第17章平面图与图的着色

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图的平面图与图的着色

图的平面图与图的着色

图的平面图与图的着色在图论中,图是由边和顶点组成的数学结构,用来描述事物之间的联系和关系。

图论是一门重要且广泛应用的数学分支,涉及到许多重要的概念和问题,其中包括图的平面图与图的着色。

一、图的平面图在图论中,平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。

也就是说,图的边不能相交,且在同一个点上,至多只能有两条边相接。

平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。

经过数学家的研究,他们发现了一些重要的结论。

如Euler公式,它是平面图论的基础定理之一。

该定理表明,对于连通的平面图,其顶点数、边数和面数之间存在如下关系:v-e+f=2。

其中v代表顶点数,e代表边数,f代表面数。

除了Euler公式,平面图还有其他一些重要的性质,如四色定理。

四色定理指出,任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色,使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。

二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色,使得相邻的顶点颜色不同。

图的着色问题是图论研究中的一个经典问题,在计算机科学和应用领域有广泛的应用。

在图的着色问题中,有两个重要的概念:色数和色法。

色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目,可以用来衡量图的某种特性。

色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。

图的着色问题是一个NP完全问题,也就是说,对于大规模的图,要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。

因此,人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。

三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。

在地图设计中,平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等,使得地图更加直观和易于理解。

在电路设计中,平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线,从而简化电路的设计和布线。

在时间表安排中,图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动,使得它们之间没有冲突和重叠。

在频谱分配中,图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中,以避免信号之间的干扰。

图论中的平面图与染色问题

图论中的平面图与染色问题

图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支,研究的是图的性质和图之间的关系。

在图论中,平面图与染色问题是重要的研究方向。

一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图,其中任意两条边都不相交,任意两个顶点之间都只有一条边相连。

平面图可以用来描述许多实际问题,如地图、电路等。

在平面图中,有一个重要的定理,即欧拉定理。

欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的,它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。

根据欧拉定理,对于连通的平面图,满足公式:V - E + F = 2,其中V表示顶点数,E表示边数,F表示面数。

二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题,即给定一个图,如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色,使得相邻的顶点之间的颜色不相同。

这是一种常见的应用问题,如地图着色、课程表安排等。

在染色问题中,有一个重要的定理,即四色定理。

四色定理是染色问题中的一个著名定理,它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色,使得相邻的顶点颜色不同。

三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。

通过合理的染色方案,可以将一个平面图的顶点进行染色,满足相邻顶点颜色不同的要求。

同时,染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。

在研究平面图与染色问题时,可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。

平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式,可以把平面图的顶点和边绘制在平面上,形成一种更加直观的图形。

在解决染色问题时,可以借助平面嵌入图的结构和特性,通过一定的算法进行染色。

例如,可以利用贪心算法对顶点进行依次染色,确保相邻顶点染不同的颜色。

四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。

一个典型的例子是地图着色问题。

在地图上,每个国家或地区可以用一个顶点表示,国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。

通过对地图进行染色,可以实现相邻国家或地区的颜色不同,从而更加方便地辨认。

另一个例子是课程表安排问题。

2010-17平面图

2010-17平面图

定理17.16 图G是平面图当且仅当G中没有可以收缩到库 拉托夫斯基图的子图。

第十七章: 第十七章:平面图
第一节: 第一节:平面图的基本概念 第二节:欧拉公式 第二节: 第三节: 第三节:平面图的判断 第四节: 第四节:平面图的对偶图
25
只有平面图才有对偶图。 设G为平面图,则G的对偶图为G*,且G*也为平面图。 求图G的对偶图的方法如下: (1)将图G所有的面Fi(包括无限面)对应于G*的结点fi; (2)对二个相邻的面Fi ,Fj ,即Fi ,Fj之间有公共边e,则在边 fi ,fj之间作一条连线(即形成一条边( fi ,fj ))并与e相 交; (3)若e为G中的桥,且在面Fi的边界上,fi 恰存在一条自回 路与e相交。
35
定理 用5种颜色可以给任何简单连通平面图正常着色。 《定理》:对于有n个结点的完全图Kn,有x(Kn)=n。 证明: ∵在完全图中,每一个结点与其他结点相邻接 ∴n个结点的着色数不能小于n 又∵n个结点的着色数最少为n ∴有x(Kn)=n成立 (注意:当时n≤4, Kn为平面图,n≥5,则为Kn非平面图)
21
定义 k3,3和k5称为库拉托夫斯基图。
给定两个图,我们做以下的工作: 给定两个图 我们做以下的工作: 我们做以下的工作 观察次数为2的结点: 观察次数为 的结点: 的结点 (1) 在左边图的中间联线上插入一个次数为 的结 1 在左边图的中间联线上插入一个次数为2的结 则把一条边分成了二条边; 点,则把一条边分成了二条边; (2) 在右边图中去掉一个次数为 的结点,则把二 2 在右边图中去掉一个次数为2的结点 的结点, 条边变成一条边。 条边变成一条边。 此二项工作不会改变平面图的性质。 此二项工作不会改变平面图的性质。

第17章桥隧涵工程图

第17章桥隧涵工程图

根 长




柱全




1号
Ⅱ -Ⅱ


6

2号

1:60





1.本











(


(cm)为



将构件化整为零,分别对各个构件独立进行配筋, 平

2.主

N5和
N1、
N2接





素砼段
3.图





N4、
N5在



施工时,再采用集零为整,将所有构件的钢筋配置好后, 焊

土木工程制图—桥隧涵工程图 制作:姚晓琴、林国华
(2)桩基一般构造图
防震挡块
H外
半立面 半平面
5×5
支座支承线
桥墩混凝土数量表 (单位:m )
盖梁(棱柱体) 方向 墩号 墩帽

系梁

H内
九峰

富岭
墩桥 中 身(圆柱体)
富岭 至

九峰
线
全桥合计
系梁(H1 长方体)
桩身(圆柱体)
说明: 1.盖梁构造见另图。 2.图中尺寸除注明外余均以厘米(cm)为单位。 3.图中比例 1:100。
说明: 1.本图尺寸均以厘米(cm)为单位,标高以米(m)为单位。 2. 本桥位于平曲线的主曲线内,R=1300m。 3. 钻孔灌注桩单桩容许承载力桥墩应大于 2840kN, 桥台应大于 1920kN。 4. 图中比例 1:300。

17平面图及图的着色

17平面图及图的着色

17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上,即除顶点处外无边相交,则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面,则称G是可平面图或平面图。

画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。

无平面嵌入的图称为非平面图。

K1(平凡图),K2,K3,K4都是平面图,其中,K1,K2,K3本身就已经是平面嵌入,K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。

K5-e (K5删除任意一条边)也是平面图,它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图,其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入,K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。

图17.1中(1),(2),(3)分别为K4, K5-e, K2,3的标准画法。

请观看演示动画:(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图,有时是指平面嵌入,有时则不是,这要看是研究平面图什么性质而定,请读者根据上下文加以区分。

当然有时也特别指出平面嵌入。

现在就应该指出,在研究平面图理论中居重要地位的两个图,这就是完全图K5和完全二部图K3,3,它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。

还有两个非常显然的事实,用下面定理给出。

定理17.1若图G是平面图,则G的任何子图都是平面图。

由定理17.1立刻可知,K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。

定理17.2若图G是非平面图,则G的任何母图也都是非平面图。

推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。

n本推论由K5,K3,3不是平面图及定理17.2得证。

还有一个明显的事实也用定理给出。

定理17.3设G是平面图,则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。

本定理说明平行边和环不影响图的平面性,因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。

二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入),由G的边将G所在的平面划分成若干个区域,每个区域都称为G的一个面。

离散数学中的图的平面图与平面图的着色

离散数学中的图的平面图与平面图的着色

图是离散数学中的重要概念,而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。

平面图是指在平面上绘制的图形,使得图中的边不会相交。

平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色,且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。

他发现,如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的,那么这个图是一个平面图。

欧拉还引入了一个重要的公式,即欧拉定理,它描述了平面图中的顶点、边和面的关系:V - E + F = 2,其中V代表顶点数,E代表边数,F代表面数。

对于平面图的着色问题,四色定理是一个非常重要的结果。

四色定理指出,任何一个平面图,在不考虑多重边和自环的情况下,最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色,使得相邻的顶点不会有相同的颜色。

这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明,被认为是图论史上的一大突破。

对于平面图的着色,有一种特殊的染色方法叫做四色标号。

四色标号是指对于任意一个平面图,都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数,使得相邻的顶点之间的差值不超过3。

这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色,同时最多只需要使用四种颜色。

平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用,同时在现实生活中也有很多实际的应用。

比如,考虑地图上的城市,如果我们希望将城市标记成不同的颜色,以表示它们的关系,那么可以利用平面图的着色来实现。

另外,平面图的着色还有很多其他的实际应用,比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。

总之,离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。

平面图是指在平面上绘制的图形,使得边不会相交;平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色,且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

四色定理是平面图着色的重要结果,它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。

平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用,是离散数学中的一个重要研究领域。

平面图

平面图

17.4 平面图的对偶图
实线边图为平面图,虚线边图为其对偶图。
17.4 平面图的对偶图
从定义不难看出G的对偶图G*有以下性质: G*是平面图,而且是平面嵌入。 G*是连通图。 若边 e 为 G中的环,则 G*与 e对应的边 e* 为桥,若 e 为桥, 则G*中与e对应的边e*为环。 在多数情况下,G*为多重图(含平行边的图)。
i 1 i 1 k k
(17.1)
由于每个Gi 有一个外部面,而G只有一个外部面,所以G的面数 k r ri k 1
i 1
于是,对(17.1)的两边同时求和得
2k (ni mi ri ) ni mi ri n m r k 1
17.3 平面图的判断
例17.1 证明彼得松图不是平面图。
证 明
将彼得松图顶点标顺序,见图 (1)所示。 在图中将边(a,f), (b,g), (c,h), (d,i), (e,j)收缩,
所得图为图 (2)所示,它是K5,
由定理17.1彼得松图,令 G'=G-{(j,g),(c,d)} G‘如图 (3)所示,易知它与K3,3同胚, 由定理17.15可知,G为非平面图。
17.4 平面图的对偶图
一、对偶图的定义 定义17.6 设G是某平面图的某个平面嵌入,构造G的对偶图 G*如下: 在G的面Ri中放置G*的顶点vi* 。
设e为G的任意一条边,
若 e 在 G 的面 Ri 与 Rj 的公共边界上,做 G* 的边 e* 与 e 相交, 且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点vi*与vj*,即e*=(vi*,vj*) ,e*不与其它任何边相交。 若e为G中的桥且在面Ri的边界上,则e*是以Ri中G*的顶点 vi*为端点的环,即e*=(vi*,vi*)。

第十七章 平面图及图的着色

第十七章 平面图及图的着色

注意观察K5与K3,3的特点!
K5 的特点每三个点构成一个面! 而K3,3每四个点构成一个面
4.库拉托斯基定理判别法
定义
如果两个图G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删
除度为2的结点,它们能变成同构的图,则称G1 和G2 在度为2的结
点内同构(同胚)。
K3,3与K5称为库拉托夫斯基(Kuratowski)图, 它们有
例5
利用定理判别图G是否非平面图。
解法一与 K3,3同胚
图G 去掉图G中边:{a,c},{a,d},{d,e},{b,e},与 K3,3同胚
可以去边吗?
边少时非平面图,边多时更不是平面图
解法二 去掉图中边{d,f}和{e,g},为K5
练习
1.用简单、直观判别法判断下图所给出的两个图a,b是否平面图。
3. 欧拉公式判断法
定义设G是一个连通平面图,G的边将G所在的平面划分成若干个区
面积有限的区域称为有限面。包围每个面的所有边构成的回路称为 面的边界。它的长度称为面的度(次数)(degree)。
域,每一个区域称为G的一个面。其中面积无限的区域称为无限面。
例3
定理 一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍. 证明:因为任何一条边,或者是二个面的公共边,或者在 一个面中作为边界被重复计算两次,故面的次数之和等于 其边数的两倍。 如右图中,
若v1 和v3 同属于一个G(RY)的连通分支,那么从v1到v3 必有一 条通路,其各顶点被红、黄两色相间着色。这条通路连同v0便构 成回路: C:v0, v1,…, v3, v0,
C把BW分成两部分,一部分在回路C之外,一部分在C之内。 于是,BW生成的G的子图也被分成了两个互不连通的部分,一 部分在C外,一部分在C内,这就使v2,v4 处于BW生成的G的子 图的两个不同连通分支,同上将v2所在分支作颜色对换,以便给 v0着上白色,完成对G的5-着色。
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a b c d e
g1
g2 (1)
g3
集合与图论
1.18
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李东 副教授
用g1,g2,g3分别表示数学组,物 理组和化学组,则第2种情况(a是数学
组成员,b,c,d是物理组成员,b,c,d,e是 化学组成员)对应的二部图为:
a b c d e
g1
g2
g3
(2)
集合与图论
1.19
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集合与图论
1.6
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二部图
又因为二部图中任何一条边 的两个顶点分属于两个不相交的顶 点集,所以二部图中若存在简单回 路,此回路必是初级回路。
若二部图G中不存在回路,则结论成立。
即一个无向图G=<V,E>是二部图 时,图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.7 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
下面要证明充分性: 即已知G=<V,E>中不存在长度为奇数的 初级回路,要证明G为二部图。
集合与图论
1.9
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若G为零图,则结论成立. 若G =<V,E>为连通图,则假设 v0∈V.令: V1={v|v∈V∧d(v0,v)为偶数}, V2={v|v∈V∧d(v0,v)为奇数}。
a4
集合与图论
1.2
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二部图
定义
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V分 成两个互不相交的子集V1和V2,使得G中 的任何一条边的两个端点一个属于V1,另 一个属于V2,则称G为二部图(或偶图)
称V1和V2为互补顶点子集。
二部图常记为G=<V1,V2,E>.
集合与图论
集合与图论
1.15
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二部图的应用
某中学有3个课外活动小组:数学组,物理 组和化学组。现有a,b,c,d,e五名学生。已知: 1.a,b是数学组成员,a,c,d是物理组成员, c,d,e是化学组成员。
2.a是数学组成员,b,c,d是物理组成员, b,c,d,e是化学组成员。
g2 d
g3
e
g1
g2
g3
(1) a b c
(2)
g1
g2 (3)
g3
可见只有(3)选不 出不兼职的组长。
集合与图论
1.21
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第十七章 平面图
17.1 平面图的基本概念 17.2 欧拉公式
集合与图论
1.22
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17. 1
平面图的基本概念
定义17.1
一个图G如果能以这样的方式画 在曲面S上,即除顶点处外没有边相 交,则称G可嵌入曲面S. 若G可嵌入平面,则称G是可平 面图或平面图。
画出的无边相交的图被称为G 的平面嵌入.
集合与图论 1.23 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
平面图
定义
一个图G如果能以这样的方式画 在平面上:除顶点处外没有边交叉出 现,则称G为平面图。 画出没有边交叉出现的图称为 G的一个平面嵌入或平面表示。
定理17.8 的证明:
对边数m作归纳法。 当m=0时,由于G是连通图,所以G必 是孤立点,因而,n=1,r=1(G只有一个面 :外部面) 。
则:n-m+r=1-0+1=2。
设m=k-1(k>0)时,定理成立。 下面要证明m=k(k>0)时,定理也成立。
集合与图论 1.35 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
一种特殊的图
二部图
集合与图论
1.1
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二部图
引子
在实际生活中,常常要描述两组不同 对象之间的关系。例如,将一组任务分配 给一组工人,一个乒乓球队的队员将分别 参加不同的国际比赛,等等。
描述这种情况的图通常是这样的:
b1 a1 a2 a3
b2 b3
b4 b5 b6
定义17.3
设G是一个简单平面图,如果G中的 任意不相邻的顶点间再增加一条边,所得 图为非平面图,则称G是极大平面图。
集合与图论
1.31
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17. 1
平面图的基本概念
极大平面图具有以下性质: 定理17.5 极大平面图是连通的。 定理17.6 设G为n (n≥3)阶极大平面图, 则G中不可能存在割点和桥。
1.3
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二部图
定义
对于二部图G=<V1,V2,E>,若V1 中任一顶点与V2中任一顶点有且仅有 一条边相连,则称其为完全二部图。
设|V1|=m,|V2|=n,则完全二部图记为Km,n. 在完全二部图Km,n中,总的顶点数为 m+n,总的边数为m*n.
集合与图论
1.4
定理17.7 设G为n (n≥3)阶简单连通的平 面图,G为极大平面图当且仅当G的每 个面的次数都是3。
集合与图论
1.32
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17. 1
平面图的基本概念
定义17.4
设G是一个非平面图,如果在G中 的任意删除一条边后,所得图为平面图 ,则称G是极小非平面图。
K5和K3,3是极小非平面图。
集合与图论
1.11
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同理可证: V2中的顶点不相邻。 所以, G为二部图。
集合与图论
1.12
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二部图
例,判断下列各
(3)
(4)
集合与图论
(5)
1.13 哈尔滨工业大学软件学院
(6)
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二部图。
Kn(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是 平面图。
集合与图论
1.26
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17. 1
平面图的基本概念
定理17.2
若图G是非平面图,则G的任何 母图都是非平面图.
推论:
Kn(n≥5)和K3,n(n≥3) 都是非平面图。
集合与图论
1.27
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二部图。
(1) (2) (3)
二部图。
二部图。
(4)
集合与图论
(5)
1.14
(6)
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在二部图中,常将V1和V2看成不同 性质的两组事物。例如V1可以看成是 人的集合,而V2可以看成是任务的集 合,则由V1和V2组成的某个二部图就 表示“人员---任务”的分配方案图。
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K3,3
K2,3
请画出K4,3,K3,4.
集合与图论
1.5
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二部图
定理
一个无向图G=<V,E>是二部图当
且仅当G中无奇数长度的回路。
证明: 先证必要性。
因为二部图中任何两个顶点之间至 多只有一条边,所以二部图中若存在回 路,此回路必是简单回路。
集合与图论
1.39
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17. 2
欧拉公式
定理17. 10
设G=<V,E>为任意的连通的平面图,且 每个面的次数至少为L(L≥3),则:
l m (n 2) l 2
其中|V|=n,|E|=m.
集合与图论
1.40
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定理17.10的推论 5阶完全无向图K5和完全二部图K3,3 都不是平面图。
若二部图G中存在初级回路C, 则C必为:
C=v11v21….v2kv11, k≥2.
假设v1i∈V1,v2i∈V2, V1∩V2=Φ.
又因为C的端点都是v11. 所以C是长度为偶数的回路. 即一个无向图G=<V,E>是二部图 时,图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.8 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
1.41
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证明: K5的顶点数n=5,边数m=10.若K5是平面 图,则由由欧拉公式n-m+r=2可知,它有 7个面, 再由欧拉公式(定理17.8)可知,它的每 个面的次数至少是3。 由定理17.10可知:
3 10 (5 2) 9 3 2
这是个矛盾,所以K5不是平面图。
集合与图论
1.33
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17. 2
欧拉公式
定理17.8
设G=<V,E>为任意的连通的平面图, 则: n-m+r=2 其中 |V| = n, |E| = m, r 为 G 的面数。
这就是著名的欧拉公式
集合与图论
1.34
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17. 2
欧拉公式
17. 1
平面图的基本概念
定理17.3
设图G是平面图,则在G中加平 行边或环后所得到的图还是平面图.
这说明:
一个图是否是平面图,与其是否有环或 平行边无关。
集合与图论
1.28
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17. 1
定义17.2
平面图的基本概念
设G是一个平面图,G的边将所在平面划分 成若干个区域,每个区域称为G的一个面R。 其中面积无限的区域称为无限面或外部 面,面积有限的区域称为内部面或有限面。 外部面常记作R0.内部面记为R1,R2,…. 包围每个面的所有边构成的回路称为该 面的边界。边界的长度称为该面的次数, 记作deg(R)。
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