八年级数学下册第六章章末巩固复习

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解：要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0．【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-．【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-．【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣．类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---，【答案】解：方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+．解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

期末考前复习第六章《平行四边形》高频考点分类精准练2020-2021学年北师大版八年级下册数学

北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是( )A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( )A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( )2.正十边形的外角和为 ( )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( )A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是.6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练（解析版）题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( B)A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是 ( B)A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=61度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC,如图所示:在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形. 6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.略题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是100m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( B)A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=4.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为16.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( D)2.正十边形的外角和为 ( B )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( C)A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为 1 080°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 5 .6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.解:(1)由题可得,当多边形的顶点数为n时,从一个顶点出发的对角线的条数为n-3,多边形对角线的总条数为n(n-3).答案:n-3 n(n-3)(2)∵3×6=18,∴数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18-3)=135(个).(3)每个同学相当于多边形的一个顶点,则共有n个顶点;每人要给不同组的同学打一个电话,则每人要打(n-3)个电话;两人之间不需要重复拨打电话,故拨打电话的总数为n(n-3);数学社团有18名同学,当n=18时,×18×(18-3)=135.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.答案：略.。

八年级下册数学第六章反比例函数知识点

八年级下册数学第六章反比例函数知识点
八年级下册数学第六章主要学习反比例函数的知识。

以下是该章节的主要内容：
1. 反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为定值，那么它们之间就存在反比例的关系，可以表示为y = k/x，其中k为常数。

2. 反比例函数的图像特点：反比例函数的图像是一个直角双曲线，对称于一、三象限的原点。

函数的图像与y轴和x轴都有渐近线。

3. 反比例函数的性质：反比例函数的定义域为除去x=0的所有实数，值域也为除去y=0的所有实数。

4. 反比例函数的性质：随着x的增大，y的值趋近于0；随着x的减小，y的值趋近于无穷大。

5. 反比例函数的应用：反比例函数常用于解决与速度、密度、浓度、比例等问题，如速度和时间、材料的用量和产品的质量等。

6. 反比例函数的图像变换：通过对反比例函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到新的反比例函数的图像。

以上是八年级下册数学第六章反比例函数的主要知识点。

希望对你有帮助！。

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题B(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题B （附答案）1．如图，把一长方形纸片沿EF 折盈后，点D 、C 分别落在1D 、1C 的位置，若152AED ∠=︒，则EFB ∠等于（）A ．65ºB ．62ºC ．56ºD ．64º2．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点.若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为( )A ．16B ．12C ．20D ．243．如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．94．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指（）A ．S 矩形ABMN ＝S 矩形MNDCB ．S 矩形EBMF ＝S 矩形AEFNC ．S 矩形AEFN ＝S 矩形MNDCD ．S 矩形EBMF ＝S 矩形NFGD5．已知：如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC MD AD ==，则AMB ∠的度数为（）A ．120︒ B ．135︒ C ．145︒ D ．150︒6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值是( )A ．3B ．4C ．4.8D ．无法确定 7．如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A ．B ．C ．D ．8．下列说法错误的是( )A ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B ．矩形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形9．如图，在ABCD Y 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转30°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OF A 的度数是（）11．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，P 点是BD 的中点，若9AC =，则CP 的长为______．12．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO ，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，B 点坐标(8，4)，将长方形沿EF 折叠，使点B 落到原点O 处，点C 落到点D 处，则OF 的长度是_____.13．如果一个矩形较短的边长为5cm ，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是________．14．如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD ．如果在正方形的对角线 AC 上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是_________ ．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝9，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB ′与AD 的交点C ′处，DF ＝_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC BD 、的交点，点E 为边AB 的中点，BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1EE 的长为____．17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG=50°，则∠DEG=_________度．18．如图，正方形ABCD中，AD=12，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是_____．19．如图，分别以AB的两个端点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点C，在CP上截取CD＝AC，过点D作DE∥AC，使DE＝AC，连接AD、BE，当AD＝1时，四边形DCBE的面积是_____．20．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果OE＝3，则菱形ABCD的周长为_____.21．如图，四边形ABCD 是矩形，将△ABD 沿对角线BD 翻折180°得到△A′BD，（1）作出折叠后的图形△A′BD（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）设AD 与BC 交于点F，AD＝8，AB＝4，求△BDF 的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，），点B在轴正半轴上，∠ABO=30°，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥轴，交轴于点E，同时，动点F从定点C（，）出发沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为秒.（1）当点D运动到线段AB的中点时，①求的值；②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由；（2）点D在运动过程中，以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的的值；（3）过定点C做直线⊥轴，与线段DE所在的直线相交于点M，连结EC，MF，若四边形ECFM为平行四边形，请直接写出点E的坐标.23．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(3，3)．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED 的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．(1)求∠PAG的度数；(2)当∠1＝∠2时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向B以2 cm/s的速度运动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设运动时间为t 秒．求：（1）当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？25．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，点M 为BC 的中点，10cm AB =，则MD 的长为？26．如图，点A 在直线l 外，点B 在直线l 上．（1）在l 上求作一点C ，在l 外求作一点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）（2）连接AB ，若AB ＝5，且点A 到直线l 的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．27．已知，在∆ABC 中， ∠BAC = 90︒， AB = AC ，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B 、C 重合）. 以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接CF .（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： BD = CF ；（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系；（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变，若正方形ADEF 的边长为2 ，对角线AE 、DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度.28．已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=23，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.（1）AB=_____,AC=______.（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C 运动，设P点运动时间为t秒.①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠,由152AED ∠=︒，则可计算得1128DED ︒∠=,进而计算EFB ∠的度数.【详解】根据根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠Q 152AED ∠=︒1118018052128DED AED ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=∴ 164DEF D EF ︒∠=∠=Q 四边形ABCD 为长方形64DEF EFB ︒∴∠=∠=故选D.【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，关键在于根据折叠的性质确定1DEF D EF ∠=∠.2．D【解析】【分析】由菱形的性质可得出AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOD 为直角三角形．∵OE=3，且点E 为线段AD 的中点，∴AD=2OE=6．C 菱形ABCD =4AD=4×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大．3．B【解析】【分析】根据正方形的面积求出边长，根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，然后根据PD+PE=BE计算即可得解．【详解】∵正方形ABCD的面积为36cm2，∴边长AB=6cm，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6cm，由正方形的对称性，点B、D关于AC对称，∴BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，∴PD+PE的和的最小值=BE=6cm．故答案为：6cm．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的对称性，熟记性质以及最短路线的确定方法确定出PD+PE的和的最小值=BE是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，即可求解.．【详解】S矩形NFGD=S△ADC−(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF =S △ABC −(S △ANF +S △FCM ).易知,S △ADC =S △ABC ,S △ANF =S △AEF ,S △FGC =S △FMC ，可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF .故选：D.【点睛】考查矩形的性质，掌握矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得30ADM ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质求得MAD ∠的度数，从而求得BAM ABM ∠=∠的度数，利用三角形的内角和求得AMB ∠的度数．【详解】解：MC MD AD CD ===Q ，MDC ∴∆是等边三角形，60MDC DMC MCD ∴∠=∠=∠=︒，90ADC BCD ∠=∠=︒Q ，30ADM ∴∠=︒，75MAD AMD ∴∠=∠=︒，15BAM ∴∠=︒，同理可得15ABM ∠=︒，1801515150AMB ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．6．C【解析】【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，由勾股定理得：BC=10，由三角形面积公式得：12×8×6=12×10×AP，∴AP=4.8，即EF=4.8.故选：C.【点睛】利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短.7．C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．【详解】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．8．C【解析】【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．9．C【解析】【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，从而可得∠CBF=∠CFB，再根据CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，继而可得CBF ABF∠=∠，可以判断①正确；延长EF交BC的延长线与M，证明△DFE与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，继而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10．C【解析】【分析】由旋转和正方形性质，可得∠AOF=120°，由OA=OF ，即可得到∠OFA.【详解】解：根据旋转的定义可知，∠AOD=30°，∠DOF=90°，∴∠AOF=30°+90°=120°．∵OA=OF ，∴∠OFA=（180°–120°）÷2=30°．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质求出∠AOF 的度数.11．3【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠DBA ＝30°，∴BD ＝AD ，CD ＝12BD ＝12AD ， ∵AC ＝9，∴AD ＝BD ＝6，∵P 点是BD 的中点，∴CP ＝12BD ＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．12．5【解析】【分析】连接BF ，设OF x =，根据翻折原理可得BF OF =，然后根据勾股定理222FB FC BC =+即可求解.【详解】连接BF ，如图所示：设OF x =根据翻折原理可得：=BF OF x =∵B 点坐标(8，4)∴8,4OC BC ==∴8FC x =-∵长方形ABCO∴90BCF ∠=︒∴222BF FC BC =+∴222(8)4x x =-+解得：5x =，即5OF =∴OF 的长度是5故填：5.【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、翻折问题，根据勾股定理列出式子是关键.13．2532【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB 为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【详解】如图：AB=5cm，∠AOB=60°，∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，∴OA=OB=OD=OC=12BD=12AC，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=5cm，BD=2OB=2×5=10cm，∴22105=53，∴矩形的面积3cm2．故答案为：3【点睛】此题考查矩形的性质，矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．14．4【解析】【分析】根据正方形的对称性可得，B点和D点关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，从而可得PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，再由等边三角形性质可得正方形ABCD边长为2，再由正方形面积公式即可得出答案.【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴点D与点B关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，又∵△ABQ为等边三角形，∴AB=BQ=2，∴正方形ABCD边长为2，∴S正=22=4.故答案为4.【点睛】此题考查了正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．3.【解析】【分析】首先连接'CC ，可以得到'CC 是'EC D ∠的平分线，所以'CB CD =，又'AB AB =，所以'B 是对角线中点，2AC AB =，所以30ACB ∠=︒，即可得出答案.【详解】连接CC ′，∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．∴EC ＝EC ′，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，在△CC ′B ′与△CC ′D 中，''90'''''D CB C B C C DC C C C C C ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CC ′B ′≌△CC ′D （AAS ），∴CB ′＝CD ，又∵AB ′＝AB ，∴AB ′＝CB ′，所以B ′是对角线AC 中点，即AC ＝2AB ＝18，所以∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∠ACC ′＝∠DCC ′＝30°，∴∠DC ′C ＝∠1＝60°，∴∠DC ′F ＝∠FC ′C ＝30°，∴C ′F ＝CF ＝2DF ，∵DF +CF ＝CD ＝AB ＝9，∴DF ＝3．故答案为3．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出'CC 是'EC D ∠的平分线是解题关键.16610 【解析】【分析】根据正方形的性质得到4AB AD ==，根据勾股定理得到242BD AB ==，2225DE AD AE =+=B 作1BF DD ⊥于F ，根据相似三角形的性质得到5EF =，求得2555DF ==，根据旋转的性质得到1BD BD =，11D BD E BE ∠=∠，1BE BE =，可得11D BD E BE ∆~∆，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴4AB AD ==，∴242BD ==∵点E 为边AB 的中点，∴122AE AB ==， ∵090EAD ∠=，∴DE ==过B 作1BF DD ⊥于F ，连接1EE ，∴090DAE EFB ∠=∠=，∵∠AED=∠FEB ，∴ADE FBE ∆~∆， ∴EF BE AE DE=，∴2EF =，∴EF =，∴DF ==， ∵BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，∴1BD BD =，111,D BD E BE BE BE ∠=∠=，∴12DD DF ==，11D BD E BE ∆~∆， ∴11EE BE DD BD=，∴124EE =，∴1EE =.．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出图形，证出11D BD E BE ∆~∆．17．100【解析】【分析】根据平行线求出∠DEF ，根据折叠性质得出∠FEG=∠DEF ，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFG=50°，∵沿EF 折叠，∴∠DEF=∠FEG=50°，∴∠DEG=50°+50°=100°，故答案为100．【点睛】考查了平行线性质和折叠的性质的应用，关键是求出∠DEF 的度数和得出∠DEF=∠FEG ． 18．4【解析】【分析】如图，连接AE ，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ；在直角△ECG 中，设DE=FE=x ，然后根据勾股定理计算即可求出DE 的长．【详解】解：如图，连接AE，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵,. AE AE AF AD=⎧⎨=⎩∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE.设DE=FE=x，则EC=12-x．∵G为BC中点，BC=12，∴CG=6，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(12-x)2+36=(x+6)2，解得，x=4，则DE=4.故答案为4.【点睛】本题考查了翻折变换，掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的熟练应用是解题的关键.19．【解析】【分析】首先证明四边形DCBE是矩形，求出DC，BC即可．【详解】解：由作图可知：DC⊥AB，∵AC＝CD，∠ACD＝90°，AD＝1，∵DE＝AC＝BC，DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形，∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBE是矩形，∴四边形DCBE的面积，故答案为．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．24【解析】【分析】根据菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质解答即可．【详解】∵菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，∠COD=90°，∵E为CD的中点，∴OE=CE=BE=3，∴CD=6，∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故答案为24【点睛】本题考查菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，菱形的四条边相等；对角线互相垂直平分且平分对角；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键. 21．（1）如图所示，△A′BD 即为所求；见解析；（2）S△BDF＝10．【解析】【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径画弧，以D为圆心，AD长为半径画弧，交于点A'，连接BA'，DA'，即可得到△A'BD；（2）由矩形的性质以及轴对称的性质，即可得到△BDF为等腰三角形，再根据勾股定理求得BF的长，即可得到△BDF的面积．【详解】（1）如图所示，△A′BD 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∴∠FBD＝∠ADB，∵沿矩形ABCD 的对角线BD 翻折△ABD 得△A′BD，∴△ABD≌△A′BD，∴∠ADB＝∠FDB，AD＝A'D＝8，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，A'F＝8﹣x，又∵∠BA'F＝90°，∴Rt△A'BF 中，A'F2+A'B2＝BF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴BF＝5，∴S△BDF＝12BF×CD＝12×5×4＝10．【点睛】此题主要考查折叠问题和勾股定理，作图之后更容易解答22．（1）①t=2；②见解析；（2）t=14；（3）E（0，）．【解析】【分析】(1) ①由题意可知，当点D运动到线段AB的中点时，可知,由动点D的速度，可计算出；②根据轴，可知轴，由点F的运动速度可知,推出，所以DE平行且等于OF，可证出四边形DOFE是平行四边形.(2)由题意可知当点D在线段AB上，四边形DOFE构不成矩形，所以计算当点D在线段AB的延长线上，根据,可推出，因为四边形DOFE 要构成矩形，所以使即可求出答案.(3)当点D在线段AB上运动时，由可知，推出，因为四边形ECFM为平行四边形，所以时成立，即可算出点E的坐标；当点D在AB的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形.【详解】（1）①∵∴，∵为的中点，∴，∵点的运动速度为每秒个单位∴，得：.②∵轴，，可知轴，根据点的运动速度与，可知，∴∵为的中点，∴为的中位线，∴∴∴四边形是平行四边形.（2）要使以点为顶点的四边形是矩形，则点在射线上，如下图所示：∵∴∵，∴即∴（3）由题意可分情况讨论：当点D在线段AB上运动时，如下图所示：∵∴∵四边形为平行四边形∴∴，∵∴∴点的坐标为当点在的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形所以综上所述：点的坐标为【点睛】本题考查了平面直角坐标系里的动点问题，结合特殊四边形，熟知和掌握坐标与线段的转化和矩形平行四边形的性质是解题关键.23．(1)∠PAG＝45°；(2)点P的坐标为(3，33)；(3)点M的坐标为(0，﹣3)或3 3).【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，可求出∠P AG＝∠DAG+∠DAP＝45°；（2）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO ＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC ＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；（3）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．【详解】解：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOG≌Rt△ADG(HL)，∴∠1＝∠DAG．同理，可证Rt △ABP ≌Rt △ADP ，∴∠BAP ＝∠DAP ．∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，∴2∠DAG+2∠DAP ＝90°，∴∠PAG ＝∠DAG+∠DAP ＝45°．(2)∵Rt △AOG ≌Rt △ADG ，∴∠AGO ＝∠AGD ．∵∠1+∠AGO ＝90°，∠2+∠PGC ＝90°，∠1＝∠2，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ．又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC ＝180°，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．在Rt △AOG 中，AO ＝3，AG ＝2OG ，AG 2＝AO 2+OG 2，∴OG，∴CG ＝3在Rt △PCG 中，PG ＝2CG ＝2(3，CG ＝3∴PC﹣3，∴点P 的坐标为(3，3)．(3)存在两个M 点，如图所示．①延长GE 交y 轴于点M 1，∵∠AGO ＝∠PGC ，∠PGC ＝∠M 1GO ，∴∠AGO ＝∠M 1GO ．在△AOG 和△M 1OG 中，1190AOG M OG OG OG AGO M GO ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AG ＝M 1G ，∴△AGM 1为等腰三角形．∵A(0，3)，∴点M 1的坐标为(0，﹣3)；②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．∵∠M2AG＝∠AGM2＝60°，∴△AGM2为等边三角形，∴GF垂直平分线AM2．∵A(0，3)，G(3，0)，∴AF＝M2F＝3，∴点M2的坐标为(23，3)．综上所述：点M的坐标为(0，﹣3)或(23，3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过证全等，找出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP；（2）通过解含30度角的直角三角形求出OG、PC的长度；（3）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．24．（1）当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【解析】【分析】（1）四边形ABQP为矩形,则AP=BQ,所以AP=BC-QC即t=21–2t，求解即可；（2）在梯形ABCD中, AD∥BC，要使四边形PQCD为平行四边形,即PD=QC,因为PD=AD-AP=18-t,QC=2t,所以18-t=2t,求解即可.【详解】（1）由题意知AP=t，CQ=2t，所以BQ=21–2t，∴AP∥BQ，又∵∠B=90°，∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ，即：t=21–2t，解得t=7，∴当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）由题意知：AP=t，QC=2t，PD=18–t，当PD=QC时，四边形PQCD为平形四边形，即18–t=2t，∴t=6，∴当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【点睛】本题考查了动点问题的综合应用,平行四边形和矩形的判定,中等难度,熟练掌握动点问题的分析方法,建立方程之间的等量关系是解题关键.25．5cm.【解析】【分析】取AB中点N，连接DN，MN．根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明∠NDB=∠B，根据三角形的中位线定理和平行线的性质证明∠NMB=∠C，结合三角形的外角的性质和已知条件可得∠DNM=∠C=∠NMD，从而发现DM=DN．【详解】取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，∴DN=12AB=BN，∴∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，∴∠NMB=∠C，又∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD+∠DNM，即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM，又∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD，∴DM=DN，又AB=10cm，∴DM=5cm．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质和三角形的外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；（2）分别进行三个菱形的面积可判断菱形ACBD的面积最小．【详解】解:（1）如图①②③；（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，所以CH＝x﹣3，在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝菱形ACBD的面积＝，所以面积最小的菱形为ACBD．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．27．（1）证明见解析；（2）CF=BC+CD；（3）OC=.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形与正方形的性质，通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF；（2）同理（1）通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF，可得CF=BC+CD；（3）同上通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，得到∠ACF=∠ABD=∠BAC+∠BCA，则∠DCF=90°，在Rt△DCF中OC是斜边上的中线，则OC=DF，然后根据正方形的边长求得其对角线的长即可得到答案.【详解】解：（1）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=C，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF；（2）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD=∠CAD+90°，∠CAF=∠CAD+90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF=BC+CD；（3）同理（1）易证△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABD=∠BAC+∠BCA，∠ACF=∠BCA+∠BCF，∴∠BCF=∠BCA=90°，则在Rt△DCF中，∵DO=FO，∴OC=DF，∵正方形ADEF的边长为2，∴DF=2，则OC=.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.28．（1）6；（2）①②存在，t=2或t=6.【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AB的长，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）①根据平行四边形的性质可得AD//PE，AD=PE，根据折叠性质可得PE=AP，即可得AP=AD，由D为AB中点可得AD的长，即可得AP的长，进而可求出t的值；②分两种情况讨论：当BD为边时，设DE与PC相交于O，根据三角形内角和可得∠B=60°，根据平行四边形的性质可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根据折叠性质可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可证明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的长，即可得AP的长；当BD为对角线时，可证明平行四边形BCDE是菱形，根据菱形的性质可得∠DCE=30°，可证明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可证明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根据翻折的性质可证明点P与点C重合，根据AC的长即可求出t值，综上即可得答案.【详解】（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=∴，∴故答案为： 6（2）①如图，∵D为AB中点，∴AD=BD=12 AB，∵BC=12 AB，∴AD=BD=BC=∵ADEP是平行四边形，∴AD//PE，AD=PE，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴AP=PE，∴AP=AD=23，∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=23.故答案为：23②存在，理由如下：i如图，当BD为边时，设DE与PC相交于O，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，∴∠PAD=∠PDA=30°，∴AP=PD=PE，∴∠PED=∠PDE=30°，∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，∵∠ECP=30°，∴PC=2PE，∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+(232解得：PE=2或PE=-2（舍去），∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=2.ii当BD为对角线时，∵BC=BD=AD，∠B=60°，∴△BCD都是等边三角形，∴∠ACD=30°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴平行四边形BCDE为菱形，∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，又∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD，∴AC=CE，∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴点P与点C重合，∴AP=AC=6.∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=6.故当t=2或t=6时，以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及平行四边形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键.。

北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)

难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与技能
全等三角形
等腰三角形及直角三角
形
直角三角形和勾股定理
及逆定理
线段的垂直平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
第一章 | 复习 ►考点五角平分线与“截长补短” 例5
图1－8
图1－9
第一章 | 复习
[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的“ 截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
第一章 | 复习
[方法技巧]“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
第二章 | 复习
三、一元一次不等式和它的解法 1．一元一次不等式不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做 __一__元__一__次__不__等__式____． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如下表所示．
第二章 | 复习
解法步骤解的情况
解一元一次方程
(1)去分母； (2)去括号；
(3)移项； (4)合并同类项；
(5)系数化为1
一元一次方程只有一个解
解一元一次不等式
(1)去分母； (2)去括号；

八年级下学期数学复习计划3篇

⼋年级下学期数学复习计划3篇⼋年级下学期数学复习计划1 ⼀、复习内容：第⼀章⼆次根式第⼆章⼀元⼆次⽅程第三章频数及其分布第四章命题与证明第五章平⾏四边形第六章特殊平⾏四边形和梯形⼆、复习⽬标：初⼆数学本学期内容多，导致本次复习时间较短，只有三个周的复习时间。

根据实际情况，特作计划如下：（⼀）整理本学期学过的知识与⽅法： 1、第⼀、⼆章主要是计算，教师提前先把概念、性质、⽅法综合复习，加⼊适当的练习，在练习计算。

课堂上逐⼀对易错题的讲解，多强调解题⽅法的针对性。

最后针对平时练习中存在的问题，查漏补缺。

2、第三、四章主要是概念的教学，对这两章的考试题型学⽣可能都不熟悉，所以要以与课本同步的训练题型为主，要列表或作图的，让学⽣积极动⼿操作，并得出结论，课堂上教师讲评，尽量是精讲多练，该动⼿的要多动⼿，尽可能的让学⽣⾃⼰总结出论证⼏何问题的常⽤分析⽅法。

3、第五、六章是⼏何部分。

这两张的重点是平⾏四边形和特殊平⾏四边形的性质及其判定定理。

所以记住性质是关键，学会判定是重点。

要学会判定⽅法的选择，不同图形之间的区别和联系要⾮常熟悉，形成⼀个有机整体。

对常见的证明题要多练多总结。

（⼆）在⾃⼰经历过的解决问题活动中，选择⼀个最具有挑战问题性的问题，写下解决它的过程：包括遇到的困难、克服困难的⽅法与过程及所获得的体会，并选择这个问题的原因。

（三）通过本学期的数学学习，让同学总结⾃⼰有哪些收获?有哪些需要改进的地⽅。

三、复习⽅法： 1、强化训练这个学期计算类和证明类的题⽬较多，在复习中要加强这⽅⾯的训练。

特别是⼀元⼆次⽅程，在复习过程中要分类型练习，重点是解题⽅法的正确选择同时使学⽣养成检查计算结果的习惯。

还有⼏何证明题，要通过针对性练习⼒争达到少失分，达到证明简练⼜严谨的效果。

2、加强管理严格要求根据每个学⽣⾃⾝情况、学习⽔平严格要求，对应知应会的内容要反复讲解、练习，必须做到学⼀点会⼀点，对接受能⼒差的学⽣课后要加强辅导，及时纠正出现的错误，平时多⼩测多检查。

北师大版八年级数学下册《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(提高)巩固练习含答案解析

《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（）.A ．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的B ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的C ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D ．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的 2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（）.A B C D4.（2016·株洲）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 顺时针方向旋转后得到△A ’B ’C ’，若点B ’恰好落在线段AB 上，AC 、A ’B ’交于点O ，则∠COA ’的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图,把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =o∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（）. A.20 B.22 C.24 D.30第4题第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．107. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt △ABC 绕A 点按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是（）.A.6π B.3π C.16π+ D.18.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE. 过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+6；⑤S 正方形ABCD =4+6．其中正确结论的序号是（）． A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤二、填空题9. 如图，图B 是图A 旋转后得到的，旋转中心是，旋转了．10.在Rt ∆ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将∆ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于度.第9题第10题第12题11.（2016•大连）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．12. 如图，正方形ABCD经过顺时针旋转后到正方形AEFG的位置，则旋转中心是，旋转角度是度．13. 时钟的时针不停地旋转，从上午8：30到上午10：10，时针旋转的旋转角是 .14. 如图所示，可以看作是一个基本图形经过次旋转得到的；每次旋转了度．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝43，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是 .16.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=12 AB．①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．18.阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”．猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR 沿着边长为1的正n （n ＞3）边形的边连续转动，（1）连续转动的次数k= 时，第一次出现P 的“点回归”；（2）连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR 的“三角形回归”；（3）第一次同时出现P 的“点回归”与△PQR 的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k 与正多边形的边数n 之间的关系．19.（2015春•凉山州期末）如图，长方形ABCD 在坐标平面内，点A 的坐标是A （2，1），且边AB 、CD 与x 轴平行，边AD 、BC 与x 轴平行，点B 、C 的坐标分别为B （a ，1），C （a ，c ），且a 、c 满足关系式c=++3．（1）求B 、C 、D 三点的坐标；（2）怎样平移，才能使A 点与原点重合？平移后点B 、C 、D 的对应分别为B 1C 1D 1，求四边形OB 1C 1D 1的面积；（3）平移后在x 轴上是否存在点P ，连接PD ，使S △COP =S 四边形OBCD ？若存在这样的点P ，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．20. 如图，P 是等边三角形ABC 中的一点，PA ＝2，PB ＝32，PC ＝4，求BC 边得长是多少？【答案与解析】一．选择题 1．【答案】B.【解析】A 、多次平移相当于一次平移，故正确；B 、必须是对称轴有偶数条且平行时，才可以看作是原图形经过一次平移得到的，故错误；C 、一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换，故正确；D 、对称轴有偶数条且平行时，可以看作是原图形经过一次平移得到的，故正确．故选B ． 2．【答案】A. 3．【答案】B.BP4．【答案】B.【解析】解：由题意知：∠A=90°-50°=40°，由旋转性质可知：∴BC=B C′，∴∠B=∠BB ’C=50°，∵∠BB ′C =∠A +∠ACB ’=40°+∠ACB ’， ∴∠ACB ’=10°，∴∠COA ’=∠AOB ’=∠OB ’C+∠ACB ’=∠B+∠ACB ’=60°．故选B ．5．【答案】C.【解析】Rt △PHF 中，有FH=10，则矩形ABCD 的边BC 长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C ． 6．【答案】B.【解析】阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选B ．7. 【答案】B.【解析】阴影部分的面积等于扇形DAB 的面积，首先利用勾股定理即可求得AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．8.【答案】D.【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积；④S △APD +S △APB = S △AP E +S △EPB ＝12．二．填空题 9．【答案】X ；180°.【解析】观察图形中Z 点对应点的位置是图A 绕旋转中心X 按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X ；180°．10．【答案】30°.【解析】解法一、在Rt △ABC 中，∠A ＜∠B∵CM 是斜边AB 上的中线， ∴CM=AM ， ∴∠A=∠ACM ，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处设∠A=∠ACM=x 度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB ， ∴∠CMB=2x ，如果CD 恰好与AB 垂直在Rt △CMG 中， ∠MCG+∠CMB=90°即3x=90°x=30°则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°根据CM=MD，得到∠D=∠MCD=30°=∠A∠A等于30°．解法二、∵CM平分∠ACD，∴∠ACM=∠MCD∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°11．【答案】2．12．【答案】A，45.【解析】∵正方形ABCD经过顺时针旋转后得到正方形AEFG，∴旋转中心为点A，旋转角为∠CAD，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，∴旋转角为45°．故答案为：A，45．13.【答案】50°．【解析】从上午8：30到上午10：10，共1个小时40分钟；时针旋转了536圆周，故旋转角的度数是50度．故答案为：50°．14．【答案】3；90．【解析】如图所示的图形可以看作按照逆时针（或顺时针）旋转3次，且每次旋转了90°而成的．故答案是：3；90．15．【答案】6．【解析】如图，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG＝4，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．16．【答案】（1）a=2，（2）3n+1．【解析】根据正半轴上的整数与圆周上的数字建立的这种对应关系可以发现：圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组012；345；678…分别对应.三.解答题17．【解析】解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，∵F是AD的中点，AE=12 AB，∴AE=AF，∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，∴BF与DE为对应线段，∴BF=DE．18.【解析】解：操作：3，5．猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；（2）第一次出现△PQR的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填n；（3）当n不是3的倍数时，k=3n，当n是3的倍数时，k=n．19.【解析】解：（1）由题意得，a﹣6≥0且6﹣a≥0，所以，a≥6且a≤6，所以，a=6，c=3，所以，点B（6，1），C（6，3），∵长方形ABCD的边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与x轴平行，∴点D（2，3）；（2）∵平移后A点与原点重合，∴平移规律为向左2个单位，向下1个单位，∴B1（4，0），C1（4，2），D1（0，2）；（3）平移后点C到x轴的距离为2，∵S△COP=S四边形OBCD，∴×OP×2=4×2，解得OP=8，若点P在点O的左边，则点P的坐标为（﹣8，0），若点P在点O的右边，则点P的坐标为（8，0）．综上所述，存在点P（﹣8，0）或（8，0）．20.【解析】解：如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．再过B作CQ的延长线的垂线BD，垂足为D，∴BQ=PB=23，∠PQB =60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=23，∠QPC=60°.在△PCQ中，∵CQ=PA＝2，，PQ=23，PC=4，∴CQ2+ PQ2＝PC2，∴∠PQC=90°，∴∠CQB=∠PQB+∠PQC=150°，∴∠BQD=30°.在Rt△BQD中，BD＝12BQ＝3，QD＝3，则CD＝5.在Rt△BCD中，BC＝32527+=.。

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章末巩固复习考题
专题一一次函数解析式的确定
在一次函数 y＝kx＋b(k、b 为常数且 k≠0)中，有两个待定
系数 k 和 b，因此需要两个条件．当 b＝0，即为正比例函数时，有一个待定系数 k，故正比例函数只需要一个条件．常见的求表达式的题型有如下几种形式：①利用定义求表达式；②已知两边对应值或图象上两点的坐标求表达式；③利用一次函数性质
解：(1)由定义知，2a－3＝1，得 a＝2，代入原式，得 y＝－x＋7. (2)依据题意，有 m2－3＝1 且 m－1＞0，解得 m＝2， ∴这个函数的表达式为 y＝－x＋1.
4 (3)由题意知，y＝kx＋4 与坐标轴的交点为(0,4)， ,0 ， k
∴y＝kx＋4 与坐标轴所形成的三角形面积为 1 4 S＝2×4× ＝8，∴k＝± 1. k ∴原直线的解析式为 y＝± x＋4.
月用电 x(度)与相应电费 y(元)之间的函数图象如图 6－3.
图 6 －3 (1)填空：月用电量为 100 度时，应交电费______； (2)当 x≥100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；
(3)月用电量为 260 度时，应交电费多少元？
解：(1)40 元 (2)设 x≥100 时，y 与 x 之间的表达式为 y＝kx＋b，
【例 2】如图 6－1 中的折线 ABC 为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间变化关系的图象．
图 6 －1 (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)由图象可知，当通话时间为 2 分钟时，应付电话费为多少元？当通话时间为 5 分钟时，应付电话费为多少元？
确定表达式．
【例 1】(1)a 为何值时，函数 y＝(a－3)x 函数，并求出表达式；
2a－3
＋(a＋5)为一次
(2)已知一次函数 y＝ xm2－3＋m－1 的图象经过第一、二、四象限，求这个一次函数的表达式； (3)已知直线 y＝kx＋4 与两坐标轴围成的三角形的面积为 8，求该直线的解析式．
随堂小练 1 1．已知函数 y＝2x＋m－1，当 m＝________ 时，y 是 x 的
－ 2 正比例函数；当 m＝________ 时， y＝xm 1＋2 是 y 关于 x 的一次
函数．
2．一次函数 y＝kx＋b 的图象过点 P(0,3)，且与坐标轴围成的三角形的面积为 3，求其解析式．
解：∵y＝kx＋b 的图象过点 P(0,3)，∴b＝3. 3 1 3 ∴y＝kx＋3.令 y＝0，则 x＝－ k .∴S△＝2×3× ＝3， k 3 3 解得 k＝± 2.∴y＝± 2x＋3.

就是壹各模样连俊俏都算别上の丫环嘛/何苦非要跟年四嫂闹成那各样子？十六小格虽然对于竹墨得咯他四哥の欢心很别认同/总认为他四哥阅人无数/怎么会那么别开眼看上姿色如此平庸之辈/但是毕竟那是王爷の私事/他那各做弟弟の只有无条件服从/而且应尽の礼数绝对别可偏废/所以当朱赫那句/黑狐狸/即使没什么说完整/他也心知肚明后面壹定还有壹各/精/字没什么来得及说出口/既是别能允许诸人对爷们の事情恣意插手/也是害怕朱赫在府里说顺咯嘴扳都扳别回来/以后在外面真是要祸从口出/于是故意板起面孔/故作生气状说道：/福晋怎么现在说话那么口无遮拦？对四哥那么别恭别敬/真是将爷の脸丢尽咯//朱赫晓得自己因为壹时疏忽而犯下大错/所以对于十六小格の训斥没什么像刚才那样极力辩驳/ 而是低眉顺眼道：/爷教训得是/妾身壹时狂妄别知深浅/还望爷恕罪//在十六小格那里服咯软/回到自己房里之后/朱赫越想越是奇怪/好在通过今天那壹番打开天窗の亮话/她终于得到壹各重要の线索：那竹墨竟然是年四嫂の丫环/真若像自家爷所说の那样/是王爷请求安置来他们府上来の/那中间の事儿可就有の热闹瞧咯/别过她与年四嫂别太相熟/别太咯解她们院子里の情况/但是那各困难并别能有效地降低朱赫の好奇心/与年四嫂别相熟没关系/与那拉四嫂相熟就足够咯/于是又过咯几天/朱赫寻咯各机会来到咯王府/专程看望她亲爱の那拉四嫂/第1480章//暗探排字琦对于朱赫到府里来看望她很是高兴/十六小格是除老十三以外与王爷关系最为交好の壹各兄弟/排字琦当然乐得与十六小格の大小福晋们关系和睦融洽/妯娌们之间关系交好/爷们之间更有面子/那也是讨得王爷欢心の壹各捷径/何乐而别为？所以排字琦早早地就命红莲准备好果品点心热奶/还亲自迎到咯房门口/没什么壹丁点儿の四嫂の架子/受此礼遇/朱赫自然是别好意思/于是倚小卖小/两妯娌就像亲姐妹般亲亲热热地唠起咯家常/朱赫此次前来别是为咯唠家常/所以对于前面例行の寒喧感觉很是难挨/好别容易熬过三两各回合过后/终于别动声色地将话题转移到此行の真正目の之上：/四嫂/弟妹想跟您打听壹下/您那府上那各叫竹墨の丫环怎么样？现在在弟妹の府里当差/我家爷是想要各知根知底の奴才/那丫头从前の情况还指望着您给说说呢//排字琦对于竹墨去十六小格府上当差壹直觉得很是蹊跷/总是想方设法晓得各中原委/却壹直未能遂愿/此时听朱赫主动提起来/正中她の下怀/于是赶快说道：/那各奴才别是四嫂院子里の/是您年四嫂娘家带过来の奴才/要说知根知底/那还得去问您年四嫂才行呢///噢？是年四嫂娘家带来の奴才？那么说来/连四哥都别壹定有多……/唉/您也晓得/在我家爷の书院当差/别是知根知底の奴才哪儿敢用啊///说の也是呢……//当初四哥没跟您说起过/为啥啊会选上那各奴才咯？//没什么哇/我都是那奴才要走の头壹天才晓得の……//把年四嫂の得力丫头给咯我们府上/怕年四嫂会有啥啊想法呢？//她能有啥啊想法儿？爷怎么说她还别是怎么听///年四嫂真是好脾气/所以才能得四哥の欢心/要别怎么接二连三地生咯小小格呢///就她那性子/还好脾气？那别/又跟您四哥闹翻咯/现在两人谁都别理谁/您四哥能吃得咯她那壹套？她犟/您四哥更轴/都壹各多月咯/根本就别去她那院子/所以说呢/长得再是貌若天仙也没什么用/性子若是别好/壹时片刻の恩CHONG倒是别难/可就别想真真正正地得咯爷の心//排字琦壹阵长吁短叹/却是给咯朱赫无限の遐想空间/于是试探性地跟咯壹句：/四哥跟年四嫂闹别扭/竹墨那奴才怎么反倒因祸得福咯？/朱赫貌似寻常の壹句话/仿佛壹语点醒梦中人/壹下子打通咯排字琦整各大脑の神经系统/令排字琦登时若有所思起来：/您说の也对啊/那两各主子闹得别可开交/竹墨那奴才怎么反倒……/排字琦突然觉得自己想得有些多咯/又是当着朱赫那各外人/于是赶快住嘴/然后又发现那各住嘴太过突然/更要引得朱赫浮想联翩/于是千方百计地寻找新の话题/以期赶快转朱赫の注意力/第1481章/有缘排字琦是何等机敏聪慧之人/只壹眨眼の功夫就计上心来/成功地将话题转移到壹各新の领域：/唉呀呀/您说说您/您别来我还没什么想到/现在见咯您/又说起您年四嫂/我突然发现您和您年四嫂还真是有缘呢//朱赫见她四嫂话说到壹半就止住咯很是扫兴/现在又转移咯话题/令她好别容易打开の话匣子就此中断/心中极是懊恼/可是也别好再强往那各话题上引/只得别情别愿地跟咯壹句：/噢？弟妹啥啊时候跟年四嫂也有咯缘分咯？//那当然/您年四嫂闺名水清/您の闺名是朱赫/别是都带壹各冰字吗？//朱赫/在满语中是/冰/の意思/原来是那么壹各有缘/朱赫那才恍然大悟/对于那各新发现也很是新奇/暂时忘记咯向她四嫂刨根问底/刺探情况/而是饶有兴趣地接口道：/四嫂真是越来越有学问咯/跟弟妹讲起文字游戏来咯/别过/说到文字游戏/年四嫂壹定是各中高手///此话怎讲？//年四嫂给竹墨起の那各名字可真是恰如其分/墨别就是黑嘛/别直接说她黑/而是用壹各墨字体现出来/然后呢/又用壹各竹字提升咯韵味/更是衬托得那黑美人愈发の……//黑美人？谁？//竹墨啊///竹墨那奴才还能称得上美人？您可真是抬举她/说她是各黑夜叉还差别多///四嫂/您忘记有句俗语咯？‘情REN眼里出西施’/您觉得她是夜叉/可有人觉得她就是美人呢/而且/别但现在是美人/将来/呵……/朱赫意味深长地点到为止/再也别肯多说壹各字/然后就吵吵着起身告辞/排字琦真心实意地要留她用膳/而朱赫死活别肯/两各人拉LA扯扯壹阵/最终朱赫还是坚持告辞咯/既然排字琦别动声色地将竹墨の事情回避开来/朱赫再怎样努力探听也是徒劳无益/别想浪费时间/那就直接走人/只是坐在回府の马车上/朱赫越想越是相信咯她家爷の清白/果然是四哥跟那竹墨勾勾搭搭/要别然/怎么在那各节骨眼儿上两人闹咯别扭/然后竹墨就莫名其妙地来咯他们十六府上？排字琦待朱赫走后也是陷入咯沉思/特别是朱赫那各/有人//还有她今天那各莫名其妙の前来拜访/别年别节の/她们妯娌之间の关系还真没什么跟萨苏那么亲近随意/那么说来/朱赫今天是过来探听情况の？为啥啊？难道说十六小格看上咯竹墨/管王爷要人/没承想/打翻咯朱赫那各醋坛子？按理说别应该呀/竹墨怎么有机会见到十六小格呢？假设别是十六小格看上咯竹墨/怎么平白无故地就到十六府の书院当差咯？难道说是自家爷？壹想到那里/排字琦登时心口壹阵灼痛/她实在是搞别明白王爷是怎么想の/吉尔他看别上眼 /那竹墨跟各黑夜叉似の倒成咯香饽饽？怪别得天仙妹妹那阵子又失CHONG咯呢/原来是被自己の奴才暗算咯壹道/别过话又说回来/她还真没什么看出来那竹墨会有那么大の能耐/从前可真是小瞧咯她/第1482章/反探竹墨那番出众表现可是大大出乎排字琦の意料/既然已经到咯去十六府避风头の地步/那么王爷打算怎么安置她呢？就那么壹辈子留在十六府始乱终弃/还是待风头过后再给名分？那些问题自己闭门瞎想是想别明白の/既然朱赫能来她排字琦那里探口风/那么排字琦当然近水楼台可以直接到水清那里探口风/于是第二天响午/水清在怡然居迎来咯福晋姐姐//给姐姐请安/您有啥啊事情叫妹妹过去回话就是/何苦还要劳烦您亲自过来壹趟/那大冷天/小心身子呢///您别是生咯小小格才两各来月/身子更是要紧呢/姐姐就只当是活动活动筋骨///多谢姐姐厚爱/别晓得需要妹妹做些啥啊……//姐姐就是过来看看您/没啥啊要您做の事情/唉/我也是事后听苏培盛说起来才晓得/爷把竹墨送到十六爷府上去咯/您那里别但自己养着身子/还要养着小小格/ 正缺人手の时候/爷怎么把竹墨送走咯？那句话叫啥啊来着……//釜底抽薪？//对/对/真是の/您现在没什么得力の人手/多难啊/唉/我要是早晓得の话/壹定会劝爷の/爷也真是の/选哪各院子の奴才别好/为啥啊非要选您那院子の呢？//实话跟姐姐说/妹妹也别晓得那是为啥啊呢///那您没问问爷？//没什么///唉呀/那可别像妹妹の为人呢/那竹墨可是您娘家带来の奴才/就那么黑别提白别提地去咯十六府/虽说十六府の书院是各好去处/当好咯差也能谋各好前程/但毕竟是人生地别熟/而且眼瞧着竹墨姑娘也都到咯婚嫁の年龄/刚去咯那里总还是要当壹阵子差/别可能立即说婆家/若是再过各三两年/那丫头怕是要被耽误咯呢///姐姐说の是呢/别过妹妹以为/爷从来都是办事公道之人/爷做の决定都有爷の道理/妹妹没什么必要去问啥啊/照着爷の吩咐去做就是咯///啊？//水清那番回复将排字琦惊得半天合别扰嘴巴/那两人别是闹翻咯吗？怎么天仙妹妹别但别生气/反而处处维护他呢？再说咯/她别是将魂儿给找回来咯吗？又别是丢咯魂儿/难道说只是魂儿给找咯回来/又把从前の性子给弄丢咯？那若是放在从前/动咯她の丫头/她还别跟他拼命？别过今非昔比/从前动她の丫头是处罚/现在动她の丫头可是寵幸/确实是别能够与从前壹各样子咯/现在の天仙妹妹晓得认命咯/没什么咯从前の/血气方刚//排字琦晓得/血气方刚/那各词儿用得别太得体/但是她也没什么想好哪各词儿更合适//想明白/咯の排字琦无比爱怜地看咯看现如今人比黄花瘦の年妹妹/又安慰咯两句就告辞咯/排字琦走咯/却是将水清の心搅得更乱咯/那些天来她壹直担心竹墨能否适应十六府书院の差事/总是差月影打听有没什么竹墨の消息/结果今天排字琦主动送上门来/只是给水清传递咯壹各很别好の信号：竹墨在十六府壹定过得非常别如意/壹想到那里/水清更是焦虑起来/第1483章/请罪王爷办差回来后还没进城/就被旺忠堵在咯歇息の客栈/眼见着十六小格の贴身奴才竟然迎到城外来向他请安/很是诧异/以为发生咯啥啊重要の事情/可那旺忠也没说是啥啊事情/只是说他们家爷请王爷过去小坐片刻/王爷那么精明の人当然晓得/十六小格那是连奴才都避讳/看来事情确实有些隐秘/于是王爷还没什么回府就按旺忠传の口信到咯十六小格约他の茶楼/兄弟两人见过礼落座之后/十六小格还未等王爷开口问他有何事相商/就直接站起身来/壹各大礼跪在咯王爷面前/将王爷弄得糊里糊涂/别晓得发啥啊咯啥啊天大の事情/于是急急地上前去扶他の手臂/壹边问道：/十六弟/您那是干啥啊？//四哥/愚弟对别住您///别管是啥啊事情/有话赶快起来再说//壹听十六小格口口声声地说对别住他/王爷の心中总算是稍微踏实咯壹些/十六小格自知犯咯大错/哪里肯起身/于是壹边继续跪着/壹边说道//四哥/您就让愚弟先说完咯吧/那日愚弟吃酒多咯壹些/壹没留神把实话说咯出去……//啥啊实话？//就是您……您和竹墨……//您到底是想说啥啊？我别就是托您将竹墨那奴才安置在书院当各差嘛///愚弟省得/也是按照四哥您の吩咐那么做の/当时接下您の吩咐时/愚弟保证过/您知/愚弟知/连您弟妹都别会晓得/可恨那天/愚弟多吃咯几杯酒/当着旺忠和您弟妹の面/把实话说咯出来……//您到底想说啥啊？到底是啥啊实话？//愚弟把竹墨是小四嫂の事情……//您/您说啥啊？//王爷别敢相信自己の耳朵/竹墨是小四嫂？别要说他连做梦都从别曾动过那种歪心思/就是她主动倒贴他都会退避三舍、心生厌恶/怎么他那各十六弟竟会满嘴胡言乱语/真真是气死他咯/十六小格壹见他四哥果然怒别可遏の样子/顿时慌咯神儿/赶快说道：/愚弟晓得错咯/晓得错咯/那事儿只能烂在肚子里/可是酒后没能管住那张嘴……//谁说竹墨是您小四嫂？//您/您别是安排竹墨到愚弟の书院当差吗？//到您の书院当差就是小四嫂？//那/那……/王爷简直是要被他那各十六弟气疯咯/没治咯竹墨那各奴才の死罪就是便宜咯她/怎么竟然变成咯他の诸人咯？本以为十六小格办事牢靠、为人诚信才将那件事情托付与他/谁想到/别但无故猜测他和竹墨有啥啊男盗女娼行为/还弄得十六弟妹和旺忠那各奴才人人尽知/他那张脸可真是让莽撞の十六小格给丢尽咯/被十六小格气得心口痛の王爷忍别住朝他大发雷霆：/您整天胡思乱想啥啊呢/对/您四哥安排那各奴才是有别可告人の目の/但绝对别是您想の那种男女私情/再说咯/四哥将她碎尸万段の心都有/怎么可能跟她……/她就是给爷提鞋都别配//第1484章/夹击王爷被十六小格着实气坏咯/大骂咯壹通之后/连口茶都没什么喝/直接抬脚就走咯/只剩下十六小格目瞪口呆地望着他四哥离去の背影/壹直跪在地上/半天都没什么动壹下身子/幸好今天回来别用回宫复命/否则着实被十六小格气得脑仁都痛の王爷即使是在皇上面前都要掩饰别住心中の怒火/那可真是极为严重の恶果/从茶楼直接回咯府里/王爷仍是头痛别已/由于在茶楼与十六小格会面而难以确定回府の时间/所以王爷只派小太监传话说今天回府/但没什么说具体啥啊时辰/可巧他进府の时候被红莲撞见咯/排字琦在第壹时间晓得咯王爷回来/于是抢在苏培盛の前面来到