例析二次函数最值问题的错误类型

例 析 二 次 函 数 最 值 问 题 的 错 误 类 型
张 露 清
（ 东 莞 市 望 牛 墩 中学 ， 广东 东莞 ５ ２ ３ ２ ０ ０）
摘 要： 二 次 函数 的 性 质 与 图像 是 初 中数 学 的 重 要 内容 之一 ． 关 于 二 次 函 数 最 值 问题 及 其 应 用也 是 中考 常见 题 型 ． 本 文对这类题型常见的错误进行分析讨论 ， 对症 下药， 寻找解 决
策略．
设计 ， ｘ 的取值范围为 （ ０ ， ２ ４ ］ ．
１
错误二 ： 按照图１ 的设计可得 ， ｘ ∈（ ０ ， ２ ４ ］ ． 函数ｓ ＝ 一 ÷ｘ —
Ｚ
关键词 ： 二 次 函数
最值 问题
常见 错 误
有 关 二 次 函 数 的 性 质 与 图像 是 初 三 升 中考 试 的 必 考 知 识 点． 数 学 教 师 在 教学 中 常 会 有 这 样 的 经 历 ， 许 多 学 生 在 解 决 二 次 函 数 最 值 问 题 时 会 反 复 出 现 相 似 的 错 误 ．面 对 这 些 常 见 错 误。 大 家 可 能会 用 “ 粗心 大意” 或是 “ 思 维呆 板 ” 来 解释． 但 深 入 分 析会 发 现 ， 这些错误都存在着一定的根源． 课 堂 上 通 常 会 选 择 大 量 的相 关 题 型训 练 来 达 到 巩 固知 识 方 法 的 目的 ， 但效果 甚微． 笔者认 为 。 消 除 错 误 的 关 键 是 要 帮 学 生 剖 析 清 楚 错 误 的原 因 ．再 者 。学 生 训 练 的题 目不 在 于 量 多． 而需教师精选典型题 目， 最 好 是 在 综 合 应 用 时 选 择 一 两 道 能 集 中 反 映 各 类 问 题 的 题 目 ，通 过 对 问题 的解 决 让 学 生 有 比 较整体 、 综 合的认识 ， 从 而 获 得 相 应 的方 法 技 能 ． 下 面 通 过 一 个 具体 的 例 子对 学 生 在 解 决 二 次 函数 最 值 问题 时 的 常 见 错 误 进 行探 讨 ． 例： 若 利 用 景 区 内 一堵 长 为 ２ ４ 米的墙和一卷长 １ ２ ０ 米 的展 布围成矩形展览区 ． 怎样设计可使展览区的面积最大？ 学 生 要 着 手 解 决 这 个 问 题 倒 不 是 难 事 ．通 常 有 以 下 几 种 解题思路： 错误 一 ： 如图１ ， 设 矩 形展览 区的一边 Ａ Ｂ 为Ｘ 米， 则Ｂ Ｃ 为
为ｘ 米， ． ￥ Ｊ １ Ｂ Ｃ￣ １ ２ ０ － ｘ － （ ｘ － ２ ４ ） 一（ ７ ２ ） 米 这 样 设 计 展 览 区 的 最
．２ Leabharlann 大 面积 与 图 １ 相 比， 谁更大 ？
曰
图２
展 区面 积ｓ ： ｘ． — １ ２ ０
－
—
ｘ
： 一— ｘ ＋ ６ ０ ｘ 一
２
１ ２ ０ － ｘ￣
一
６ ０ ） ‘ ＋ １ ８ ０ ０ ｑ ￣区 间ｆ ０ ， ２ ４ ］ 上是增函数 ， 所 以 当ｘ ＝ ２ ４ 时 取 得 最 大 面 积 为１ １ ５ ２ 平方米． 乍 一 看 上 述 解 答 已几 近 完 美 ． 既利 用 了 二 次 函 数 的 性 质 ， 又 考 虑 到 了ｘ 的实 际取 值 范 围． 然 而， 我 们 还 忽 略 了 另外 一 种 设 计情况 ． 如 图２ 设 计 矩 形 展 览 区Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， 墙Ｄ Ｅ 的长为２ ４ 米 ， 设Ａ Ｂ
１ ｆ ｘ
一
．
２
２
２
６ ０ １ ＋
１ ８ ０ ０ ． 根 据二次 函数的性 质 ． 当ｘ ＝ ６ ０ 时． 展 览 区取 得 最 大 面 积 为１ ８ ０ ０ 平方米．
Ｄ Ｃ
（ １ ２ ｏ － 曲／ ２
Ａ ｘ Ｂ
图１
以上 解 答 没 有 考 虑 到 实 际情 况 中 的 取 值 范 围 ， 根据图１ 的 （ 上 接第 ５ ２页 ） 动， 让学 生通 过亲身 经历 、 直 接参 与 ， 在 活 动 中思考 ． 在实 践中体验生 活 ， 产 生思想 ． 这样 学生才 会有各 自 的真切感受 ， 作 文 才 会 有 血有 肉 ， 富有个性。 ２ ． 在 作 文教 学 中 ． 改 变课 堂教 学 的组 织 形 式 。要 允许 学生 根 据 不 同 的 教 学 要 求 和 内容 ， 自 由组 合 坐 在 一 起 ， 有 时让 他 们 找 自 己的 好 朋 友 商 量 ． 有 时 把 选 材 相 同或 相 近 的 编 为 一 组 ． 让 他 们 交 流 各 自不 同 的想 法 ， 这 样组织形 式 ， 既 有 统 一 的要 求 ， 又有个人 的心情舒 畅 ， 他们 可以畅所 欲言 。 愉快交 谈 ， 本 来 枯 燥 的 教 学 气 氛 就 会 变 得 生 动 活 泼 ．学 生 的 个 性 也 可 以得 到 充 分的发展 。 五、 培 养 学 生 自改 作 文 的 能 力 “ 文 章不 厌 百 回改 ” 是古人的经验之谈。 在作文教学 中。 往 往是教师命题 ， 学生 “ 奉命作文 ” ， 作 完“ 交差 ” ， 敷衍了事 ， 而 教 师把一大堆作文收来 ， 花 费 许 多 的时 间 和精 力 ， 把 学 生 作 文 斟 词酌句修 改成 “ 满篇红 ” ， 大 多 数 学 生 拿 回作 文 只看 看 评 语 和 分数 ． 很少探 究老师为什 么这样修 改 自己的作文 ． 结果 是 ． 老 师费尽心思竟然毫无效果 。“ 能不能把古 老的传统变一变 ， 让
正 确解 答 ： 根 据 图２ 的设计 ， ｘ ＋ ｆ ｘ 一 ２ ４ ） ＜ １ ２ ０ ， 得ｘ ＜ ７ ２ ， 所 以 ｘ Ｅ［ ２ ４ ， ７ ２ ） ． 展览 区面积Ｓ ＝ Ｘ ・ （ ７ ２ 一 ｘ ） 一 ｘ 一 ３ ６ ） ＋ １ ２ ９ ６ ， 当ｘ ＝ ３ ６ 时 取 得 最 大 面积 为 １ ２ ９ ６ 平方米． 按 照图１ 进 行 设 计 矩 形 展 览 区 是 由思 维 定 势 引 起 的 ． 根 据 题 意 学 生 不 自觉 地 限 定 与 墙 平 行 的一 边ＡＢ ≤２ ４ 米。 因此有 了 错 误 一 和 错 误 二 ．而 错 误 一 的 另 一 个 典 型 错 误 就 是 由 于 学 生 在 处 理 实 际 问题 时常 常 忘 记 要 结 合 实 际 对 变 量 进 行 讨 论 ． 图２ 的设 计 则考 虑 到 了 其 他 可 能 的 实 际 情 况 ， 通 过 计 算 发 现 图２ 的 设 计 能 保 证 展 览 区取 得 最 大 面 积 ．此 设 计 方 案 同 时也 说 明 了 “ 在 周 长 一 定 的矩 形 中 ． 正 方 形 的面 积 最 大 ” 这 一 结论 ． 数 学来源于生活 ． 又应用 于生活． 新 课 程 标 准 特 别 强 调 培 养 学 生 对数 学 的 应 用 意 识 ，有 关 实 际 问题 的 数 学 题 目也 层 出 不穷， 别有新 意． 然而 ， 即使 是 学 生 对 数 学 的 概 念 和 原 理 已 熟 练 掌握 ，在 处 理 实 际 问 题 时 由于 没 能结 合 具 体情 况 进 行 讨 论 仍 然 会 出现 各 种 各 样 的 错 误 ．在 实 际教 学 中 应 重 视数 学 与 实 际的联系和应用 ， 创 设 各种 与 现 实 生 活 相 关 的 问题 情 境 ， 在 培 养 学 生 解 决 实 际 问 题 能 力 的 同 时增 强其 对 数 学 的应 用 意 识 ． 学生处 于主动地位 呢？假如着重 在培养学 生改 的能力 ， 老 师 只给些 引导和指点－ ，该 怎 样 改 让 学 生 自己 去 考 虑 去 决 定 ， 学 生不就处 于主动地位 了吗？培养 了 自己改作文 的能力 ， 是 终 身 受 用 的” 。 叶圣 陶先 生 指 出 了 传 统 作 文 教 学 中存 在 的 问题 ， 阐 明 了培 养 学 生 自改 作 文 能 力 的 重 要 性 ， 并 提 出 了作 文 教 学 要创新 ， 这充分体 现了 “ 教是为 了不教 ” 的教 学 思 想 。 在 学 生 自改 作 文 的 过 程 中 ，老 师 应 引导 他 们 从 以 下 五 个 方 面 思 考 ， 发现问题 ， 进 而修 改 文 章 ： （ １ ） 文 章 思 想 内容 是 否 健 康 ； （ ２ ） 文 章 与中心是 否相符 ； （ ３ ） 文章结 构是 否完 整 ， 主 次是否 分 明 ， 详 略是否 妥当 ， 前后 是否 呼应 ， 过 渡 是 否 自然 ； （ ４ ） 用 词 造 句 是否恰 如其分 ， 标点符号是 否正确 等 ； （ ５ ） 能 否 表 达 出 自 己 的 真情实感等 。 冰冻三尺 ， 非一１ ３之 寒 ， 提 高学 生 的 作 文 水 平 要 做 到 持 之 以恒。 教 师在 作 文 教 学 中 只要 走 对 了路 子 ， 注重 激 发 学 生 的作 文兴趣 ， 尊 重 学 生 个 性 的发 展 ， 让 他们积极 投身生 活 ， 把 作 文 和社会 生活紧密结合起 来 ， 日积 月 累 ， 潜移 默化 ， 就 会 取 得 事 半功倍的效果。