统计的力量——线段树详细教程
线段树实现及应用分析
BuildTree(l, (l + r) Div 2); Tree[temp].right := num + 1;
// 根据中序遍历，左子树的最后一个的下一个就是右儿子
BuildTree((l + r) Div 2 + 1, r);
// Tree[num]的一些参量可能需要根据已知条件的数列求得（实际上我们是根据它的左右儿子求得的， 因为它的左右儿子已经建完了，和原数列中的对应两段是等效的了）
5－5
6－7
8－8
9－9
10－10
1－1
2－2
6－6
7－7
在这次操作中，绿色和红色为遍历到的点。 ［6，8］把它的标记下放给了［6， 7］ （因为［8,8］是叶结点） ，把第一次修改的信息下放给了［6，7］和［8，8］ ， 这样就实现了原则二。然后， ［8，8］ ［9，10］这两个点的参量被修改了。 橙色和红色的表示有懒标记的点。橙色的点记录了第一次修改的修改信息，
// 体现原则 1
// 运行到这里可以保证 Tree[v] 的左右儿子的参量都是准确的，这里需要根据左右儿子的参量修改 Tree[v]的参量
End;
3.查询区间［x，y］ 查询区间［x，y］同样运用深搜，所遍历的 Tree 数组元素和修改区间［x，y］ 是一样的。详见“2.修改区间［x，y］ ”中的第一幅图。 由于查询操作比较简单，这里直接给出程序结构： Procedure Search(v: Longint); Var mid: Longint;
南开中学 张云昊
线 一、线段树用途及理解 1.线段树用途
树实现及应用分析
线段树是一种高级数据结构，用来维护一个数列，支持在 log 级别的时间内进 行区间修改和区间查询操作。 2.线段树理解 如果我们需要对元素个数为 1000 的一个数列进行区间操作，那么我们开一个长 度为 1000 的数组 A，每次对［x，y］进行操作时，就依次对 A［x］… A［y］进 行操作即可。 但是如果进行的操作次数很多，这样做很废时间。且显然，1000 的空间对于计 算机来说不算大，所以我们可以用一些空间换取时间。 我们可以让 A［1001］表示 A［1］和 A［2］的和状态，A［1002］表示 A［3］ 和 A［4］的和状态…A［1500］表示 A［999］和 A［1000］的和状态。 这样，如果我需要对［341，557］进行查询，我只需要对 A［1171］A［1172］… A［1278］和 A［557］这 109 个元素进行查询就可以了。 可见， 虽然我们需要进行 500 次的预处理， 根据 A ［1..1000］ 求出 A ［1001…1500］ 但是，我们查询一个区间的速度提高了 2 倍！ 同理，如果我们令 A[1501]表示 A［1］A［2］A［3］A［4］的和状态，以此类 推至 A［1750］ ，对于区间［341，557］ ，我们就只需要对 A［1586］A［1587］… A［1639］和 A［557］这 55 个元素进行查询即可，速度提高了 4 倍！ 以此类推，我们就可以大大优化速度。 但是这就出现了一个问题，刚才提高速度的方法仅限于查询操作，如果用同样 方法进行修改操作的话，我们需要多修改很多元素，可能综合速度不但没提高反 而降低了。这个问题我们后面再进行解决，但是它给了我们一个启事：用单纯链 状的数据结构，还是无法完成任务的。 所以， 我们想到把 A ［1001..1500］ 摞到 A ［1..1000］ 上面， 再把 A ［1501..1750］ 摞到 A[1001..1500]上面，以此类推，这样我们就得到了一棵二叉树。这就是线段 树的雏形。 二、线段树操作分析 1.建树 我们用数组 Tree 存储这棵树，如果数列有 n 个元素，那么 Tree 有 2＊n-1 个
统计的力量-线段树
清华大学 张昆玮
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2019年10月17日
*计算几何在长期的发展中，
诞生了许多实用的数据结构。
*区间查询，穿刺查询都是计算几何解决的问题 *作为特例中的特例，线段树解决的问题是：
* 一维空间上的几何统计
*高维推广（kd-tree & …）可以进行正交查询
*由于竞赛中涉及计算几何的内容有限，不展开
*计算几何！
2019年10月17日
*for(T[n+=M]=V, n>>=1;n;n>>=1)
* T[n]=T[n+n]+T[n+n+1];
*没了？ *没了。
清华大学 张昆玮
*C语言更简单
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2019年10月17日
*仅使用了两倍原数组的空间 *其中还完整地包括了原数组 *构造容易:
* For i=M-1 downto 1 do T[i]=T[2i]+T[2i+1];
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2019年10月17日
*标记的传递与收集
懒惰即美德。
清华大学 张昆玮
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2019年10月17日
清华大学 张昆玮
*区间修改
噩梦的开始
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2019年10月17日
*RMQ (Range Minimum Query) *区间最小值查询 *线段树 *支持区间修改：
* 某一区间的数值全部增加一个可正可负的数
2019年10月17日
*这不就和树状数组一样了？ *本来就应该一样。
*回过头说，树状数组究竟是什么？ *就是省掉一半空间后的线段树加上中序遍历 *计算位置需要lowbit什么的 *我们用的是先序遍历，符合人的思考习惯。
线段数讲义
线段树入门（一）路桥中学陈朝晖今天，我们来介绍一种非常特殊的数据结构——线段树。
首先，来看这个问题：给你n个数，仅有两种操作：（1）给第i个数的值添加x（2）询问区间[a,b]的总和是多少CODEVS 1080 线段树练习时间限制: 1s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 钻石 Diamond题目描述 Description一行N个方格，开始每个格子里都有一个整数。
现在动态地提出一些问题和修改：提问的形式是求某一个特定的子区间[a,b]中所有元素的和；修改的规则是指定某一个格子x，加上或者减去一个特定的值A。
现在要求你能对每个提问作出正确的回答。
1≤N<100000，,提问和修改的总数m<10000条。
输入描述 Input Description输入文件第一行为一个整数N，接下来是1行共n个整数，表示格子中原来的整数。
下面是一个正整数m，接下来有m行，表示m个询问，第一个整数表示询问代号，询问代号1表示增加，后面的两个数x和A表示给位置X上的数值增加A，询问代号2表示区间求和，后面两个整数表示a和b，表示要求[a,b]之间的区间和。
输出描述 Output Description共m行，每个整数样例输入 Sample Input645621341 3 52 1 41 1 92 2 6样例输出 Sample Output2222数据范围及提示 Data Size & Hint1≤N≤100000， m≤10000 。
从题目中所给的数据来看，数据量非常大，所需要的查询次数同样非常多。
#include <iostream>usingnamespace std;int dat[Maxn],N,M;struct Tree{int left,right;longlong sum;}tr[Maxn<<2];//tr[i]表示第i线段树，其中[left,right]表示数据区域的边界，sum表示线段树中当前这一段的总和//数组中的每一个结点都将最终设置在线段树的叶子节点位置上，//而线段树中还存在内部结点的存储。
幼儿园大班综合《树木统计》教案
一、教学目标1. 了解树木统计的基本概念，知道统计是一种收集、整理、描述数据的方法。
2. 学会使用简单的工具（如计数器、画图工具等）进行树木统计。
3. 培养幼儿的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
4. 培养幼儿对自然环境的热爱和保护意识。
二、教学内容1. 树木统计的概念和作用2. 统计方法的学习和实践3. 树木统计结果的展示和分析4. 保护树木的重要性三、教学准备1. 教学PPT或者教学图片2. 计数器、画图工具等统计工具3. 树木统计表格4. 保护树木的宣传资料四、教学步骤1. 引入：通过图片或者实物展示，引导幼儿观察树木，并提出问题：“你们知道我们身边的树木有多少吗？我们可以用什么方法来了解呢？”2. 讲解：介绍树木统计的概念和作用，讲解统计方法，并示范操作。
3. 实践：分组进行树木统计实践，幼儿使用计数器、画图工具等统计工具进行统计。
4. 展示：每组展示统计结果，并分享统计过程中的趣事。
5. 总结：讲解保护树木的重要性，引导幼儿养成保护树木的良好习惯。
五、教学评价1. 观察幼儿在实践过程中的动手操作能力和团队协作能力。
2. 评估幼儿对树木统计概念的理解和运用能力。
3. 搜集幼儿在实践过程中的作品，分析幼儿的创造力和想象力。
4. 调查幼儿对保护树木的认识和行为变化。
六、教学拓展1. 延伸统计概念：引导幼儿思考还可以统计哪些自然事物，如花朵、昆虫等。
2. 环保主题活动：组织幼儿进行植树造林活动，提高幼儿的环保意识。
3. 亲子活动：邀请家长参与，共同进行家庭树木统计，增进亲子关系。
七、教学资源1. 网络资源：查找相关统计方法和保护树木的资料，以便进行教学分享。
2. 图书资源：搜集关于统计和环保的幼儿图书，丰富幼儿的知识。
3. 实物资源：准备各种统计工具和材料，确保教学实践的顺利进行。
八、教学评价1. 观察幼儿在实践过程中的动手操作能力和团队协作能力。
2. 评估幼儿对树木统计概念的理解和运用能力。
树状数组线段树简单介绍
线段存数！
线段树的基本操作
建树：
1、由于线段树的特殊性，可以使用类似完全二 叉树的结构来建立，但是线段树不是完全二叉 树，开4倍的空间才可以保证结构正确性！ 2、可以使用动态申请空间方法new,delete 3、与开一个数组空间，利用游标控制建立线段 树，同时记录左右儿子的下标。
线段树的基本操作
二维树状数组的简单介绍
对于一个二维数组a[][]以及其对应的二维c[][] {1,1,1,1} {1,2,1,4} {1,1,1,1} {2,4,2,8} {1,1,1,1} {1,2,1,4} {1,1,1,1} {4,8,4,16} 思想很简单，具体操作我的blog上有，有时间大 家可以去看看。
[0,8] [0,4] [0,2]
[6,8]
[4,8] [2,4] [4,6] [6,8]
[4,8] [0,8] [0,4]
[0,2] [2,4]
[4,6]
二维线段树的结构介绍
二维线段树的第二种形式：
(4,3)
(1,1)
(2,3) (1,2) (2,2)
(4,3) (1,1)
(2,2)
(4,2)
线段树的基本操作
计算连续段数
连续线段数line指的是区间中互不相交的线段条数。
连续线段数并不能像测度那样将两个子结点中的连续线段数简单 相加。于是我们引进了两个量lbd，rbd，分别表示区间的左右两 端是否被线段覆盖。 1 (左端点被线段覆盖到) lbd = 0 (左端点不被线段覆盖到) 1 (右端点被线段覆盖到) rbd = 0 (右端点不被线段覆盖到)
线段树例题分析
例5(poj 3277 City Horizon) 题目描述：已知N座建筑，每座建筑对于一个三 元组（Ai,Bi,Hi）表示从Ai到Bi高为Hi的建筑， 求从侧面看可看到的总面积。 Sample input Sample output
统计的力量——线段树详细教程共103页文档
统计的力量——线段树详细教程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是来自 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
线段树_树状数组I(11页建树有修正)
如果原数组从a[1]~a[n],调用build(1,1,n)即可
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• 更新某个点的数值，并维护相关点的信息
线段树——代码实现(更新）
void update(int id,int pos,int val) { if (tree[id].left==tree[id].right) { tree[id].sum=tree[id].max=val; } else { int mid=(tree[id].left+tree[id].right)/2; if (pos<=mid) update(id*2,pos,val); else update(id*2+1,pos,val); tree[id].sum=tree[id*2].sum+tree[id*2+1].sum; tree[id].max=max(tree[id*2].max,tree[id*2+1].max) } }
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线段树——结构
• 线段树的本质是一棵二叉树，丌同亍其它二叉树， 线段树的每一个节点记录的是一段区间的信息。 • e.g. 对亍长度为5的数组a[1]~a[5]
[1,5] [1,3] [4,5] 对于任一非叶子节点， 若该区间为[L,R],则 左儿子为[L,(L+R)/2] 右儿子为[(L+R)/2+1,R]
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树状数组——总结
1、树状数组可以更新点查询区间，也可以更新区间 查询点，但一般不能更新区间查询区间。 2、单操作时间复杂度O(log2N),空间复杂度O(N). 3、代码简洁。 思考:1、如何实现树状数组更新区间查询点？(例如 给某个区间统一加一个数，询问某点当前值） 2、修改tree数组的定义，使其能够实现更新 某个点的值，并询问[1,pos]中的最大值。
线段树讲解——精选推荐
线段树讲解浅谈线段树在信息学竞赛中的应⽤岳云涛yyt @ comindeWuhan University【摘要】本⽂介绍了⼀种⾼效的基于分治思想的数据结构——线段树，具体讲解了线段树的建树，查找，删除，统计等基本操作。
并结合了⼀些例题深⼊研究了线段树的基本性质和线段树的应⽤⽅法。
⽂章最后给出了⼀些线段树的练习题⽬。
【关键词】数据结构⼆叉树线段树【⽬录】引⾔ (3)1 线段树 (3)1.1 线段树的基本结构 (3)1.2 线段树的性质 (4)1.3 线段树的基本存储结构和操作 (4)2 线段树的初级应⽤ (9)2.1 例题：City Horizon (9)2.2 例题 Joseph Problem (12)3 线段树的进阶应⽤ (15)3.1 例题 Frequent Values (15)3.2 例题 K-th Number (17)4 线段树的⼀些推⼴应⽤ (17)4.1 多维线段树 (17)4.2 线段树与其他数据结构的组合 (18)5 线段树应⽤总结 (19)6 线段树练习题⽬推荐 (19)【正⽂】引⾔在信息学竞赛中，我们经常会碰到⼀些跟区间有关的问题，⽐如给⼀些区间线段求并区间的长度，或者并区间的个数等等。
这些问题的描述都⾮常简单，但是通常情况下数据范围会⾮常⼤，⽽朴素⽅法的时间复杂度过⾼，导致不能在规定时间内得到问题的解。
这时，我们需要⼀种⾼效的数据结构来处理这样的问题，在本⽂中，我们介绍⼀种基于分治思想的数据结构－－线段树。
1 线段树1.1 线段树的基本结构线段树是⼀种⼆叉树形结构，属于平衡树的⼀种。
它将线段区间组织成树形的结构，并⽤每个节点来表⽰⼀条线段。
⼀棵[1,10)的线段树的结构如图 1.1所⽰：图1.1 线段树的结构可以看到，线段树的每个节点表⽰了⼀条前闭后开，即[a,b)的线段，这样表⽰的好处在于，有时候处理的区间并不是连续区间，可能是离散的点，如数组等。
这样就可以⽤[a,a＋1)的节点来表⽰⼀个数组的元素，做到连续与离散的统⼀。
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2013年7月25日
* 我们可以直接找到一个数对应的叶子 * 不用自顶向下慢慢地找啊找 * “直接加 4 ”多简单！ * …… * 直接找到叶子？ * 无限遐想中……
*
清华大学 张昆玮
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2013年7月25日
*
可以直接找到叶子？
清华大学 张昆玮
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2013年7月25日
(0,5)?
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清华大学 张昆玮
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树状 数组
线段 树
*
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* 我之前用这种写法做过不少题…… * 大家都说我的代码看不懂 * 我说这就是一个树状数组 * 写树状数组的人说没有lowbit * 我说那就算是线段树吧 * 大家不相信非递归的线段树这么短…… * 我：……
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2013年7月25日
* 原因是区间和的性质非常好 * 满足区间减法 * 区间减法什么的最讨厌了！后面再说！ * 不过直接前缀和不是万能的！ * 如果修改元素的话……
*
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数据结构 直接存储原数组 直接存储前缀和 线段树
修改元素 O(1) O(n) O(logn)
树
*
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*
如果我给MM的第一印象不到80分的话……
是不是老老实实地早点罢手比较好？
清华大学 张昆玮
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[0,4) [0,2) 0 1 2 [2,4)
[1,4) ?
3
*
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* [1,4) in [0,4)
* 左边，[1,2) in [0,2)
*
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* 因为树状数组依赖于区间减法 * 区间减法什么的，最讨厌了……后面再讲，再讲 * 反正如果只问问前缀和，不问区间和的话 * 那我也可以只用一倍空间！
*
清华大学 张昆玮36Fra bibliotek2013年7月25日
(…,5)?
1
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* Func Change(n,NewValue)
* n += M; * Tree[n] = NewValue; * While n > 1 do
* n = n >> 1; * Tree[n] = Tree[2n] + Tree[2n+1];
*
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* for(T[n+=M]=V, n>>=1;n;n>>=1)
*
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* 根据 D. E. Knuth 的分类方法
计算机算法可以分为两类：
* 数值算法与非数值算法 * 其中的非数值算法包括：
* 索引 * 分类 * 统计 * ……
*
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* POJ上的某题，时限很紧…… * 大家都用树状数组，但是有人只会用线段树呢？ * 而且我可以轻易改出一道不能用树状数组的题 * 在线段树一次次TLE后，有一个ID发帖抱怨 * “下次写一个汇编版非递归线段树，再超时？” * 可是大家都知道，超时的代码已经2k了。 * 其实我写的就是线段树。很快，而且不到1k。
*
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(…,5)?
1
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*
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(…,5)?
1
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1-No
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清华大学 张昆玮
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1 2 4 5 6 3 7
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* N 的左儿子是 2N * N 的右儿子是 2N + 1 * N 的父亲是 N >> 1 * …… * 不就是个堆存储么？不用讲了吧？
*
清华大学 张昆玮
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2013年7月25日
1 10 100 101 110 11 111
* 遗憾的是，这种朴素的方法并不是那么容易实现 * 而且存在严重的效率问题（常数太大）
*
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*
工欲善其事，必先利其器。
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* 虽然可以设计出三叉，四叉，……线段树 * 但是我们先从二叉树开始 * 登高必自迩，行远必自卑 * 多叉怎么办后面再讲（这还要讲？自己研究去） * 为了不处理各种特殊情况，假设二叉树是满的！ * 不是满的？你的总区间是[0,1000)？ * 你就当作[0,1024)不就好了？
A
B
C
*
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2013年7月25日
*
功利点说，没啥用的东西咱不学……
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2013年7月25日
*
区区区间和，用的着线段树？
* 直接把原数组处理成前缀和 * For i=2 to n do
* A[i] += A[i-1]
* Ans(a,b) = A[a] - A[b-1]
*
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* 运行速度快 * 适应能力强 * 编写方便 * 结构简单 * 容易调试 * 关键在于灵活实现
*
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2013年7月25日
*
为什么在《算法导论》和黑书中都难见到其踪迹？
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2013年7月25日
* 计算几何在长期的发展中，
诞生了许多实用的数据结构。
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2013年7月25日
* 字母树！ * 存放的是100,101,110,111四个串！ * 每个节点存的是以这个节点为前缀的所有节点和 * 例：1中存的是所有四个以1开头的和。 * 似乎从 100 到 111 就正好是原数组 * 貌似……下标减 4 就行了？
*
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24
2-1 3-No
4-2
5-No
6-3
7-No
*
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2013年7月25日
* 这不就和树状数组一样了？ * 本来就应该一样。 * 回过头说，树状数组究竟是什么？ * 就是省掉一半空间后的线段树加上中序遍历 * 计算位置需要lowbit什么的 * 我们用的是先序遍历，符合人的思考习惯。
*
* T[n]=T[n+n]+T[n+n+1];
* 没了？ * 没了。
*
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2013年7月25日
* 仅使用了两倍原数组的空间 * 其中还完整地包括了原数组 * 构造容易:
* For i=M-1 downto 1 do T[i]=T[2i]+T[2i+1];
* 太好写了！好理解！ * 自底向上，只访问一次，而且不一定访问到顶层 * 实践中非常快，与树状数组接近 * 为什么呢？后面再讲。
存放在树的根部，所以下传标记做什么？
*
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*
庄周梦蝶而已
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2013年7月25日
* 一根线段，支持区间染色。
询问区间是否同色？
* 区间染色需要使用染色标记 * 询问的时候就直接看标记嘛
1表示红色，2表示蓝色，3绿色，0杂色
*
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2013年7月25日
* 2为红色，3为蓝色，1为杂色
修改3为红色 查询1，杂色？
* 永久化的标记就是值啊！值是自动维护的啊！ * 其实我们的修改算法在修改3的时候已经维护了1 * 自底向上顺便重算所有遇到的节点标记即可 * If (Mark[x]==0 and Mark[2x]==Mark[2x+1])
* If ((s and 1) == 0) Answer += Tree[s + 1]; * If ((t and 1) == 1) Answer += Tree[t – 1]; * s = s >> 1, t = t >> 1;
*
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2013年7月25日
* for (s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1) {
*
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2013年7月25日
*
懒惰即美德。
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2013年7月25日
*
噩梦的开始
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45
2013年7月25日
* RMQ (Range Minimum Query) * 区间最小值查询 * 线段树 * 支持区间修改：
* 某一区间的数值全部增加一个可正可负的数
*
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2013年7月25日
(0,5)?