高三数学寒假练习数列

ICME －
7 图甲
O A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A 7 A 8
图乙
高三数学寒假练习：数列
1． 设集合102M x x ⎧⎫
=-<⎨⎬⎩⎭
，{}210N x x =+>，则M N =I ▲ ．
2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．
3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计
总体的平均数为 ▲ ． 4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．
5． 下列四个命题：
①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；
③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是 ▲ ．
6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演
化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的
长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．
7． 以下伪代码：
Read x
If x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else
()f x ←2x End If Print ()f x
根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．
8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则
122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
＝ ▲ ． 9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()
ππ33
f t f t +=-+．记
()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3
g = ▲ ．
10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）
11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r
，
则直线AB 的斜率为 ▲ ．
12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的
同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ．
13．若不等式组0,22,
0,x y x y y x y a
-⎧⎪
+⎪⎨⎪⎪
+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 ▲ ．
14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m
表示）． 15．（本小题满分15分）
口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏： 甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢， 否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 16．（本小题满分15分）
已知椭圆22
21(01)y x b b
+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、
C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．
答案：
1．{}
1122x x -<<
2．2
3．0.03 说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=
4．13
5．④
说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？
6
． 说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识．
7．－8
8．3说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +
的求法就不一样了，难度会加大． 9．－1 说明：注意对称性．
10．< 说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小．
11
．说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．
12
13．4(0,1][,)+∞U 说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．
14．
(1)2m m +
说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解．
15.解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ……………………4分 所以51
()255
P A =
=． ………………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为1
5
．…………………………………………………………………7分
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分
设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， ……………………………………………10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－13
25
＝
12
25．…………14分 由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分
评讲建议：
本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、
说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答． 引申：连续玩此游戏三次，若以D 表示甲至少赢一次的事件，E 表示乙至少赢两次的事件，试问D 与E 是否为互斥事件?为
什么?（D 与E 不是互斥事件．因为事件D 与E 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P （D ）、P （E ），由P （D ）＋ P （E ）>1可得两者一互斥．）
16.解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为
12
c x -=
，11
()22b y x b -=-．………………………………………………………………2分
联立方程组，解出2
1,2
.2c x b c y b -⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
……………………………………………………………4分 21022c b c
m n b
--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）
（b －c ）>0， ∴ b >c ． ……………………………………………………………………………………6分
从而22b c >即有222a c >，∴21
2
e <．……………………………………………………7分 又0e >，∴0e <
<
． …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．…………………………………………………………………9分
由AB k b =，2202
PB
b c b b k --
=-＝2(1)b c b c +-． ………………………………………………10分
如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)
b c
b c +-＝－1． ………………………………………12分
解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，………………………………………………………14分 所以直线AB 与⊙P 不能相切． …………………………………………………………15分 评讲建议：
此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾．。