2001年全国初中数学竞赛试题(无答案)
2001年第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
2001年第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程7(1)20 7272x x++=+-的根是x=（）A．147-B．714-C．7914+-D．7914+2．（5分）设32x=-，则65331121x x x x++++=（）A．14324+B．14324-C．14332-D．32143-3．（5分）要使分式3|4|xx--有意义，则x的取值范围是（）A．12x B．12x或3x=，6，7，8，9，10 C．3x且4x≠，5，11D．3x4．（5分）如图，AOB∠的两边分别有5个点1A，2A，3A，4A，5A和4个点1B，2B，3B，4B，线段(15,14)jAiB i j之中，在AOB∠内及其边上不相交的一对线段称为“和睦线对”（不分顺序），例如54A B和43A B便是和睦线对，那么图中一共有几个“和睦线对”（）A．100B．90C．66D．605．（5分）一个木板上钉有九枚铁钉，顶尖向上（如图）用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有（）种套法．A．40B．24C．22D．216．（5分）如图，按给定的点和边，一共可以数出（ ）个多边形？A ．24B ．30C ．36D ．407．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，x <>表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数）．例如[3.4]3=，{3.4}4=， 3.43<>=．则方程3[]2{}8x x x ++<>=的解为（ ）A ．满足 1.5l x <<的全部实数B ．满足2l x <<的全部实数C ．满足.5l x l <<或1.52x <<的全部实数D ．以上答案都不对8．（5分）设[]x 表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数），则[1][2][3][36]+++⋯+=（ ） A ．132B ．146C ．161D ．6669．（5分）如图，梯形ABCD 两腰DA ，CB 的延长线交于O ．已知4AOB S ∆=，9AOC S ∆=，则ABCD S =梯形（ ）A ．25B ．16.25C ．16D ．15.2510．（5分）如图，设梯形两对角线交于M ，且2AOB S c ∆=，2AMB S a ∆=，0c a >>，则ABCD S =梯形（ ）A ．242224()a c c a +B ．22224a c c a +C ．242224()a c c a -D ．22224a c c a -二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）分解因式：42424(41)(31)10x x x x x -++++= ． 12．（5分）已知232332234a b c b c c c a b +--+++==，则2332a b ca b c-+=+- ．(0)a ≠13．（5分）不等式2243414143x x x x x x x x +-->-+---的解是 14．（5分）设2314x y -=，x ，y 都是正整数，则方程有 组正整数解．15．（5分）一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为 ．16．（5分）如图，是一个不规则的五角星，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠= ．（用度数表示）17．（5分）把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同的分法共有 种．18．（5分）如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，10PO =，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O 点），则PQR ∆的周长的最小值为 ．19．（5分）在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有 个．20．（5分）如图，ABC ∆的面积为S ，在BC 上有点A '，且:(0)BA A C m m ''=>；在CA 的延长线有点B '，且:(1)CB AB n n ''=>；在AB 的延长线有点C '，且:(1)AC BC k k ''=>．则A B C S'''= ．。
2001第十八届全国初中数学联赛
2001第十八届全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1．a ，b ，c为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定2．若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则ab的值是（ ）A ．95B ．59C ．20015-D ．20019-3．已知在ABC △中，90ACB ∠=︒，15ABC ∠=︒，1BC =，则AC 的长为（ ）A．2 B．2 C ．0.3 D4．如图，在ABC △中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ACB △∽△不一定成产的情况是（ ）A ．AD BC AB BD ⋅=⋅ B ．2AB AD AC =⋅ C ．ABD ACB ∠=∠ D ．AB BC AC BD ⋅=⋅ 5．①在实数范围内，一元二次方程20ax bx c ++=的根为x =；②在ABC △中，若222AC BC AB +>，则ABC △是锐角三角形；③在ABC △和111A B C △中，a ，b ，c 分别为ABC △的三边，1a ，1b ，1c 分别为111A B C △的三边，若1a a >，1b b >，1c c >，则ABC △的面积S 大于111A B C △的面积1S ．以上三个命题中，假命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）A ．522.8元B ．510.4元C ．560.4元D ．472.8元 二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(01)，．O 为坐标原点，150QPO ∠=︒，且P 到Q 的距离为2，则Q 的标为__________．2．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为________． 3．已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，则22x y +=_________．4．一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为________．第二试（A ）一、在直角坐标系中有三点(01)A ，，(13)B ，，(26)C ，；已知直线y ax b =+上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ．试求a ，b 的值使得222AD BE CF ++达到最大值．二、⑴证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2a ，a b -，c 都是整数；⑵写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论（25分）三、如图，D ，E 是ABC △边BC 上的两点，F 是BC 延长线上的一点，DAE CAF ∠=∠．⑴判断ABD △的外接圆与AEC △的外接圆的位置关系，并证明你的结论．⑵若ABD △的外接圆的半径是AEC △的2倍，6BC =，4AB =，求BE 的长．第二试（B ）一、求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值． 二、与（A ）卷2⑴题相同． 三、与（A ）卷3题相同．FE D C BA第二试（C ）一、与（B ）1题相同．二、与（A ）卷2⑴题相同． 三、与（A ）卷3⑶题相同．2001第十八届全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1．B【解析】 本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于有理数部分，无理数部分等于无理数部分来求a 、b 、c 的值，由于： 25+．所以：a +则0a =，1b =，1c =．∴299910012000a b c ++=． 故选B【点评】 本数，于方程左边一一对应即可得出结果．2．A【解析】 显然可以看出方程系数相同，可以利用根与系数关系来求解：22200190a a ++=，29200150b b ++=（显然0b =不是方程的解）∴2115200190b b ++=，故a 与1b 都是方程25200190x x ++=的根，但1a b ≠，由0∆=，即a 与1b 是此方程的相异实根．从而195a b ⋅=．故选A ．【点评】 这道题的关键是利用好两个方程系数相同的条件，再利用根的定义和韦达定理求解，这其中方程将29200150b b ++=变形为2115200190b b++=的方法很巧．3．B【解析】 如图，作15BAD ∠=，交BC 于D ．则AD BD =，30ADC ∠=．设AC x =，则CD =，2AD x =，于是(21x =，解得2x =， 故选B ．【点评】 我们熟知的是30度的三角函数值，题中实际上求的是15度角的正切值，对于15度角的三角函数值在高中我们可以用三角公式来计算，而现在我们只能想办法将它转化到30度角的直角三角形中．4．D【解析】 由两三角形相似可知B 、C 一定成立，对于A ，作BE AC ⊥于E ，作BE AC ⊥于F ，于是，sin DF AD A =，sin BE AB A =，由AD BC AB BD ⋅=⋅，得DF BC BE BD ⋅=⋅． 所以，Rt BDF CBE △∽△，从而，ABD ACB ∠=∠，得ABD ACB △∽△， 注：也可以利用正弦定理． 故选D ．【点评】 本题中B ，C 我们是可以利用相似立即得到的，剩下的两个选项需要费一点时间，但是具体的证明也并不麻烦．5．D【解析】 ① 若0∆<，命题不成立．② AB 未必是最大边．③ 反例：如图，取ABC △，在BC 上取0.9BK BC =，过K 作l AB ∥，在AB 延长线上取B '，使 1.1AB AB '=．当点C '在l 上远离时，AC '与1B C ''=均变长，故可有AC AC '>，AB AB '>，B C BC ''>．但AB C ''△的面积ABC <△的面积． 故选D ．【点评】 本题是对基本概念的考察，前两个命题的错误比较明显，第三个判断起来有点难度，需要画图进行分析．6．C【解析】 显然，168小于2000.9180⨯=，没有经过打折；423小于5000.9450⨯=，且大于200，所以这是经过9折后的价格；合在一起是1684230.9638500+÷=>，按照③，可是应付款为：5000.91380.8560.4⨯+⨯=元．故选C ．【点评】 这是生活中很常遇到的问题，解题时我们首先要明确题意，再根据条件分情况计算，题目并不难，要注意计算的准确性．二、DC BAC'B'l K CBA1．(11Q ±，【解析】 若Q 点在第一象限，则：由于150QPO ∠=，故30QPR ∠=，同时，2PQ =， 故1QR =，PR故1OR =Q点坐标为：(11，， 同理，Q点在第二象限时坐标为：(11Q -，， 因此，Q点坐标为：(11Q ±，【点评】 这是一道简单的关于直角坐标的题目，题中没有给出图形，根据分析我们发现两种情况，对两种情况分别求解就可以得出结果．2．43【解析】 如图，111O M O P ==，222O N O P ==，取2O P 中点Q ，作OK MN ⊥．于是，21PH QK =+，22QK PH =+．解得43PH =．【点评】 两个相切圆的图形是大家经常遇到的，我们应该对其中的等量关系很清楚，这样的题目往往会涉及比例线段，常用的辅助线就是做垂直于公切线的线段．3．34【解析】 令x y s +=，xy t =．则23s t +=，120st =．故可得s ，t 为方程2231200x x -+=的两根， 故可得：8s =，15t =或15s =，8t =（舍去）． 则：()22222234x y x y xy s t +=+-=-=．【点评】 本题的关键是把x y +，xy 看成新的未知数，再反用韦达定理求出x y +，xy 的值，这种方法在求值尤其是求未知量的取值范围是很常用．4．156【解析】 设此数为n ，且2168n a +=，2100n b +=．则22268217a b -==⨯． 即()()2217a b a b +-=⨯． 但a b +与a b -的奇偶性相同， 故34a b +=，2a b -=． 于是18a =，从而156n =．【点评】 这道题的考点是完全平方数的性质，对于这种问题我们往往会引进一个新的未知数来表示这O 2QP O 1NKHM个完全平方数，再利用已知条件和整数的性质进行求解，这其中平方差公式和配方法是常用的手段．第二试（A ）一、【解析】 D ，E ，F 的坐标为()0D b ，，()1E a b +，，()22F a b +，， 由图象可知：()()()2222221326AD BE CF b a b a b ++=-++-++-22563302046a ab b a b =++---()2563032046a b a b b 2=+-+-+ 2236532155a b b b ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3305506a b b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52a =，56b =，最小值为16．【点评】 在近几年的联赛当中这种函数图像与几何相结合的题目很多，这种问题的关键是将给出的几何条件转化为代数条件，并结合函数的解析式进行求解．二、【解析】 以m y 表示x m =时的函数值，即2m y am bm c =++．⑴ 若x 取整数值时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．则当0x =时，2000y a b c =⋅+⋅+为整数，故c 为整数值．当1x =-时，()()2111y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是10a b y y --=-为整数．当2x =-时，()()2222y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是21022a y y y --=-+为整数．于是2a ，a b -，c 都是整数．⑵ 所求逆命题为：若2a ，a b -，c 都是整数，那么x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值． 这是一个真命题．下面来证明，若c ，a b -，2a 都是整数．由()()221y ax bx c ax ax ax bx c ax x a a b x c =++=+-++=+--+，当x 取整数时，()1x x +一定是偶数，故()112x x +必是整数，由2a 是整数得()1212a x x ⋅+是整数，又由ab -，c 是整数得()a b x c --+是整数，因此当x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．另证：若c ，a b -，2a 都是整数，则当x 为偶数时，设2x k =，()()()222222222k y a k b k c a k a a b k c =++=⋅+--⋅+⎡⎤⎣⎦，由于2a ，a b -，c 及k 都是整数，故2k y 是整数． 当x 是奇数时，设21x k =-，()()()2222121442k y a k b k c k k a a kb b c =-+-+=-++-+()()()222222a k k a a b k a b c =⋅-+--⋅+-+⎡⎤⎣⎦（由()222b a a b =--可得）由于2a ，a b -，c 及x 都是整数，故21k y -为整数．【点评】 这是一道二次函数与整数性质相结合的题目，在第一问中取特殊值而得到函数系数关系的方法是我们反复用的，应该掌握好，而第二问中关键是写对反命题，至于说明并不难．三、【解析】 ⑴ 两圆外切．作ABD 的切线l ，则1B ∠=∠，∵3B C ∠=∠+∠，∴31C ∠=∠+∠． ∵1231C ∠+∠=∠=∠+∠，∴2C ∠=∠． 过A 作AP l ⊥，交AEC 于点P ，连PE ．∵P ACE ∠=∠，于是2P ∠=∠． ∴90PAE P ∠+∠=． 于是90AEP ∠=，从而AP 是AEC 的切线，即二圆相切于点A ． ⑵ 延长DA 交AEC 于G ，（不妨设F 在AEC 上）连GF ．由43DAE AED AFC ∠=∠+∠=∠+∠， ∴45180∠+∠=，于是4AGF ∠=∠， ∴ADB AGF △∽△，∴:2AB AF =（即等于两圆半径比），但4AB =， ∴2AF =（这里可用正弦定理做）．∵BA BF BE BC ⋅=⋅，∴4BE =．【点评】 证明两个圆相切并不难，而在求BE 长度的时候要充分利用第一问的结论，第一问中两个三角形的外接圆实际上是解第二问的重要辅助线．第二试（B ）一、【解析】 ()()()2221326y x y x y -++-++- 22563302046x xy y x y =++--+()2563032046x y x y y 2=+-+-+2223353533204655x y y y y ⎛⎫⎛⎫=+---+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2236532155x y y y ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566x y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3305506x y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52x =，56y =，最小值为16．l PG F EDC BA【点评】 本题实际上和A 卷的第一题很类似，对于这种求最值的问题我们通常都会采用配方的方法，本题的题设是一个陷阱，他虽说写成了三个平方项的和但是三项不能同时为0，所以在配方时，我们要注意看各项能否同时为0．二、【解析】 以m y 表示x m =时的函数值，即2m y am bm c =++．⑴ 若x 取整数值时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值． 则当0x =时，2000y a b c =⋅+⋅+为整数，故c 为整数值．当1x =-时，()()2111y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是10a b y y --=-为整数．当2x =-时，()()2222y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是21022a y y y --=-+为整数．于是2a ，a b -，c 都是整数．【点评】 这是一道二次函数与整数性质相结合的题目，在第一问中取特殊值而得到函数系数关系的方法是我们反复用的，应该掌握好，而第二问中关键是写对反命题，至于说明并不难．三、【解析】 ⑴ 两圆外切．作ABD 的切线l ，则1B ∠=∠，3B C ∠=∠+∠，∴31C ∠=∠+∠．1231C ∠+∠=∠=∠+∠，∴2C ∠=∠．过A 作AP l ⊥，交AEC 于点P ，连PE ．P ACE ∠=∠，于是2P ∠=∠．∴90PAE P ∠+∠=．于是90AEP ∠=，从而AP 是AEC 的切线，即二圆相切于点A ．⑵ 延长DA 交AEC 于G ，（不妨设F 在AEC 上）连GF ．由43DAE AED AFC ∠=∠+∠=∠+∠， ∴45180∠+∠=，于是4AGF ∠=∠， ∴ADB AGF △∽△，∴:2AB AF =（即等于两圆半径比），但4AB =， ∴2AF =（这里可用正弦定理做）．BA BF BE BC ⋅=⋅，∴4BE =．【点评】 证明两个圆相切并不难，而在求BE 长度的时候要充分利用第一问的结论，第一问中两个三角形的外接圆实际上是解第二问的重要辅助线．。
2001年TI杯全国初中数学竞赛试卷B卷
2001年TI 杯全国初中数学竞赛试卷B 卷分别次射击中第第第在第次必须射击进行打靶训练某个学生参加军训分共分每小题小题本题共解答题三的取值范围是那么且满足已知实数的横坐标点取最小值时那么当和的距离分别为到定点轴上的动点中在直角坐标系的值应该确定为那么总金额最大为了使该商品的销售则售出的数量就将减少如果单价上涨销售某种商品于那么这个梯形的面积等的线段为边作梯形用长为的值为则若那么已知分共分每小题小题本题共填空题二不能确定之间的大小关系是与则且满足是正数若等于则且交于点与若如图的值为则中间竖排若干个下各横排两个其中上个全等的矩形若将正方形分成如图或或的值为那么且是质数如果都是整数至少有一个整数至少有两个整数都不是整数那么是三个任意整数如果得化简分共分每小题小题本题共选择题一,9,8,7,6.10,,.13)60,20,3(..___________,,1,.12.___________,,)1,2(),5,5()0,(,.11.____________,.150%,,.10.____________,5,4,4,1.9.__________,28,14.8.___________,2323,2323.7)30,5.6(.)()()()((),111)(111(12345,,.616)(12)(7)(6)()(,3,4,,2,,.512)(10)(8)(6)()(,,,,,.4222123)(22125)(222125)(22123)()(,013,013,,.3)()()()()(2,2,2,,,.247)(87)(2)(812)()(,)2(2)2(22.122)30,5,6(.22222222221134t b a ab t b ab a b a x M MQ MP MQ MP Q P x M x xoy m mm y x x xy y y xy x y xx y y x D b a C b a B ba Ab a b a b a D C B A DC AD PD PB D PB AC ACB APB PB PA D C B A k k D C B A baa b m b b m a a b a D C B A ac c b b a c b a D C B A n n n nn --==++=++=++=++=+-+=+-=<=>-+=⋅==∠=∠=+=+-=+-+++---++++.,11311,,)2(.)1(.011)72(1)1(.1511211:,,,⊙,⊙,⊙,,⊙,.14)1.0?(10,8.810.59,3.9,1.8,4.8,0.922112122的值求且为若原方程的两个实数根的取值范围求有实数根的方程已知关于求证于点并交两点于交的割线作过点的两条切线是外一点是已知点如图环确到每次射击所得环数都精环次射击中至少要得多少那么他在第环次射击的平均环数超过如果他要使环数次射击所得的平均高于前次射击所得的平均环数他的前环环环环得了a x x x x x x a x x a x x a x PB PA PC C ST B A O PAB O P O PT PS O P =-+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+=。
2001年全国初中数学竞赛（答案）
2001年全国初中数学竞赛（答案）2001年全国初中数学竞赛⼀、选择题（本题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分，每⼩题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四1、化简：)2(2)2(2234++-n n n ，得（） A 、8121-+n B 、12+-n C 、87 D 、47 2、如果c b a ,,是三个任意整数，那么2,2,2ac c b b a +++（） A 、都不是整数 B 、⾄少有两个整数 C 、⾄少有⼀个整数 D 、都是整数 3、如果b a ,是质数，且013,01322=+-=+-m b b m a a ，那么baa b +的值为（） A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 4、如图，若将正⽅形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若⼲个，则k 的值为（）A 、6B 、8C 、10D 、125、如图，若PA=PB ，,2ACB APB ∠=∠AC 与PB 交于点D ，且PB=4， PD=3，则DC AD ?等于（） A 、6 B 、7 C 、12 D 、166、若b a ,是正数，且满⾜)111)(111(12345b a -+=，则a 与b 之间的⼤⼩关系是（） A 、b a > B 、b a = C 、b a < D 、不能确定⼆、填空题（本题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分）7、已知2323,2323-+=+-=y x ，那么=+22yx x y __________。
8、若28,1422=++=++x xy y y xy x ，则y x +的值为__________。
9、⽤长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的⾯积等于__________。
10、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售总⾦额最⼤，那么m 的值应该确定为__________。
11、在直⾓坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0,(x M 到定点)1,2(),5,5(Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MQ MP +取最⼩值时，点M 的横坐标=x ________。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.2001年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则ba 的值是（ ） （A ）59（B ）95（C ）52001-（D ）92001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ） （A ）32+（B ）32-（C ）30⋅（D ）23-4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ）（A ）BD AB BC AD •=• （B ）AC AD AB •=2（C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB •=•5、①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边，若111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
2001年全国初中数学竞赛(答案)
答：B
设小矩形的长为 ，宽为 ，根据题意，可得
解得
几何计数
5、如图，若PA=PB， AC与PB交于点D，且PB=4，
PD=3，则 等于（）
A、6 B、7
C、12 D、16
答：B
如图，以点P为圆心，PA为半径作圆，
因为 ，所以点C的圆周上，延长BP交⊙P于点E，由相交弦定理，得 。
由勾股定理，得
（10分）
利用切割线定理和相交弦定理，有
（20分）
证法二：连PO交ST于点D，则 ，连SO，作 ，垂直为点E，则E为AB中点，于是
因为C，E，O，D四点共圆，所以
又 ∽
而由切割线定理知
圆切割线相似三角形
15、已知关于 的方程 的实数根。
（1）求 的取值范围。（2）若原方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值。
于是可知 是关于 的方程 的两个实数根
综上所述， 的取值范围是
解法二：由
（当 时等号成立）
代数最值基本不等式
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
B
B
B
A
1、化简： ，得（）
A、 B、 C、 D、
答：C
将原式化简，
2001年广东省全国初中数学竞赛预赛试卷
2001年全国初中数学竞赛第一试试卷一、填空题（每小题3分，共60分）1、分解因式：bc ab ac a --+2＝ ；2、在公式)(111221R R R R R ≠+=中，若已知R ，2R ，则1R = ； 3、计算：abb a b a ba b b a ++÷++-22222224＝ ； 4、两圆半径之比为3:5，当两圆内切时，圆心距为4cm ；则两圆外切时，圆心距为 ；5、函数252+-=x x y 中自变量x 的取值范围是 ； 6、已知样本：1，2，3，3，6；则样本的方差2S = ；7、边长为2cm 的正六边形面积为 2cm ；8、已知M 、N 、P 分别是△ABC 的中线AD 、BE 、CF 的中点，若△MNP 的面积为32cm ，则△DEF 的面积等于 2cm ；9、化简：xy y x y x yx 2++-+-＝ ；10、已知：0是一元二次方程02522=-+-m mx x 的一根，另一个根是 ；11、已知：12)12)(2(=+-+b a b a ，那么b a +2＝ ；12、已知：方程式02=++n mx x 的两根之比为3:4，判别式的值为2，则此方程的两根是 ；13、一个正八边形绕它的中心至少转 度，才能和原来的图形重合；14、在菱形ABCD 中，已知两对角线之差BD －AC ＝348-，∠ABC ＝60°则菱形的周长为 ；15、如图所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，若圆的半径为5，AD 的长是4，则AC AB ⋅= ；16、如图所示为6个半径是1的圆围成的阴影部分的面积为 ；17、“对一切实数a ，都有k k a ≥+2”试利用这个结论求函数32122+-=x x y 的取值范围是 ；18、已知x 与y 成反比例，y 与z 成反比例，则z 与x 成 比例；19、若实数a 、b 分别满足条件：31-=+a a ，31-=+b b ，则ba ab +＝ ； 20、已知：119+与119-的小数部分分别是a ，b ，则743-+-b a ab ＝ ；二、选择题（每小题2分，共40分）21、2)3(-的平方根是（ ）A 、3±B 、9±C 、3-D 、322、下列各对数中互为相反数的是（ ）A 、2a 与2a -B 12-与12+、C 、23与23-D 、2a -与2)(a -23、若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、以上都有可能24、等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A 、顶角B 、顶角的21C 、顶角的2倍D 、底角的21 25、顺次连结周长为a 的三角形三边中点所得三角形的周长是（ ）A 、aB 、a 32C 、2aD 、3a 26、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形，一定可以拼成的图形是（ ）A 、（1）（4）（5）B 、（2）（5）（6）C 、（1）（2）（3）D 、（1）（2）（5）27、两个三角形具备下列哪一组条件，可以证明它们全等（ ）A 、两边和其中一边的对角对应相等；B 、相似且对应中线之比为1；C 、三个角对应相等；D 、两边和第三边上的高对应相等。
2001年全国初中数学联合竞赛试题及解答
b ， E 1， a b ， F 2， 2a b ， D ， E ， F 的坐标为 D 0 ，
b b2 4ac ； 2a
②在 △ABC 中，若 AC 2 BC 2 AB2 ，则 △ABC 是锐角三角形； ③在 △ABC 和 △A1 B1C1 中， a ，b ， c 分别为 △ABC 的三边， a1 ，b1 ，c1 分别为 △A1 B1C1 的三边，若 a a1 ， b b1 ， c c1 ，则 △ABC 的面积 S 大于 △A1 B1C1 的面积 S1 ． 以上三个命题中，假命题个数是（ A．0 【答】D. ① 若 0 ，命题不成立． ② AB 未必是最大边． ③ 反例：如图，取 △ABC ，在 BC 上取 BK 0.9BC ，过 K 作 l ∥ AB ，在 AB 延长线上 取 B ，使 AB 1.1AB ．当点 C 在 l 上远离时， AC 与 BC 1 均变长，故可有 AC AC ，
1 x x 1 必是整数，由 2a 是整数得 2
1 2a x x 1 是整数，又由 a b ，c 是整数得 a b x c 是整数，因此当 x 取 2
任意整数时，二次函数 y ax2 bx c 总取整数值． 方法二：若 c ， a b ， 2a 都是整数， 则当 x 为偶数时，设 x 2k ，
2
2a 2k 2 2k 2a 2 a b k a b c
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2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题B 卷
姓名
一、 选择题（30分）
1、化简)
2(2)
2(2234++-n n n ，得（ ）
（A ）8
1
21-+n (B) 12+-n (C)
87 (D)47 2、如果c b a ,,是三个任意整数，那么2
,2,2a
c c b b a +++ （ ） （A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数 （C ）至少有一个整数 （D ）都是整数
3、如果b a ,是质数，且,013,01322=+-=+-m b b m a a 那么b
a a
b
+的值为（ ） （A ）
22123 （B ）222125或 （C ）22125 （D ）222
123
或
4、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、 下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
5、如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点D,且PB=4，PD=3，则AD ∙DC 等于（
（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16 6、若b a ,是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是（ ） （A ）b a > （B ）b a = （C ）b a < （D ）不能确定 二、 填空题（30分） 7、已知：2
323,2
323-+=
+-=
y x 。
那么
=+2
2y x
x y
8、若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为
9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
10、销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150
m。
为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为
11、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x
12、已知实数b a ,满足2222,1b a ab t b ab a --==++且，那么t 的取值范围是 三、 解答题（60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。
在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。
他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。
如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。
那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
14、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A,B 两点，并交ST 于点C 。
求证：
)11(211PB
PA PC +=.
15、已知：关于x 的方程 011)1
)(72()1)(
1(22=+-+---x x a x x a 有实根。
（1） 求a 取值范围；
（2） 若原方程的两个实数根为21,x x ，且11
3
112211=-+-x x x x ，求a 的值。
,。