高三数学数列解题方法集锦

高三复习-------数列解题方法集锦

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出

现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系

它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n

对于这类问题，可以用公式a n =???≥-=-)

2()1(11

n S S n S n n .

1.2 已知a n 求S n

这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相

减法和通项分解法。

2．递推数列：??

?==+)

(11n n a f a a

a ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设

法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为

等差数列。

解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6,

两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =?

??≥-=)2(32)1(2

n n n .

又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。

注意：一般地，数列{a n }是等差数列?S n =an 2

+bn ?S n

2

)

(1n a a n +.

数列{a n }是等比数列?S n =aq n

-a.

例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n =

2

)

(1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。

证明：因为S n =

2)(1n a a n +，所以，2)

)(1(111++++=n n a a n S 两式相减，得：2

)

())(1(1111n n n a a n a a n a +-++=

++，所以

n n n na a n a a -++=++111)1(2，即：11)1(a na a n n n -=-+，同理： 11)1()2(a a n a n n n --=--，即：11)2()1(a a n a n n n +-=--，

两式相加，得：n n n a n a n a n )22()1()1(11-=-+--+，即：

n n n a a a 211=+-+，所以数列{a n }是等差数列。

例3 已知数列{a n }的前n 项的和S n + a n =2n+1,求数列{a n }的通项a n . 解：因为S n + a n =2n+1，所以， S n+1+a n+1=2(n+1)+1,两式相减，得： 2a n+1-a n =2,即：2a n+1-a n +2=4，2a n+1-4= a n -2，所以

21221=--+n n a a ，而S 1+a 1=3，a 1=23，故a 1-2=2

1

-，

即：数列{a n }是以2

1

-

为首项，21为公比的等比数列，所以

a n -2=21-(2

1

)n-1= - (21)n ,从而a n =2 - (21)n 。

例 4 （2000年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a n = .

分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。 令n=1，得：2a 22+a 2-1=0,解得，a 2=21.令n=2, 得：3a 32+21a 3-21=0, 解得，a 3=3

1

.同理，a 4=

41由此猜想：a n =n

1

. (2)由(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，得：[(n+1)a n+1-na n ](a n+1+a n )=0, 所以(n+1)a n+1=na n ，这说明

数列是常数数列，故na n =1，a n =

n

1

. 也可以由(n+1)a n+1=na n ，得：

1

1+=+n n

a a n n ，所以 n

n n n n a a a a a a a a n n n n n 1

121121112211=???--?-=????=

--- 。 例5 求下列各项的和

(1)n

n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++- .

(2)1+2?21+3?22+4?23+…+n ?2n-1. (3)1?2+2?3+3?4+…+n(n+1).

(4)

)

2(1421311+++?+?n n . 解：（1）设 S n =n

n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++- ,则

S n =0

112)1(n n n n n n C C nC C n +++++- ,

两式相加，得：2S n = (n+2)n

n n n C n C n C )2()2(10+++++ =(n+2)(n

n n n C C C +++ 10)=(n+2)2n ,

所以S n =(n+2)2n-1.

思考：n

n n n n n n n n C C C C C 112102242+-+++++ 又如何求呢？

（2）设S n =1+2?21+3?22+4?23+…+n ?2n-1，则

2 S n = 1?2+2?22+3?23+…+（n-1）2n-1+n2n .

两式相减。得：- S n =1+21

+22

+…+2 n-1

-n2 n

=

n n

n 22

121?---=2n (1-n)-1.

S n =2n (n-1)+1.

(3)1?2+2?3+3?4+…+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ … +(n 2+n) =(12+22+32+ … +n 2)+(1+2+3+ … +n) =

)1(21)12)(1(61++++n n n n n =)2)(1(3

1

++n n n . (4) ∵

)2

1

1(21)2(1+-=+n n n n

∴

)

2(1421311+++?+?n n =

)2

11111151314121311(21+-++--++-+-+-n n n n =

)2111211(21+-+-+n n =)

2)(1(3243+++-n n n . 二、等差数列与等比数列

1．定义：数列{a n }为等差数列?a n+1-a n =d ?a n+1-a n =a n -a n-1；

数列{b n }为等比数列?

q a b n n =+1?1

1-+=n n n n b b

b b 。 2．通项公式与前n 项和公式：

数列{a n }为等差数列，则通项公式a n =a 1+(n-1)d, 前n 项和

S n =

2)(1n a a n +=2

)1(1d

n n na -+. 数列{a n }为等比数列，则通项公式a n =a 1q n-1, 前n 项和S n =?

?

?

??≠--=)1(1)1()1(11

q q q a q na n .

3．性质：

（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

例6 设S n 是等差数列{a n }的前n 项的和，已知

31S 3与41S 4的等比中项为51S 5，3

1

S 3与4

1

S 4的等差中项为1，求等差数列{a n }的通项。(1997年高考题) 解：设等差数列的公差为d,则

??????

?=+=?24131)51(4131432543S S S S S ，即???????=++++=+?+2)64(41)23(3

1)105(25

1)64(41)23(31112111d a d a d a d a d a ， 解得：?????=-

=???==4512101

1a d a d 或，所以n a a n n 5125321-=

=或。

评说：当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差或公比，然后再解决其他问题。

例7 设等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列{a n }的公比q (1996年高考题)。

解：若q=1，则S 3=3a 1,S 6=6a 1,S 9=9a 1, 由已知S 3+S 6=2S 9, 得：3a 1+6a 1=18a 1,解得：a 1=0，这与数列{a n }为等比数列矛盾，所以，q ≠1。

由已知S 3+S 6=2S 9, 得：q

q a q q a q q a --=

--+--1)

1(21)1(1)1(916131，整理得： 0)12(3

63=--q q q ，解得：2

4

3

-

=q 。 例8 在等差数列{a n }中，已知a 7=8，求S 13.

分析：在这个问题中，未知数有两个：首项a 1与公差d ，但方程只有一个，因此不能象例6那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问题。

解：因为a 7=8，所以a 1+a 13=2a 7=16，故S 13=

.1042

)

(13131=+a a

例9 在等差数列{a n }中，已知a 1>0,S n 是它的前n 项的和.已知S 3=S 11，求S n 的最大值。 分析：和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。 解：由已知：S 3=S 11，故.013

2

,551133111<-

=+=+a d d a d a 得：而因为S 3=S 11，得a 4+a 5+a 6+…+a 10+a 11=0.由于a 4+a 11=a 5+a 10=a 6+a 9=a 7+a 8,所以a 7+a 8=0。

故a 7>0,a 8<0,所以 S 7最大。

评说：(1)本题也可以利用函数的思想来解，即把S n 表示成某一变量的函数（比如n ），然后再求这个函数的最大值。

(2)本题还可以利用方程与不等式的思想来解，即S n 最大当且仅当a n >0同时a n+1<0，解

这个不等式组即可。 三、数列综合问题

对于综合问题，要注意与其他数学知识相联系，如函数、方程、不等式，还要注意数学

思想方法的应用，如归纳法、类比、叠加等。

例10 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，令b n =

n S 1，且b 4=10

1，S 6-S 3=15,求数列{b n }的通项公式和∑=∞

→n

i i n b 1

lim 的值。

分析：欲求b n ，需先求S n ，而S n 是数列{a n }的前n 项的和，所以应首先求出a n 。因为

数列{a n }是等差数列，故只要能找到关于a 1与d 的两个方程即可。

解：设数列的首项为a 1，公差为d.由已知得：

???=+=+???

?=-=15123106415101136

4d a d a S S S ，解得：???==11

1d a 。

所以a n =n,从而S n =

2

)

1(+n n ,故b n =)1(2+n n 。

])

1(1

321211[

lim 2lim 1

+++?+?=∞

→=∞

→∑n n b n n

i i n =2.2)1

1

1(lim 2]1113121211[lim =+-=+-++-+-

∞→∞

→n n n n n

例11 已知f(x)=a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，且a 1,a 2,a 3,…,a n 组成等差数列（n 为正偶数），

又f(1)=n 2,f(-1)=n ； （1）求数列{a n }的通项a n ；

（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。

分析：显然，只要能把f(1)=n 2,f(-1)=n 转化为关于首项和公差的两个方程即可。

解：（1）设数列的公差为d ，因为f(1)= a 1+a 2+a 3+…+a n =n 2，则na 1+

2

)

1(-n n d=n 2,即2a 1+(n-1)d=2n.又f(-1)= -a 1+a 2-a 3+…-a n-1+a n =n,即d n

?2

=n,d=2.解得a 1=1. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.

(2)f(0.5)=

n n )21)(12()21(5)21(32132-++++ ,把它两边都乘以2

1

，得：

n n n n f )2

1)(12()21)(32()21(3)21()21(21132-+-+++=- 两式相减，得：n

n n f )2

1)(12()21(2)21(2)21(221)21(21132--++++=-

=2

1)21)(12()21(2)21(221212---+++?-n n n

=21)21)(12()21(2221)21)(12(2

11]

)21(1[21211----=-------n n n n n n

=2

3)21)(32(23<+-n n 。 ∴.3)2

1

(

例12 （2001年春季）在1与2之间插入个正数a 1,a 2,a 3,…,a n ，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插入个正数b 1,b 2,b 3,…,b n ，使这n+2个正数成等差数列。记A n =a 1a 2a 3…a n ,B n =b 1+b 2+b 3+…+b n . （1）求数列{A n }和{B n }的通项；

（2）当n ≥7时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论。

分析：本题的关键是求A n 与B n ，如果能注意到1，a 1,a 2,a 3,…,a n ，2成等比数列，1，

b 1,b 2,b 3,…,b n ，2成等差数列，则就容易想到利用这两类数列的性质。

解：(1)因为1，a 1,a 2,a 3,…,a n ，2成等比数列，所以a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=1?2,从而A n 2= (a 1a 2a 3…a n )(a 1a 2a 3…a n )=(a 1a n )(a 2a n-1)(a 3a n-2)…(a n a 1)=2n

,故A n =2

2n

.

因为1，b 1,b 2,b 3,…,b n ，2成等差数列，所以b 1+b n =1+2=3, 从而B n =

=+2)(1n B B n n 2

3

.

(2)∵A n =2

2n

, B n =

n 23.∴A n 2=2n ,B n 2=4

9

n 2. 当n ≥7时，A n 2=2n =(1+1)n

=n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C ++++++++---1233210

≥2(3

210n n n n C C C C +++)=2[1+n+

2)1(-n n +6

)

2)(1(--n n n ] =2+2n+n 2

-n+31n 3-n 2+32n=31n 3+35n+2>31n 3=n 2(31n), 当n ≥7时，31n >4

9.

所以当n ≥7时，A n 2> B n 2

，故A n > B n

评说：对于A n 与B n 的大小，也可以用数学归纳法证明。