2020年湖南省娄底市高三联考(理)

2020年湖南省娄底市高三联考
数学试题（理科）
一、选择题（每题５分，共４０分）
1．若函数y=(x)f 定义域为M ，a 是常数，
{}
A=(,), x y x a y R =∈，
{B=(,)x y }(), y f x x M =∈则A B I 中元素个数 （ ）
A ．0
B ．1
C ．0 或1
D ．以上都不对
2．命题p ：1122
k -
>：q ，函数2
2log (2)y x kx k =-+的值域为R ，则p 是q 的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件
D ． 既不充分又不必要条件
3．若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的x 都有()(
)6
6
f x f x ππ+=-，
则()6
f π等于（ ） A ．3-
B ． 0
C ． 3
D ．3±
4．设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲
线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ） A ．—
4
1
B ．4
C ．2
D ．—
2
1 5．已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积最大的是 （ ） A ．AC AB • B ． AD AB • C ． AE AB • D ． AF AB •
6．已知113cos ,cos(),714ααβ=
-=且02π
βα<<<，
则β= （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．512
π
7．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =，一种是平均价格曲线)(x g y =（如3)2(=f 表示开始交易后2小时的即时价格为3元，4)2(=g 表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图像中，实线表示)(x f y =，虚线表示)(x g y =，其中可能正确的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有
|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”
，[],a b 称为“密切区间”，设2
()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切
区间”可以是 （ ）
A ．[1,4]
B ． [2,4]
C ． [3,4]
D ． [2,3] 二、填空题（每题５分，共35分） 9．已知()f x 是偶函数，且6
6
6
()8,()f x dx f x dx -==
⎰
⎰则
10．设31
sin (), tan(),522
πα
αππβ=<<-=则tan(2)αβ-的值为 11．已知直角坐标平面内的两个向量
(1,3),(,23)a b m m ==-r r
，使得平面内的任意一个向 量c r 都可以唯一的表示成c a b λμ=+r r r
，则m 的取值范围是 ．
12．函数
()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()20=f ，则)2010(f =
13．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mL mg /3.0，在停止喝酒后，血
液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过mL mg /09.0，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少要经过 小时才能开车．（精确到1小时）
14． 设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时'()()()'()0f x g x f x g x +>
且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为 15． 对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题；
①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称；
②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图像关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称。

其中正确命题为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本题满分12分）
已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，向量(4,1),m =-u r
2(cos ,cos 2)2A n A =r ，且72
m n ⋅=u r r ．
（1）求角A 的大小； （2
）若a =
b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．
17．（本题满分12分）
已知函数52)(2
+-=ax x x f （1>a ）．
（1）若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；
（2）若对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．
18．（本题满分12分）
为迎接国庆60周年，美化城市，某市将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，如图所示。

要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB |＝3米，|AD |＝2米．
（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）若AN 的长度不小于6米，则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最
小？并求出最小面积．
19． （本题满分13分）
已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2
R ，且)2-≠a ．
（I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析
式；
（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2
+∞+a 上是增函数； 命题Q ：函数)(x g 是减函数．
如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； （III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小． 20．（本小题满分13分）
已知函数1ln ()x
f x x
+=
． （Ⅰ）若函数在区间1
(,)2
a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；
21．(13分) 如果定义域为[]1,0的函数()x f 同时满足以下三个条件:
① 对任意的[]1,0∈x ，总有()x f ≥0； ②()11=f ；
③若0,021≥≥x x 且121≤+x x ，则有()()()2121x f x f x x f +≥+成立。

那么称()x f 为“友谊函数”。

请解答下列各题：
（1）若已知()x f 为“友谊函数”，求()0f 的值；
（2）函数()12-=x
x g 在区间[]1,0上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知()x f 为“友谊函数”，假定存在[]1,00∈x ，使得()[]1,00∈x f 且
()[]00x x f f =，求证：()00x x f =。