线性代数1-小结

5 )行列式中某一行 ( 列 ) 的所有元素的公因子可 以 提到行列式符号的外面 . 6 )行列式中如果有两行( 列 ) 元素成比例, 则此行列 式为零 . 7 )若行列式的某一列( 行 ) 的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列 式之和. 8 )把行列式的某一列( 行 ) 的各元素乘以同一数,然 后加到另一列( 行 ) 对应的元素上去, 行列式的值不变. 9 )行列式可按行（列）展 开：行列式某一列( 行 ) 的元素乘以其代数 余 子式.
能乘任意一个不等于1的系数
六、克莱姆法则
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D（ j j 1, 2, , n）是把系数行列式D中第j列 换成常数项b1 , b２， b n 所得到的行列式 .
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记
Aij 1
i j
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24 a 34 a 44
a11 M 23 a 31 a 41
a12 a 32 a 42
a14 a 34 a 44
2 3 A23 1 M 23 M 23 .
五、行列式的性质 (6个性质3个推论 )
1)行列式与它的转置行列式相等, 即D DT . 2 )互换行列式的两行( 列 ),行列式变号. 3 )如果行列式有两行( 列 )完全相同, 则此行列式 等于零 . 4 )行列式的某一行( 列 )中所有的元素都乘以同 一数k , 等于用数 k 乘此行列式.
一、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同 的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
上三角行列式
0 0 a11
a11a22 ann .
下三角行列式 a21
a n1
对角行列式
1 2


1 2
n
n
12 n ;
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
n n1 2
12 n .
24.
四、余子式与代数余子式
定理
如果齐次线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它没有非零解 .
二、n阶行列式的定义
a11 a12 D a21 a22 a n1 a n 2
p1 p2
a1n a2 n ann
pn
1
pn
p1 p2
a1 p1 a2 p2
anpn
其中 p1 p2
pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列，
为这个排列的逆序数．
说明 1.行列式是一种特定的算式; 2.
定理
如果上述齐次线性方程 组有非零解，则
它的系数行列式必为零 .
计算行列式的方法
(1)观察行列式的特点，若能利用性质化行列式 两行相同或成比例，则行列式为0; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
特别注意—要变的行前面系数只能是1，即不
能乘任意一个不等于1的系数来自用降阶法计算行列式利用行列式的性质将所给行列式的某 行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式 的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到 展开成二阶行列式． --适用阶数不高的数字行列式 特别注意—要变的行前面系数只能是1，即不
n阶行列式是 n!项的代数和;
3. n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4. 一阶行列式 a a不要与绝对值记号相混淆;
5.
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1 .

三、特殊的行列式
a11 a12 a22 0 0 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 0 a a a . 11 22 nn ann