16树17平面图及图着色
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图着色下的树顶点邻集的行为
注意 到 ， ． 厂是 ， ３的一个 Ｏ 全 等着 色 ．图 ｌｂ Ｔ （）中 的树 承认 一 个优 化全 着 色 ｇ 使 得 ， ｃ （） （） ［ ６． １ｃ ＝ ＝ １ ］ 图 （）中树 日 的着色 则包 含 了更多 的信 息．首先 ，树 日 承 认 一个 ，
（；，） １１２ 饱和全着色 ｈ ５＝ 。） ２ｖ ＝［６． ， ］ （ ≠ｃ （） １ ］接下来， ｈ满足 （） （） ， ≠ 对不
摘要：图着色下 的树顶点邻集的行为展示 了有趣的问题 ． 该文证 明了树顶点邻集的行为对一些 图全着色有着非常强的性质，或多 或少地 揭示了树顶点邻集 的行为与着色 猜想的一些关系． 作 者期望应用这种邻集的行 为去深刻地研 究图着色 问题 ．
关键词：图着色 ；可区分着 色；树．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ １主题分类： ５ １ 中图分类号： １． 文献标识码： ０Ｃ ５ ０２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １） —６ ０ ０３３９ （ １０ ５ ￣１ ０ ２
１ 引言和术语
确定 图的着色 数是 ＮＰ困难 问题 ［１】在 图的全 着色 中， 够看到 一个现象 ： ， ６１ ，． 能 设 是图 Ｇ 的一个正常全着色， 对每一个顶点 ∈ （ ）总有 ｌ （ ） Ｕ Ｇ， ｛ ｕ ：Ｖ∈Ｅ Ｇ ） ｛ （）ｌ ａ ｕ＋１ ｆ ｖ （ ）ｕ ，札）＝ｄ （） ， 其 中 ｄ （） 示顶 点 ｔ的度数 ．因而 ，我 们称 ，为 图 Ｇ 的一个度 饱和 全着 色 ．那 么，对 于 ａｕ 表 ｔ 其他的图着色我们能够发现相似于上述现象的性质，且它们与着色之间存在何种关系 ？ 换 句话说， 我们期望认识那些 由许多个体 （ 顶点） 组成的庞大而复杂的系统 （ ． 图）这种思路早 已 被应用于图论的各种着色研究和 网络结构分析 ［ １１１２ ． ９ ０ ３８０ － ，，，］ 本文论及的图均为简单、连通、有限图，且采用标准的图论术语和记号 ［ ３ 除特别声 ２］ －． 明外 ，文 中出现 的集合 均为 非负整 数集合 ．为简便 起见 ，记 号 ［ｔ ］ ？， 表示整 数 集合 ｛ ｍ ＋ Ｔｎ ｍ， １… ，｝其 中 礼＞ｍ ０ 集合 ｓ的基 数为 ＝ 后 我 们也称 为 ｋ集 ．集 合 ｓ 的最 大和 ， ｎ， ． ， 最 小 者分别 记 为 ｍａ（ ） ｍｉ（） 个具 有 Ｐ个 顶 点和 ｑ条边 的 图 Ｇ 叫做 （，）图，记 ｘＳ 和 ｎＳ ．一 Ｐｑ Ｐ＝『 ａ ｌ Ｐ ｌ１在一个图 Ｇ 中，我们把一度顶点叫做叶子，所有度数为 ｄ的顶点集 ｖ（ ）或 ＝ Ｇ ． 合 记为 （ ． 而 ，图 Ｇ 中度 数为 ｄ的顶 点 的个 数 为 ｎ （ ＝ ｆｄＧ） Ｇ）从 ｄＧ） ｖ（ １ ． 定义 １ 图 Ｇ的一个正常 ｋ 着色 ．是将集合 ｓ ｖ ａ ｕ ａ 划分为 ｋ 厂 （ ） ） Ｅ（ 个相互不交的 非 空子集 ｓ ，ｚ… ， ， １ｓ ， 使得 每一 个子 集 中的任何 两个 元 素在 图 Ｇ 中既不相 邻 ，也 不关 联 ．对 ∈ ， 称 着 有色 ｉ记 作 ｆｘ ＝ ｉ 使 得 图 Ｇ 承 认正 常 ｋ着 色 的最小 的 叫做 Ｇ ， （） ． 的ｅ 着色数，记为 ）（ ） 简记 ｆＳ ＝｛ （） ∈ｓ ， ＝ｍ ｘｆＳ）或 ＝ｍａ（） （Ｇ ． （） ， ： ） ａ（（ ） ， ｘｆ．
（；，） １１２ 饱和全着色 ｈ ５＝ 。） ２ｖ ＝［６． ， ］ （ ≠ｃ （） １ ］接下来， ｈ满足 （） （） ， ≠ 对不
摘要：图着色下 的树顶点邻集的行为展示 了有趣的问题 ． 该文证 明了树顶点邻集的行为对一些 图全着色有着非常强的性质，或多 或少地 揭示了树顶点邻集 的行为与着色 猜想的一些关系． 作 者期望应用这种邻集的行 为去深刻地研 究图着色 问题 ．
关键词：图着色 ；可区分着 色；树．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ １主题分类： ５ １ 中图分类号： １． 文献标识码： ０Ｃ ５ ０２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １） —６ ０ ０３３９ （ １０ ５ ￣１ ０ ２
１ 引言和术语
确定 图的着色 数是 ＮＰ困难 问题 ［１】在 图的全 着色 中， 够看到 一个现象 ： ， ６１ ，． 能 设 是图 Ｇ 的一个正常全着色， 对每一个顶点 ∈ （ ）总有 ｌ （ ） Ｕ Ｇ， ｛ ｕ ：Ｖ∈Ｅ Ｇ ） ｛ （）ｌ ａ ｕ＋１ ｆ ｖ （ ）ｕ ，札）＝ｄ （） ， 其 中 ｄ （） 示顶 点 ｔ的度数 ．因而 ，我 们称 ，为 图 Ｇ 的一个度 饱和 全着 色 ．那 么，对 于 ａｕ 表 ｔ 其他的图着色我们能够发现相似于上述现象的性质，且它们与着色之间存在何种关系 ？ 换 句话说， 我们期望认识那些 由许多个体 （ 顶点） 组成的庞大而复杂的系统 （ ． 图）这种思路早 已 被应用于图论的各种着色研究和 网络结构分析 ［ １１１２ ． ９ ０ ３８０ － ，，，］ 本文论及的图均为简单、连通、有限图，且采用标准的图论术语和记号 ［ ３ 除特别声 ２］ －． 明外 ，文 中出现 的集合 均为 非负整 数集合 ．为简便 起见 ，记 号 ［ｔ ］ ？， 表示整 数 集合 ｛ ｍ ＋ Ｔｎ ｍ， １… ，｝其 中 礼＞ｍ ０ 集合 ｓ的基 数为 ＝ 后 我 们也称 为 ｋ集 ．集 合 ｓ 的最 大和 ， ｎ， ． ， 最 小 者分别 记 为 ｍａ（ ） ｍｉ（） 个具 有 Ｐ个 顶 点和 ｑ条边 的 图 Ｇ 叫做 （，）图，记 ｘＳ 和 ｎＳ ．一 Ｐｑ Ｐ＝『 ａ ｌ Ｐ ｌ１在一个图 Ｇ 中，我们把一度顶点叫做叶子，所有度数为 ｄ的顶点集 ｖ（ ）或 ＝ Ｇ ． 合 记为 （ ． 而 ，图 Ｇ 中度 数为 ｄ的顶 点 的个 数 为 ｎ （ ＝ ｆｄＧ） Ｇ）从 ｄＧ） ｖ（ １ ． 定义 １ 图 Ｇ的一个正常 ｋ 着色 ．是将集合 ｓ ｖ ａ ｕ ａ 划分为 ｋ 厂 （ ） ） Ｅ（ 个相互不交的 非 空子集 ｓ ，ｚ… ， ， １ｓ ， 使得 每一 个子 集 中的任何 两个 元 素在 图 Ｇ 中既不相 邻 ，也 不关 联 ．对 ∈ ， 称 着 有色 ｉ记 作 ｆｘ ＝ ｉ 使 得 图 Ｇ 承 认正 常 ｋ着 色 的最小 的 叫做 Ｇ ， （） ． 的ｅ 着色数，记为 ）（ ） 简记 ｆＳ ＝｛ （） ∈ｓ ， ＝ｍ ｘｆＳ）或 ＝ｍａ（） （Ｇ ． （） ， ： ） ａ（（ ） ， ｘｆ．
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
园林表现技法
将近处植物的暗部用深绿色马克笔着色， 并将灌木、花草和后面针叶树的大色铺上
绘制近处的建筑、景观构筑物，详细表现 景观的材料质感
水系统着色、配景着色
整体调整
实例赏析
作业
第四节 景观效果图
两 点 透 视
三点透视（鸟瞰图）
三点透视又称“斜角透视”，是指 立方体的三条主向轮廓线均与画面 成一角度，这样三组线在画面上就 形成了三个灭点。 在两点透视的基础上，所有垂直于 地平线的纵线的延伸线都聚集在一 起，形成第三个灭点，这种透视关 系就是三点透视。
白玉兰
七叶树
第二节 景观植物的立面表现技法
一、树木整体的表现
树干 树冠 枝条
叶片 光影、明暗
树木光影的表现
利用线条或色彩区分明暗界面
不同质感植物的画法
二、乔木的立面表现方法
乔木的立面就是乔木的正立面或者侧立面投影，表现方法也分 为轮廓型、枝干型、枝叶型等三种类型。
整株枝条的画法
线条或者圆点表现枝叶的质感。
尤其要注意针叶树与阔叶树图例的区分
针叶树图例示例
阔叶树图例示例Leabharlann 常绿阔叶乔木 的平面表现方法
落叶阔叶乔木 的平面表现方法
二、灌木丛、 树林的
平面表现方法
三、其它
绿篱 花篱 花丛 花架 竹丛
草坪
地被
花坛
植物平面图表示
植被彩色图示表达
棕榈
一品红
瑞香
园林表现技法
第一节 景观植物的平面表现技法
一、乔木的平面表现方法
乔木的平面图就是树木树冠和树干的平面投影。 从表现方法上，常用的有轮廓型、枝干型、枝叶型。 轮廓型：确定种植点，绘制树木的平面投影的轮廓，可以是圆，也
二：平面图、对偶和作色、树和生成树
一个平面图，一定可以用四种颜色进行着色，
使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、着色
图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定一 种颜色，使得没有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图G在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。最小着色数用x(G)表示。 虽然目前还没有一个简单的方法，可以确定任一图G是n-色的。 但我们可以用韦尔奇鲍威尔(Welch Powell)对图G着色： a) 将图G中的结点按照度数的递减次序进行排列（这种排列可能 并不是唯一的，因为有些点有相同度数）；
3×5－6＝9＜10
K5
K3,3 推论： 如果图Ｇ＝<Ｖ,Ｅ>是连通的简单平面图，若v ≥ 3，
且每个区域至少由四条边围成，则有ｅ≤２v－４。
作业Ｐ317 (1) (2) (4)
7－6
对偶与着色
这个问题最早起源于地图着色，一个地图中相邻两个国家
以不同的颜色，那么最少需用多少种？
一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出用四种猜想即可对地 图进行着色的猜想，1879年肯普(Kempe)给出该猜想的第一个证 明，但到了1890年希伍德(Hewood)发现肯普的证明是错误的，指
1 4
3
5
2 带权树 2
6
三、最小生成树
定义：在图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树， 称作最小生成树。 最小生成树的生成算法： (1)避回路法 (2)破圈法 作业Ｐ327 (3) (6)
deg(v ) 2e
i 1 i
v
故2e ≥6v，所以e ≥3v>3v-6，与ｅ≤3v-6矛盾。 定理3 任意平面图G最多是5-色的。
7-7
一、树
树与生成树
定义： 一个连通且无回路的无向图称为树。树中度数为1
代数结构-树
384
(1，2，5，6) (8，3，4，3)
6
7
离散数学 中国地质大学 计算机学院
18
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
384 7
(1，2，5，6，3) (8，3，4，3，8)
离散数学 中国地质大学 计算机学院
19
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
w(e1)<=w(e1’)，从而w(T1)<=w(T*)。 依此进行，可以将ek加入到Tk-1中，将形成环，此环中必然然存在边ek’在T*中而不在T中，于是，删除ek’， 则得到生成树Tk。而显然，两边序列e1e2e3…ek 与 e1e2e3…ek’均不构成环，而按kruskal算法，必然有 w(ek)<=w(ek’)， 从而 w(Tk)<= w(Tk-1)<=w(T*) ……， 最后可以将em加入到Tm-1中，得到生成树Tm，且w(Tm)<=…<=w(Tk)<= w(Tk-1)<=… <=w(T1)<=w(T*)。 而此时， T所有边都加入到Tm中，即Tm=T。故w(T)<=w(T*) 因此，T为最小生成树。
(3，2，2，3，4，1)
S:(5，6，7，2，3，4)
5
1
32 6
4
8
7
因此，序列集合{t1,t2,…,tn}与Kn的生成树集合存在双射关系。
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29
2 生成树(Spanning Tree) 最小生成树(minimum spanning tree)
算法？ Kruskal算法
《图论》图的着色(课堂PPT)
PK3(3) = 6
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
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6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
给地图着色--一种行之有效的树图法
３ 种 （ 余 ２ ， 为 口６ Ⅱ 还 种 设 、）
…
Ｂ
・ ・
ｌ ……同 Ｂ
， … …
・
ｂ Βιβλιοθήκη ｎ Ａ ｂ …
６ … …口
Ｉ … Ｂ …
， … …
３ 种
’
．
…
Ｂ
．
共有 ５ ４ （＋２ × ×３ ３
６
＋２ ：４ ０种 ） ２
口 … …Ａ
ｉ Ｉ
… …
３ 种
’
意 解方与巧 题 法 技
给地 图着 色—— 一种 行之 有 效 的树 图法
广西横 县第二 高级 中学（ ３ ３ ０ 周济 红 ５００ ）
有 四种不同的颜色可以给一 张地 图着色 ， 并且使 得任何两个相邻 的区域颜色不相 同， 这就是古代数学
的 一个 重 要 成 果 ， 明 给 不 同 的 区域 着 色 ， 一 个 历 说 是 分步 ： 着色 ： 一 ① 二 ②
ｒ ● ● ● （ 、 ● ｌ
以选择使用 ， 则不同的染色方法总数为
解： 画树 图如 下 ： 分步 ： ① ② ③
Ｅ Ｂ
种．
口 ６
图 ｌ
着色 ： Ｂ Ｃ Ａ 种 数 ： ４ ３ ５
着色 ： Ｂ Ｃ Ｄ Ａ
，… …
“
种 数 ： ４ ３ 同 Ａ … …ｂ ５
Ｅ
（） 区域 ３和 ５同 色 ， Ｃ 种 ， 域 ２和 ４同 ２若 有 ｊ 区
色共有 ａ 种 ， 则区域 １可在余下 的 ２种颜色 中任选 种， 有 种 ， 种 选 法共 有 Ｃ ａ ＝２ ． 此 ｛ ４种
一
综 上 所 述 ， 知 不 同 的着 色 方 法有 ７ 种 ． 可 ２ 【 ３ 将 一 个 四棱 锥 的 每 一 个 顶 点 染 上 一 种 例 】 ④ Ｄ 同 颜 色， 并使 同一条棱的两端 异色 ， 只有五种颜 色可 若 Ａ
23趣味的图论问题(2)
u1 u2 u3 v1 v2 v3
初 等 数 学 专 题 研 究
因此这9条铁路必定相交，除非它们不在同一个平面上 （地下铁路或立体交叉铁路）
例3：如果平面图G是简单图，那么它一定有一个次数不超 过5的顶点。 证明：不妨假设G是连通的，否则考虑它的每一个连通分支。 因为G是简单图，每个面至少有三条边，所以有 3 f ≤ 2m
初 等 数 学 专 题 研 究
下面的定理揭示了树的顶点数与边数的关系。 定理2：如果树T的顶点数为n，那么它的边数m = n－1。 证明：由定理1，树T至少有两个悬挂点，我们去掉一个悬 挂点和链接这个悬挂点的边得到一颗新树T1，它的顶点和 边数同时减少1，所以T1的顶点数n1与边数m1的差 n1－m1=(n－1)－(m－1)=n－m 即边数与顶点数的差保持不变，如此操作下去，最后一 定可以得到一个只有两个顶点的树。而两个顶点的树只 有一条边，所以有 n－m = 1 m = n－1。 即 这个定理是可逆的。 定理3：如果连通图G的顶点数n和边数m满足m = n－1, 那么图G就是一颗树。 证明我们就留作作业。
m f ≤ 2 m n≤ 3
初 等 数 学 专 题 研 究
如果每个顶点的次数都不小于6，那么有 6n≤2m 由欧拉公式得：
返回
例4：证明不存在7条棱的多面体 证明：
3 f ≤ 2m , 3n ≤ 2m
初 等 数 学 专 题 研 究
这与
矛盾，所以不存在7条棱的多面体。
例5：证明完全图k5不是平面图 证明：对于k5，n = 5, m = 10，如果k5是平面图，根据欧拉 公式得
二、树 为了证明欧拉公式，我们先引进“树”的概念： 一个没有圈的连通图称为树。
v1 v2 v3 v5 v8 v4 v6 v9 图5 v7 v10