构的或通过反复插入或消去2次顶点后是同构 的，则称这两个图是同胚。 Th4.2：一个图为平面图当且仅当它不含与k5或k3.3同胚的子图。
Th4.3：一个图为平面图当且仅当它不含可以缩成k5或k3.3的子图。
4） G* 是连通的且为平面嵌入的。
Lemma4.10：设G为n，m和f且为平面上的连通图，其对偶图G*有n*， m*和f* n*= f， m= m*和n =f*。 Th4.11：设G为平面上的连通图，则G**≌G。 Th4.12：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边集构 成G的一个圈对应的G*的边集构成G*的一个割集。 Corollary4.13：设G为平面上的连通图且G* 为G的对偶图，则G的边 集构成G的一个割集对应的G*的边集构成G*的一个圈。
Th:一个图是可嵌入平面它是可嵌入球面。 Th4.4：设Ｇ是一个连通的平面上的图，n，m和f分别表示图Ｇ的顶 点数，边数和面数，则n-m+f=2。 Cor４.5：设Ｇ为具有n个顶点，m条边，f个面和k个分图的平面上的 图，则n-m+f=k+1。
Cor４.６：Ｇ<V,E>为简单连通平面图|V|=n（n>2）和|E|=m
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
离散数学着色基础知识
离散数学着色基础知识离散数学是数学的一个重要分支，它关注离散的数学结构和对象。
在离散数学中，图论作为一个重要的研究领域，着色问题受到广泛的关注。
着色问题是指给定一个图的顶点或边，用不同的颜色给它们进行标记的问题。
本文将介绍离散数学中的着色基础知识，包括图的着色、四色定理以及一些常见的着色应用。
1. 图的着色在图的着色问题中，我们通常要求相邻的顶点或边不能使用相同的颜色。
对于给定的图，我们可以用一个函数来为每个顶点或边赋予一个颜色。
这个函数被称为着色函数。
如果对于每个相邻的顶点或边，它们被赋予了不同的颜色，那么这个着色函数就满足着色条件。
图的着色问题可以分为顶点着色和边着色两种情况。
在顶点着色中，我们使用不同的颜色为图中的每个顶点上色；而在边着色中，我们使用不同的颜色为图中的每条边上色。
通常情况下，我们更关注的是顶点着色问题。
2. 四色定理四色定理是图论中的一个著名的定理，它指出任意一个平面图都可以用四种颜色给其顶点进行着色，使得任意相邻的顶点使用不同的颜色。
具体地说，对于任意一个平面图，我们可以用四种颜色对其顶点进行着色，并且一定能够满足着色条件。
这个定理的证明非常复杂，涉及到大量的数学推理和计算。
它的证明分为两个步骤：首先，通过对所有可能的情况进行穷举和排除，证明了五种颜色是充分的；然后，通过反证法证明了四种颜色就足够了。
四色定理在实际应用中具有重要的意义。
它可以用来解决地图着色问题，即给定一幅地图，用尽可能少的颜色对每个行政区域进行着色，使得相邻的行政区域颜色不同。
四色定理的证明为解决这个问题提供了理论支持。
3. 着色的应用着色问题在现实生活中有许多应用。
除了地图着色问题外，还有课程表着色问题、时间表着色问题等等。
在课程表着色问题中，我们需要为学校的每个班级安排一个课程表，并且要求相邻时间段的课程使用不同的颜色。
这个问题可以转化为图的着色问题，其中图的每个顶点代表一个时间段，边代表时间段的相邻关系。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
4色定理证明
4色定理证明4色定理是图论中的一种定理，它指出，任何一个平面地图，只要它的区域是连续的、有界的，并且不相交或重叠，那么最多只需要4种颜色就可以将这些区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理是由英国数学家弗朗西斯·格斯·查普曼在1852年提出的，并在1976年由美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·黑肯证明。
为了更好地理解4色定理的证明过程，我们首先需要了解一些图论的基本概念。
图论是研究图及其性质的数学分支，而图是由顶点和边组成的数学结构。
在这个结构中，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
证明4色定理的关键在于构建一个特殊的图，这个图称为地图图或平面图。
地图图是由多个区域组成的，每个区域都是一个多边形，而且不相交或重叠。
我们可以将地图图的每个区域看作一个顶点，如果两个区域相邻，则它们之间有一条边。
为了证明4色定理，我们需要进行数学归纳法的推理。
首先，我们选取一个最小的地图图，它只有一个区域。
显然，我们只需要一种颜色就可以将这个区域着色。
接下来，我们假设对于任意一个具有n个区域的地图图，我们最多只需要4种颜色进行着色。
现在，我们考虑一个具有n+1个区域的地图图。
我们可以选择其中一个区域，将它看作是整个地图图的边界。
我们可以通过将这个边界区域所包围的区域进行染色，将这个边界区域看作是一个顶点，而将所包围的区域看作是这个顶点的邻居。
根据我们的归纳假设，这些所包围的区域最多只需要4种颜色进行着色。
而这个边界区域最多只需要3种颜色进行着色，因为它与所包围的区域相邻。
因此，这个具有n+1个区域的地图图最多只需要4种颜色进行着色。
通过数学归纳法的推理，我们可以得出结论：任何一个具有连续、有界、不相交或重叠的区域的平面地图，最多只需要4种颜色进行着色。
这就是4色定理的证明过程。
4色定理的证明对于图论的发展具有重要的意义。
它不仅解决了一个经典的数学难题，而且还为许多实际问题的解决提供了思路和方法。
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定理1 可嵌入球面⇔ 可嵌入平面。 定理1 图G可嵌入球面⇔图G可嵌入平面。 例1 是否可平面性？ Q3是否可平面性？
定义2 (平面图的面 边界和度数). 平面图的面, 定义2 (平面图的面,边界和度数). 设G是一个平面图，由G中的边所包围的区域， 是一个平面图， 中的边所包围的区域， 在区域内既不包含G的结点，也不包含G的边， 在区域内既不包含G的结点，也不包含G的边， 这样的区域称为G 这样的区域称为G的一个面。有界区域称为 。有界区域称为内 部面，无界区域称为 ，无界区域称为外部面。包围面的长度最 。 短的闭链称为该面的边界。面的边界的长度称 短的闭链称为 。 为该面的度数。 。
证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n 证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n G=<V,E>,其中 个点( ),当两个顶点之间的距离为 个点(位置相同),当两个顶点之间的距离为1时,两顶 ),当两个顶点之间的距离为1 点之间用一条直线段连接,显然图G是一个n阶简单图. 点之间用一条直线段连接,显然图G是一个n阶简单图.
定理2 对任何平面图G 定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。 是 。 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两个 面中,故每增加一条边图的度数必增加2. 2.对外部面的边 面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的边 若某条边不同时在两个面中, 边必为割边, 界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边界 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 2.从而结论成立 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 定理3 是带v个顶点， 条边， 定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平面 图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） e+r=2。（欧拉公式） 。（欧拉公式 证明:(1)当n=e=1时 如下图,结论显然成立. 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立. :(1)
e j i d c (a) (b)H f g h e i h e i (c)K3,3 h f b a c d g j f d
j
说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件,但用它并不能 说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件, 判别一个图是否是平面图的有效算法. 判别一个图是否是平面图的有效算法. 定义2 设G是阶大于等于3的简单可平面图，若在任意两 定义2 是阶大于等于3的简单可平面图， 个不相邻的结点v 之间加入边{v 个不相邻的结点vi,vj之间加入边{vi,vj}，就会破坏图的 平面性，则称G 平面性，则称G是极大平面图。极大平面图的平面表示称 。 为三角剖分平面图. . 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G是极大平 :v阶简单平面图 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G 面图的充要条件是: 面图的 是 （1）G中每个面的度数都是3 中每个面的度数都是3 中有e条边r个面， （2） G中有e条边r个面，则3r=2e （3）设G带有v个顶点，e条边，r个面则 带有v个顶点， 条边， e=3v-6,r=2ve=3v-6,r=2v-4.
指出下图所示平面图的面、 例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。 面的度数。
e1 f1 e 4 4 f4 e5 e2 e3 6 5 f5
3
1
e10 2 e7 f 3 e6 f2 e8 e9 7
其边界1e 解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 其边界1e 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 其边界2e 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 其边界3e 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f 外部面f5, 其边界1e 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
推论1 是非平面图. 推论1知,K5是非平面图. 显然K 没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 因而9>2*6 4,由推论 9>2*6- 由推论2 是非平面图. 因而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 是带v个顶点， 条边， 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面 r=1+w。其中w 的连通分支数。 图，则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。 证明:由欧拉公式有: =2(i=1,2,…,w) 证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2, ,w) 从而有 ∑ vi- ∑ ei+ ∑ ri =2w =r+(w-1)(外部面被重 又∑ vi=v, ∑ ei=e, ∑ ri =r+(w-1)(外部面被重 复计算了w ).所以有 所以有: 复计算了w-1次.).所以有: e+r+(wV-e+r+(w-1)=2w 整理即得: v整理即得: v- e+ r=1+w.
a o
θ
y b
a
x b (b) y
x
(a)
第2 节
库拉图斯基定理与极大平面
定义1 定义1 设G是一个平面图，通过删除G的一条边{x、y},并 增加一个新结点a和两条边{x 、a}与{a、y}（所获得的任 何图也是平面图），这样的操作称为初等细分 初等细分。若可以从 初等细分 相同的图G通过一系列初等细分来获得图G1和G2，称G1和G2 称 是同胚的. 是同胚的. 如下图G1,G2,G3是同胚的.
推论1 是带v个顶点， 推论1 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简 单图，其中v 单图，其中v≥3，则e≤3v-6。 证明:由于G是简单图, 中无环和无平行边. 证明:由于G是简单图,则G中无环和无平行边.因此 的任何面的度数至少为3. 3.故 G的任何面的度数至少为3.故 2e=∑d(f)≥ 2e=∑d(f)≥3r (1) 其中r 的面数. 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2 v+e,代入(1)中有 r=2代入(1)中有: 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e≥3(2 v+e) 2e≥3(2-v+e) 即 e ≤ 3 v -6。
G1
G2
G3
定理1 一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个同 定理1 一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个同 胚于K 的子图。（证略） 。（证略 胚于K3.3或K5的子图。（证略） 例1 说明彼得森图不是平面图。 说明彼得森图不是平面图。 解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而H 删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而 (a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H. 胚于K ,所以皮得森不是平面图. 胚于K3.3a 所以皮得森不是平面图.
证明:必要性: 证明:必要性:因G是简单图,故G中没有环和平行边,故不 是简单图, 中没有环和平行边, 存在度数为1 的面.假设G存在度数大于3的面f, f,不妨 存在度数为1或2的面.假设G存在度数大于3的面f,不妨 为内部面,如下图G,显然v G,显然 不相邻,在面f 设f为内部面,如下图G,显然v1与v3不相邻,在面f内加入 },图 的平面性显然没有改变,这与图G 面{v1,v3},图G的平面性显然没有改变,这与图G是极大平 面图矛盾.因此图G的每个面的度数为3,所以有3r=2e 3,所以有3r=2e且 面图矛盾.因此图G的每个面的度数为3,所以有3r=2e且 e=3v-6,r=2v-4(欧拉公式 欧拉公式) e=3v-6,r=2v-4(欧拉公式) 充分性显然. 充分性显然.
由推论1,只要证明 为一平面图时 即知结论成立. 由推论 只要证明G为一平面图时 即知结论成立 只要证明 为一平面图时,即知结论成立 中存在两条不同的边{a,b}和{x,y}相交于 相交于非端点 反设 G中存在两条不同的边 中存在两条不同的边 和 相交于 如下图(a)所示 其夹角为θ 处o,如下图 所示 其夹角为θ(0< θ <π). 如下图 所示,其夹角为 π 这时如下图(b),显然存在两点距离小于 若θ =π,这时如下图 显然存在两点距离小于 π 这时如下图 显然存在两点距离小于1,与已知 矛盾,从而 从而0< 由于a到 的距离为 的距离为1,x到 的距离为 的距离为1, 矛盾 从而 θ <π.由于 到b的距离为 到y的距离为 π 由于 因此a,b,x,y中至少有两个点 从交点 到这两点的距离不 中至少有两个点,从交点 因此 中至少有两个点 从交点o到这两点的距离不 超过1/2,不妨设为 则点 与x之间的距离小于 不妨设为a,x,则点 则点a与 之间的距离小于 之间的距离小于1,与已知 超过 不妨设为 矛盾,所以 中的边除端点外不再有其它交点,即G为平面 所以G中的边除端点外不再有其它交点 即 为平面 所以 中的边除端点外不再有其它交点 再据推论1知 结论成立 结论成立. 图.再据推论 知,结论成立 再据推论
推论4 推论4
设G是任意平面简单图，则δ(G)≤5。 是任意平面简单图， (G)≤
证明: 证明:设G有v个顶点e条边.若e≤6,结论显然成立; 个顶点e条边. 6,结论显然成立; 结论显然成立 e>6,假设 的每个顶点的度数≥6,则由推论1,有 假设G 则由推论1, 若e>6,假设G的每个顶点的度数≥6,则由推论1,有 2(3v6v ≤2e ≤2(3v-6) 矛盾,所以δ(G)≤ 矛盾,所以δ(G)≤5. 平面上有n个顶点， 例4 平面上有n个顶点，其中任两个点之间的距 离至少为1 证明：在这n个点中距离恰好为1 离至少为1，证明：在这n个点中距离恰好为1的 的点对数至多是3n 3n的点对数至多是3n-6。
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图，其 推论2 是带v个顶点， 条边的连通的平面简单图， 且没有长度为3的圈， 中v≥3且没有长度为3的圈，则e≤2v-4。 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的度数 至少为4.因此有2e= d(f)≥ 4.因此有2e=∑ 至少为4.因此有2e=∑d(f)≥4r (1) 其中r 的面数. 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2 v+e,代入(1)中有 r=2代入(1)中有: 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e≥4(2 v+e) 2e≥4(2-v+e) 即e ≤2 v - 4 。 例3 都是非平面图。 K5和K3.3都是非平面图。 解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由 个顶点10条边, 3*5-6=9,即10>9,由 10条边