离散数学平面图及图的着色29页PPT
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离散数学 图
陕西师范大学计算机科学学院
10.7 树及其应用 教学内容：树，树叶，分支点，生成树，
最小生成树，Kruskal算法， Prim算法，根树，有序树， 二叉树，树的遍历， 最优二叉树， Haffman算法
陕西师范大学计算机科学学院
10.9 最短路径 教学内容：最短路径，Dijks位于普雷格尔（Pregel）河的两岸，河中有
一个岛，于是城市被这条河、它的分支和岛分成了
四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。该城的居
民喜欢在周日绕城散步。于是就产生了这样一个问
题：能不能设计一条散步的路线，使得一个人从家
里（或从四部分陆地任一块）出发，经过每座桥恰
好一次再回到家里？这就是有名的哥尼斯堡七桥问
题。
陕西师范大学计算机科学学院
哥尼斯堡七桥问题看起来并不复杂，因
此立刻吸引许多人的注意，但是实际上很难
解决。
瑞士数学家欧拉注意到了这个问题，并
在1736年写的有关“哥尼斯堡七桥问题”
的论文中解决了这个问题。这篇论文被公认
为是图论历史上的第一篇论文，欧拉也因此
被誉为图论之父。
陕西师范大学计算机科学学院
简单（回）路，基本（回）路， 连通图，连通分支，点（边）割集， 割（边），强（单向，弱）连通图， 强（单向，弱）分图
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10.4 欧拉图与哈密顿图 教学内容：欧拉（回）路，欧拉图，
哈密顿（回）路，哈密顿图
陕西师范大学计算机科学学院
10.6 平面图 教学内容：平面图，面，边界，欧拉公式
1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
陕西师范大学计算机科学学院
第三阶段是1936年以后。由于生产管 理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等 方面的大量问题的出现，大大促进了图论的 发展。特别是计算机的大量应用，使大规模 问题的求解成为可能。
10.7 树及其应用 教学内容：树，树叶，分支点，生成树，
最小生成树，Kruskal算法， Prim算法，根树，有序树， 二叉树，树的遍历， 最优二叉树， Haffman算法
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10.9 最短路径 教学内容：最短路径，Dijks位于普雷格尔（Pregel）河的两岸，河中有
一个岛，于是城市被这条河、它的分支和岛分成了
四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。该城的居
民喜欢在周日绕城散步。于是就产生了这样一个问
题：能不能设计一条散步的路线，使得一个人从家
里（或从四部分陆地任一块）出发，经过每座桥恰
好一次再回到家里？这就是有名的哥尼斯堡七桥问
题。
陕西师范大学计算机科学学院
哥尼斯堡七桥问题看起来并不复杂，因
此立刻吸引许多人的注意，但是实际上很难
解决。
瑞士数学家欧拉注意到了这个问题，并
在1736年写的有关“哥尼斯堡七桥问题”
的论文中解决了这个问题。这篇论文被公认
为是图论历史上的第一篇论文，欧拉也因此
被誉为图论之父。
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简单（回）路，基本（回）路， 连通图，连通分支，点（边）割集， 割（边），强（单向，弱）连通图， 强（单向，弱）分图
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10.4 欧拉图与哈密顿图 教学内容：欧拉（回）路，欧拉图，
哈密顿（回）路，哈密顿图
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10.6 平面图 教学内容：平面图，面，边界，欧拉公式
1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
陕西师范大学计算机科学学院
第三阶段是1936年以后。由于生产管 理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等 方面的大量问题的出现，大大促进了图论的 发展。特别是计算机的大量应用，使大规模 问题的求解成为可能。
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
离散数学平面图课件ppt
i 1
i 1
i 1
i 1
经整理得 n-m+r = k+1。
2、 与欧拉公式有关的定理
定理17.8 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为 l(l3)，则 G的边数与顶点数有如下关系：
m l (n 2) l2
证明
由定理17.3（面的次数之和等于边数的2倍）及欧拉公式得
r
2m deg(Ri ) l r l(2 m n)
由于n3, 又G必为简单平面图，可知，G每个面的次数均3。
因为G为平面图，又为极大平面图。可证G不可能存在次数>3 的面。
假设存在面Ri的次数deg(Ri)=s≥4， 如图所示。
s
S-1
在G中，若v1与v3不相邻，在Ri内加边(v1,v3)不破坏平面性，这 与G是极大平面图矛盾，因而v1与v3必相邻，由于Ri的存在， 边(v1,v3)必在Ri外。
Microsoft Office PowerPoint，是微 软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪 或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿 打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛 的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可 以在互联网上召开面对面会议、远程会议或 在网上给观众展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西 叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx ；或者也可以保存为：pdf、图片格式等
(u,v)，称为在G中消去2度顶点w。
2、图之间的同胚 若两个图G1与G2同构，或通过反复插入或消去2度顶点后
是同构的，则称G1与G2是同胚的。
上面两个图分别与K3,3, K5同胚 。
离散数学 第四章平面图与图【完全免费,强烈推荐】.ppt
定理4.6.6
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学及应用PPT课件
28.04.2020
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
离散数学--6.5 平面图
例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6 证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
《离散数学平面》课件
2 图的连通性和路径
了解图的基本概念，学习图的节点、边和 路径的定义。
研究图的连通性，探索不同类型的路径和 它们的应用。
3 图的欧拉性质和哈密顿性质
4 平面图和Euler公式
深入了解图的欧拉性质和哈密顿性质，并 学习如何应用它们。
介绍平面图的概念和Euler公式的推导与 应用。
代数结构
1
代数系统的定义
学习代数系统的定义、基本运算和性
群、环、域等代数结构
2
质。
深入研究群、环、域等典型代数结构
的定义和性质。
3
同态和同构
探索同态和同构在代数结构中的作用 和应用。
离散数学的应用
计算机科学和信息技术中的应用
了解离散数学在计算机科学和信息技术领域 中的实际应用。
编码理论和数据压缩
深入探索离散数学在编码理论和数据压缩中 的应用。
《离散数学平面》PPT课件
深入学习离散数学平面，掌握重要概念。本课件包含引言、平面几何、图形 理论、代数结构和离散数学应用等内容。
引言
离散数学的重要性
了解为什么离散数学在计 算机科学和信息技术中如 此重要。
离散数学平面介绍
介绍离散数学平面的基本 概念和特点。
PPT课件概述
简要概述本PPT课件的内 容和结构。
感谢您观看本离散数学平面 PPT课件。
数据加密和解密
学习离散数学在数据加密和解密中的关键角 色。
离散数学在科学和工程中的应用
了解离散数学在科学和工程领域中的广泛应 用。
总结
回顾离散数学平面的知 识点
总结离散数学平面课件中的重 要知识点和要点。
强调离散数学在实际中 的应用
重点强调离散数学在实际情境 中的广泛实际应用。