山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学(理)试题
2019-2020学年高二数学12月月考试题理 (II)
2019-2020学年高二数学12月月考试题理 (II)试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A． B． C． D．2、若向量，，则（）A. B. C. 3 D.3、已知两点，，点为坐标平面内的动点，且满足，则动点的轨迹方程为（）A． B． C． D．4、一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（）A.t=0B. t=1C. t=3D.t=1和t=35、若点为椭圆上一点，则（）A． B． C． D．.6、已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A．B．1 C．D．27、已知，为的导函数，则的图像是（）8、在下列四个命题中，①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；②若，则；③“”是“”的必要不充分条件；④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )A． B． C． D．10、若在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.11、已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为( )A． B． C． D．12、函数的定义域是, 是它的导函数,且在定义域内恒成立，（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、命题“，”的否定是．14、19．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．15、设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．16、已知函数在上有两个零点，则的取值范围是___________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分10分）.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．(2)￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18（本小题满分12分）.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，E、F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求证：EF⊥B1C.(2)(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值．19（本小题满分12分）已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．20（本小题满分12分）.在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB1的中点．(1)求证：CE∥平面A1B1C1；(2)求二面角B1－AC1－C的大小．21（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为..(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋3x－，g(x)＝x－(m＋1)ln x－，m∈R.(1)求函数g(x)的极值；(2)若对任意x1，x2∈[1，e]，f(x1)－g(x2)≤1恒成立，求m的取值范围．一、选择题。
山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学(理)试题
山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题p ：若1a <，则21a <.下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是：若1a <，则21a <D ．命题p 的逆否命题是：若21a ≥，则1a <2．设m ，n 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题： ①若m α⊥,//m β,则αβ⊥； ②若m α⊂,n ⊂α,//m β,//n β,则//αβ； ③若//m α,//n α,则//m n ； ④若m α⊥,//n β,//αβ,则m n ⊥． 其中所有正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 3．已知,x y R ∈，则“22(2)8x y +-≤”是“60x y -+>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知命题()002:,log 310x P x R ∃∈+≤，则（ ）A ．P 是假命题；()2:,log 310x P x R ⌝∀∈+≤B ．P 是假命题；()2:,log 310x P x R ⌝∀∈+>C ．P 是真命题；()2:,log 310x P x R ⌝∀∈+≤D ．P 是真命题；()2:,log 310x P x R ⌝∀∈+> 5．已知()1,1是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的斜率是（ ） A ．12- B ．12 C ．14- D ．146．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ） A ．45 B ．23 C ．12 D ．257．某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为40，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A B C ．23 D ．458．在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与, A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤ 10．已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -外接球的表面积为283π，112,A BE =为11A B 的中点，则直线BE 与平面11BB C C 所成角的正弦值是（ ）A B C D 11．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论：①BD 平面11CB D ；②1AC BD ⊥；③1AC ⊥平面11CB D ；④直线11B D 与BC 所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错．误．的是（ ）A ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F BD ⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A E EF = D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30二、填空题13．已知:14p x a -<+<，()():230q x x -->，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是_______．14．已知焦点在x ，且它的长轴长等于圆O ：224120x y x +--=的半径，则椭圆的短轴长是________.15．在平面直角坐标系xOy 中，,M N 是两定点，点P 是圆O ：221x y +=上任意一点，满足：2PM PN =，则MN 的长为.16．如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为_________.三、解答题17．设命题:p 实数x 满足22320x mx m -+<，命题:q 实数x 满足()221x +<. （1）若2m =-，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若0m <，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（2）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.19．在四棱锥AB 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆是边长为4的等边三角形，BC PB ⊥，E 是AD 的中点.（1）求证：BE PD ⊥；（2）若直线AB 与平面PAD PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，过点(0,)A b -和(,0)B a 的（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于,P Q 两点，求1F PQ 面积的最大值.21．如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 为正方形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=2BC=1．（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABF ．（2）若AF ⊥平面ABCD ，二面角A-BC-E 为30°，三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，求二面角A-CD-O 的余弦值．22．在直角坐标系xOy 中，已知圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点满足OM AM ON +=，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，求OT 的取值范围.参考答案1．B【分析】运用命题的知识逐一判断即可【详解】已知命题p ：若1a <，则21a <.当2a =-时，2(2)41-=>，∴命题p 为假命题，∴A 不正确；命题p 的逆命题：若21a <，则1a <，为真命题，∴B 正确；命题p 的否命题：若1a ≥，则21a ≥，∴C 不正确；命题p 的逆否命题：若21a ≥，则1a ≥，∴D 不正确.故选：B【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.2．D【分析】对四个命题进行逐一判断,①正确,②当//m n 时,α,β肯能相交，所以错误,m ③,n 的位置还可能是相交和异面；【详解】 解：//m β①，则β内一定存在一条直线l ，使得//m l ，又m α⊥，则l α⊥，所以αβ⊥，所以正确，②当//m n 时，α，β可能相交，所以错误，m ③，n 的位置还可能是相交和异面；故选：D ．【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系,属于基础题．3．D【分析】画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项.【详解】不等式()2228x y +-≤表示圆内和圆上，不等式60x y -+>表示直线的右下方.画出图像如下图所示，由图可知，A 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.4．B【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题P 的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得；【详解】解：因为30x >，所以311x +>，则()2log 310x +>，所以P 是假命题，()2:,log 310x P x R ⌝∀∈+>故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及真假判断，属于基础题.5．C【分析】设直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段AB ，1(A x ，1)y ，2((B x ，2)y 利用点差法可求直线的斜率.【详解】解：设直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段AB ，1(A x ，1)y ，2((B x ，2)y 因为线段AB 中点为(1,1)，122x x ∴+=，122y y +=22111369x y +=，22221369x y += 12121212()()()()0369x x x x y y y y -+-+∴+=， 12121212()()1()()4y y y y x x x x -+∴=--+ 121214y y x x -∴=--， 121214AB y y k x x -∴==--，即直线l 的斜率是14-． 故选：C ．【点睛】本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题．6．B【解析】分析： 详解：由椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1200F c F c -（，），（，）， P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，有122F F c =，根据正弦定理121222,,4,,sin 36sin 3F F c R R R r r F PF π==∴==∴=∠ 由余弦定理，()22212121222cos ,c PF PF PF PF F PF =+-∠ 由122,PF PF a +=123F PF π∠= ，可得()221243PF PF a c =- ，则由三角形面积公式()1212121211sin ,22PF PF F F r PF PF F PF ++⋅=∠ 可得()()224222,.33c a c a c e a +=-∴== 故选B ． 点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．7．A【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长侧棱与底面所成角的正切值即可【详解】由三视图可知，该四棱锥的底面是长为6，宽为5的矩形，设高为h ， 所以165403V h =⨯⨯⨯=，解得4h =，=. 故选：A【点睛】 本题解答的关键是画出直观图，考查线面角的求法，属于基础题.8．B【分析】过点A 作AE MN ⊥，连接1A E ，首先证明平面1A AE ⊥平面1A MN ，即可得1AA E ∠为1AA与平面1A MN 所成的角，进而可得12,AE A E ==24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN =+≥=，从而可求出截面1A MN 面积的最小值. 【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ， ∴1A A MN ⊥， ∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ， ∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中，∵12AA =，∴12,AE A E == 在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN =+≥=， 当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题. 9．D 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 10．D 【分析】先由条件求出此正三棱柱的底面边长和高，然后根据图形作出直线BE 与平面11BB C C 所成角即可求出答案. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -外接球的球心为O ，半径为R ，ABC 的中心为1O ，连接1,OO OC ，如图，由题意知22843R ππ=，解得3R =，即3OC =， 因为112A B =，所以1113O C O O ===， 所以12BB =，取11B C 的中点D ，则1A D ⊥平面11BCC B ，取1B D 的中点F ，则1//EF A D ， 所以EF ⊥平面11BCC B ，所以EBF ∠就是直线BE 与平面11BCC B 所成的角，因为121EF A D FB ====所以EF BE EBF BE ==∠==故选：A 【点睛】本题考查的知识点是几何体的外接球和线面角的求法，属于中档题. 11．D 【解析】中，由正方体的性质得11BD B D ，所以BD 平面11CB D ，故正确；中，由正方体的性质得AC BD ⊥，而AC 是1AC 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理知，1AC BD ⊥，故正确中由正方体的性质得11BD B D ，由知，1AC BD ⊥，111AC B D ∴⊥，同理可证11AC CB ⊥，故1AC ⊥平面11CB D 内的两条相交直线，所以1AC ⊥平面11CB D ，故正确；中异面直线11B D 与BC 所成的角就是直线BC 与BD 所成的角，故CBD ∠为异面直线11B D 与BC 所成的角，在等腰直角BCD 中，45CBD ∠=︒，故直线11B D 与BC 所成的角为45°，故正确； 故答案选D 12．A 【解析】 【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】对于A ，当点F 移动到1BC 的中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小到大再到小，如图1所示；且F 为1B C的中点时最大角的余弦值为11132OF A F ==<，最大角大于60︒，所以A 错误；对于B ，在正方形中，1DB ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，所以11A F B D ⊥，因此B 正确；对于C ，F 为1BC 的中点时，也是1B C 的中点，它们共面于平面11A B CD ，且必相交，设为E ，连1A D 和1B F ，如图2，根据△1A DE ∽△1FB E ，可得1112A E DA EF B F==，所以C 正确；对于D ，当点F 从B 运动到1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大到小再到大，且F 为1B C 的中点时最小角的正切值为21=>，最小角大于30，所以D 正确；故选A ． 【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 13．[]3,1- 【分析】先化简命题p 和q,再根据已知得到a 的不等式组，解不等式组即得解. 【详解】由题得命题p: 14a x a --<<-, q: 2＜x ＜3，因为p ⌝是q ⌝的充分条件， 所以q 是p 的充分条件，所以1243a a --≤⎧⎨-≥⎩，解之得31a -≤≤.故答案为：[]3,1- 【点睛】本题主要考查充分条件和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】先将圆的方程化为标准形式，得到半径，从而就得到了a ，然后由离心率为2可求出c ，进而算出b 即可. 【详解】圆C 的方程可化为22(2)16x y -+=，半径为4， ∴椭圆的长轴长24a =， ∴2a =.又离心率2c e a ==，∴c b ===∴椭圆的短轴长是故答案为：【点睛】本题考查的是圆的方程的互化和椭圆中,,a b c 的运算，较简单. 15．32【分析】不妨就假设,M N 在x 轴上，设(,0),(,0),(,)M m N n P x y ，由2PM PN =可得2222284033m n n m x y x --+++=，然后和方程221x y +=对比，就可以求出,m n【详解】由于,M N 是两定点，不妨就假设,M N 在x 轴上如图所示：设(,0),(,0),(,)M m N n P x y ，2PM PN =，∴224PM PN =，∴2222()4()x m y m n y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，即22222224844x mx m y x nx n y -++=-++，22223(28)340x m n x y n m +-++-=，2222284033m n n m x y x --+++=与221x y +=表示同一个圆.∴22280{413m n m n -=-=∴2{12m n ==或2{12m n =-=-∴32MN =. 故答案为：32.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单. 16．6 【分析】由三视图画出直观图即可 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是如图所示的四棱锥，最长的棱是AB ，且6AB ==故答案为：6. 【点睛】由三视图得到直观图常常借助长方体. 17．（1）()4,1--；（2）(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）解出命题p 、q 中的不等式，由p q ∨为真，得出p 真或q 真，然后将两个不等式的解集取并集可得出结果；（2）解出命题p 、q ⌝中对应不等式的解集，由两个条件之间的充分不必要条件关系，可得出两个解集之间的包含关系，然后列关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）当2m =-时，2:680p x x -+<，即42x -<<-.由()221x +<，得31x -<<-.若p q ∨为真，即p 真或q 真，{}{}{}423141x x x x x x -<<-⋃-<<-=-<<-. 因此，实数x 的取值范围()4,1--；（2）若0m <，22:320p x mx m -+<，即2m x m <<.:31q x -<<-，:3q x ⌝≤-或1x ≥-，且p 是q ⌝的充分不必要条件，则03m m <⎧⎨≤-⎩或021m m <⎧⎨≥-⎩，即3m ≤-或102m -≤<.因此，实数m 的取值范围(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，以及由命题的充分必要性求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，利用集合包含关系列不等式（组）求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 18．（Ⅰ ）3；（Ⅱ）14AM AP =. 【解析】分析：（Ⅰ ）取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，由已知可得CO ⊥AD ，PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），进一步求出向量PB PD PC 、、的坐标，再求出平面PCD 的法向量n ，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由n PB sin cos n PB n PBθ⋅==＜，＞求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅱ）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAPλ=，M （0，y 1，z 1），由AM AP λ=可得M （0，1﹣λ，λ），()1BM λλ=--，，，由BM ∥平面PCD ，可得 0BM n ⋅=，由此列式求得当14AM AP =时，M 点即为所求． 详解：(1)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），则()()111011PB PD =-=--，，，，，，()()201210PC CD =-=--，，，，，， 设()001n x y =，，为平面PCD 的法向量， 则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0010210y x --=⎧⎨-=⎩，则1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则n PB sin cos n PB n PBθ⋅==＜，＞==； (2) 假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAPλ=，M （0，y 1，z 1）， 由（Ⅱ）知，A （0，1，0），P （0，0，1），()011AP =-，，，B （1，1，0），()1101AM y z =-，，，则有AM AP λ=，可得M （0，1﹣λ，λ）， ∴()1BM λλ=--，，，∵BM ∥平面PCD ，1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，为平面PCD 的法向量，∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，解得14λ=． 综上，存在点M，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19．(1)见证明；(2) 6【分析】（1）由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD .可得PE BC ⊥ ，PE BE ⊥，结合BC PB ⊥得BC ⊥平面PBE .由BC BE ⊥，可得AD BE ⊥，得到BE ⊥平面PAD ，从而可得结果；（2）根据直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值为15,可求得8AB =， 215BE =，以EA ，EB ，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面PBC 的一个法向量，结合平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）因为PAD △是等边三角形，E 是AD 的中点， 所以PE AD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD .所以PE BC ⊥，PE BE ⊥又因为BC PB ⊥，PB PE P =，所以BC ⊥平面PBE .所以BC BE ⊥.又因为//BC AD ，所以AD BE ⊥.又AD PE E =且AD ，PE ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD .所以BE PD ⊥.（2）由（1）得BE ⊥平面PAD .所以BAE ∠就是直线AB 与平面PAD 所成角.因为直线AB 与平面PAD，即sin BAE ∠=，所以1cos 4BAE ∠=. 所以21cos 4AE BAE AB AB ∠===，解得8AB =.则BE ==由（1）得EA ，EB ，两两垂直，所以以E 为原点，EA ，EB ，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点(0,0,P ，(2,0,0)A ，(2,0,0)D-(0,B，(4,C -，所以(0,PB =-，(4,PC =--.令平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则由·0,·0,PB m PC m ⎧=⎨=⎩得30,40,z x ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得0,,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1y =，可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,5)m =；易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为θ，则(0,1,cos 6m n m n θ⋅===.所以平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为6【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）2213x y +=；（2 【分析】（1）写出直线AB2=，再结合3c e a ==求出,,a b c 即可（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为：x ky =+可得()22310k y ++-=，然后韦达定理得1221221,33y y y y k k +=-=-++，然后由1121212F PQS F F y y ∆=⋅-可算出123F PQ S k ∆=+，然后求出其最大值即可 【详解】 (1)直线AB 的方程为1x y a b +=-， 即0bx ay ab ，原点到直线AB=， 即2222334a b a b +=.由c e a ==， 得2223c a =， 又222a b c =+，所以2223,1,2a b c ===，故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. (2)由(1)可得12(F F . 设()()1122,,,P x y Q x y ，由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ky =+由22{13x ky x y =++=，得()22310k y ++-=，所以1221221,33y y y y k k +=-=-++. 所以 1121212F PQ S F F y y ∆=⋅-==23k =+. t =，则1t ≥，则12122F PQ t S t tt ∆==≤++，当且仅当2tt ==，即1k =±时，1F PQ ∆.【点睛】1. 涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法2.一个复杂的函数要善于观察其特点，通过换元转化为常见函数.21．（1）详见解析；（2【分析】证明AD ⊥平面ABF 即可证明平面ADEF ⊥平面ABF ；（2）由题确定二面角A BC E --的平面角为ABF ∠，进而推出O 为线段BE 的中点，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz ，-由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AD AF ⊥，又AD AB ⊥，AB AF A ⋂=，所以AD ⊥平面ABF .因为AD ⊂平面ADEF ，所以平面ADEF ⊥平面ABF .（2）解：由（1）知AD ⊥平面ABF ，又AD BC ，则BC ⊥平面ABF ，从而BC BF ⊥， 又BC AB ⊥，所以二面角A BC E --的平面角为ABF 30∠=.以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()D 0,1,0，1C ,02⎫⎪⎭，()F 0,0,1. 因为三棱锥A BDF -的外接球的球心为O ，所以O 为线段BE 的中点， 则O的坐标为11,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31OC ,0,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面OCD 的法向量为()n x,y,z =，则nOC n CD 0⋅=⋅=，即10,210,2x z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x 1=，得()n 1,23,3=.易知平面ACD 的一个法向量为()m 0,0,1=，则3cosm,n 16==⨯由图可知，二面角A CD O --为锐角，故二面角A CD O --的余弦值为4. 【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O 的位置是关键，是中档题. 22．（1）2214x y +=（2）2⎣ 【分析】（1）设动点()00(,),,M x y A x y ，根据相切得到圆221:4C x y +=，向量关系得到002x x y y =⎧⎨=⎩，代入化简得到答案.（2）考虑PQ 的斜率不存在和存在两种情况，联立方程利用韦达定理得到2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，根据1214k k =-得到2231|0|2,242T m ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得到答案.【详解】（1）设动点()00(,),,M x y A x y ，由于AN x ⊥轴于点N ，∴()0,0N x ，又圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+∴2r ==，则圆221:4C x y +=. 由题意，OM AM ON +=，得()()000(,),,0x y x x y y x +--=， ∴000220x x x y y -=⎧⎨-=⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩， 又点A 为圆1C 上的动点，∴2244x y +=，即2214x y +=； （2）当PQ 的斜率不存在时，设直线1:2OP y x =，不妨取点2P ⎭，则2Q ⎭，T ，∴OT ＝当PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ， 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222148440k x kmx m +++-=. ∴2121222844,1414km m x x x x k k --+==++. ∵1214k k =-，∴121240x y x y +=. ∴()()()()221212121241444kx m kx m x x k x x km x x m +++=++++ 2222232444014k m m m k=-+=+.化简得：22214m k =+，∴212m ≥. ()()()222222264441441641160k m k m k m m ∆=-+-=+-=>. 设()33,T x y ，则1233321,22x x k x y kx m m m+-===+=. ∴2222332224131|0|2,2442k T x y m m m ⎡⎫=+=+=-∈⎪⎢⎣⎭∴||2OT ∈⎣.综上，OT 的取值范围是2⎣. 【点睛】本题考查了轨迹方程，线段长度的取值范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
山西省运城市2019-2020学年高二上学期期末调研测试试题 数学(理)【含答案】
山西省运城市2019-2020学年高二上学期期末调研测试试题数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线221169x y-=的焦距是A.6B.10C.8D.272.设直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为A.1B.2C.12D.33.命题“在△ABC中，若sinA＝12，则A≠30°”的否命题是A.在△A BC中，若sinA＝12，则A≠30° B.在△ABC中，若sinA≠12，则A＝30°C.在△ABC中，若sinA≠12，则A≠30° D.在△ABC中，若A≠30°，则sinA≠124.已知命题p：“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－4＝0与l2：x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的充要条件；命题q：对任意x∈R，总有2x>0。
则下列命题为真命题的是A.(⌝p)∨(⌝q)B.p∧(⌝q)C.p∧qD.(⌝p)∧q5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB.若α//β，m⊥β，则m⊥αC.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD.若α⊥β，m⊥β，则m//α6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠DAD＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是A.24B.28C.34D.387.圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋3＝0与圆C 2：(x ＋1) 2＋(y －a) 2＝16恰有两条公切线，则实数a 的取值范围是A.[－4，4]B.(－4，4)C.(－4，0)∪(0，4)D.[－4，0)∪(0，4]8.过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若|NF|＝10，则|MF|＝A.163B.253C.283D.3239.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠ACB＝90°，BC ＝CC 1＝1，AC ＝32，P 为BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为A.25B.1＋32C.1＋25D.510.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童。
山西省运城市2019-2020学年第一学期期中调研测试理科数学试题(4页)
山西省运城市2019-2020学年第一学期期中调研测试理科数学试题高三数学（理科）试题本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名，准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（ ）. A. ∅B. (0,1)C. (1,1)-D. R2.tan315︒=（ ）.A. B. -1 C.2D. 13.已知命题:0>p a 是0ab >的充分不必要条件，:q 命题“x R ∀∈，都有20x >”的否定为“0x R ∃∈，使得020x ≤”，则下列命题为真命题的是（ ）. A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝4.已知向量,a b rr 满足()0,1a =r ，()a a b ⊥-r r r ，则()3a a b ⋅-=r r r （ ）.A. 4B. 3C. 2D. 15.数列{}n a ，满足12a =，()111++=∈-n na n N a ，则2019a =（ ）. A. -2B. -1C. 2D.126.等边ABC n 的边长为1，点D 在线段AC 上，且AD AC λ=u u u r u u u r ，ADE n 也是等边三角形，且EA u u u r //CB u u ur ，若3BE BD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 17.已知函数()2()(1)sin 21=--++f x x x x x 在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）. A. 4B. 2C. 1D. 08.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0,||2⎛⎫><⎪⎝⎭πωϕ的部分图像如图所示，则为了得到函数()f x 的图像，只需将函数cos 6⎛⎫=+⎪⎝⎭y x π的图像（ ）.A. 先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移2π个单位； B. 先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再向右平移2π个单位； C. 先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移512π个单位；D. 先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再向右平移512π个单位；9.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=--，且(1)2->f ，若2(9)36=--f a a ，则a 的取值范围为（ ）. A. (1,4)- B. (,1)(4,)-∞-+∞U C. (4,1)-D. (,4)(1,)-∞-+∞U10.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m r ()a =与n r(cos ,sin )A B =平行，a =ABC V 的周长的取值范围为（ ）.A. (3+B.C.D. (11.已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数，()y f x '=是它的导函数，且4()3()'=+x xf x e x f x ，(1)f e =则不等式2(1)8->f x e 的解集为（ ）.A. (,1)1,)-∞⋃++∞B. 1,)+∞C. (,1)(3,)-∞-+∞UD. (3,)+∞12.已知函数22,0(),0⎧≤=⎨>⎩xx x f x e x ，若关于x 的方程2[()]1=-f x a 恰有两个不同实数根1x ，2x ，则12x x +的最大值为（ ） A. 2B. 3ln 22-C. 3ln2D. 3ln22+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2cos()cos 2⎛⎫=+++⎪⎝⎭f x ππαα最大值为________.14.在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则cos ABD ∠=______.15.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且321-=+n n n S T n ，则35=a b ________. 16.已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x .（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 18.已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4n n S a =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设212log n n b a =-（*n N ∈），数列{}2n n b b +⋅的前n 项和为n T ，求证：34n T <19.在ABC n 中，M 是边BC的中点，cos 5∠=BAM，cos 10∠=-AMC，AM =. （1）求AMC n 的面积； （2）求ABC n 的周长.的20.已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足：n N +∀∈时，都有12112++++=…n n nc c ca b b b 成立，记{}n c 的前n 项和为n S ，求2019S . 21.已知函数()2()=++xf x x mx m e ，()m R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()≥-f x e 恒成立，求实数m 的取值范围. 22.已知函数2()ln ()2a f x x x x x a R =--∈在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求函数a 取值范围；（2）记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且120x x <<，证明对任意实数1λ≥，都有不等式112+<ex x λλ成立.的。
2019-2020学年山西省运城市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省运城市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．曲线221169x y -=的焦距是（ ）A ．6B ．10C ．8D ．【答案】B【解析】该方程表示的是双曲线，利用双曲线中a b c 、、的关系运算即可.【详解】该方程表示的是双曲线，其中2216,9a b ==所以22225c a b =+=所以5c =所以焦距为10故选：B【点睛】本题考查的是双曲线的基础知识，较简单. 2．设直线1l 的方向向量(1,2,2)a =-r ，直线2l 的方向向量(2,3,)b m =-r ，若12l l ⊥，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】B【解析】由12l l ⊥可得出a b ⊥r r ，然后计算即可 【详解】因为12l l ⊥，所以a b ⊥r r因为(1,2,2)a =-r ，(2,3,)b m =-r所以()()122320m ⨯-+⨯+-⨯=解得2m =,故选：B.【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.3．命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是（ ） A ．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A ≠︒B ．在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A =︒ C ．在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒D ．在ABC ∆中，若30A ≠︒，则1sin 2A ≠ 【答案】C【解析】命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”【详解】因为命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”所以命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是 “在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒” 故选：C【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.4．已知命题p ：“1a =”是“直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行”的充要条件；命题q ：对任意x ∈R ，总有20x >.则下列命题为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ⌝∧ 【答案】C【解析】分别判断出命题p 和命题q 的真假即可选出答案【详解】 对于命题p ：由12l l P 可得：(1)2024a a a +-=⎧⎨⨯≠-⎩解得1a =，所以命题p 正确因为对任意x ∈R ，总有20x >所以命题q 正确故p q ∧为真命题故选：C【点睛】直线1111:+c =0l a x b y +与2222:+c =0l a x b y +平行的充要条件是122112210a b a b a c a c -=⎧⎨≠⎩ 5．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB ．若//αβ，m β⊥，则m α⊥C ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，则//m a【答案】B【解析】利用空间中平行和垂直的相关性质判断即可.【详解】对A 答案：若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m 与n 异面B 答案正确对于C 答案：若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交、异面都可能对于D 答案：若αβ⊥，m β⊥，则//m a 或m α⊂故选：B【点睛】本题考查的是空间中线和面的位置关系，考查简单的空间想象力.6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，145DAD ∠=o ，130CDC ∠=o ，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（ ）A ．2B ．28C 3D 3 【答案】A【解析】可证得四边形11ADC B 为平行四边形，得到11//AB C D ，将所求的异面直线所成角转化为11B AD ∠；假设11DD CC a ==，根据角度关系可求得11AB D ∆的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.【详解】连接1AB ，11B D11//AD B C Q ∴四边形11ADC B 为平行四边形 11//AB C D ∴∴异面直线1AD 与1DC 所成角即为1AD 与1AB 所成角，即11B AD ∠设11DD CC a ==145DAD ∠=o Q ，130C DC ∠=o AD a ∴=，3CD a =12AD a ∴，12AB a =，112B D a =在11AB D ∆中，由余弦定理得：222222*********cos 24222AB AD B D B AD AB AD a a+-∠===⋅⨯⨯ ∴异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值为：24本题正确选项：A【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.7．圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)()16C x y a ++-=恰有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(4,0)(0,4)-⋃D ．[4,0)(0,4]-⋃ 【答案】C【解析】由圆1C 与圆2C 恰有两条公切线可得出两圆相交，则有121212r r C C r r -<<+，建立不等式算出a 的范围即可【详解】将方程22430x y x +-+=变形为()2221x y -+=所以圆1C 的圆心为()2,0，11r =圆2C 的圆心为()1,a -，24r =因为圆1C 与圆2C 恰有两条公切线所以圆1C 与圆2C 相交，则有121212r r C C r r -<<+所以35<<解得44a -<<且0a ≠故选：C【点睛】若两圆外离，则有4条公切线若两圆外切，则有3条公切线若两圆相交，则有2条公切线若两圆内切，则有2条公切线若两圆内含，则无公切线.8．过焦点为F 的抛物线2=12y x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若=10NF ，则MF =（ ）A ．163B ．253C ．328D ．323【答案】B【解析】由题意结合勾股定理可求得AN ，即M 的纵坐标，代入抛物线方程求得M 的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【详解】记准线与x 轴的交点为A ，因为6AF =，10NF =， 所以8AN =，即M 的纵坐标为8或-8， 则2816123M x ==，故16163323p MF =+=+ 253=. 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11BC CC ==，2,AC =3P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为( )A ．5B ．132+C ．5D ．15+【答案】C 【解析】易得11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B 90=o .将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，此时1A C 的长度即1CP PA +的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△1CC B 为等腰直角三角形，又11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B =90°，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB 如图示，由此，1CP PA +要取得最小值，当且仅当1C P A 、、三点共线，由题设知∠1135CC A =o,由余弦定理得()221321232cos135A C =+-⨯⨯o 25= 15A C ⇒=. 【点睛】 本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题. 10．我国古代《九章算术）将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图与侧视图为全等的等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．72B ．40322+C ．40642+D ．104【答案】B 【解析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】222+2=22几何体的表面积为：222662422403222+++⨯⨯=+故选：B【点睛】本题考查根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.11．已知双曲线22214x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35,(4,1)AB M =，若双曲线上存在一点P 使得2||PM PF t +…，则t 的最小值为（ ） A ．52B ．2C ．524+D ．524-【答案】D【解析】先由||35AB =求出2b ，然后求t 的最小值要转化为求2||PM PF +的最小值，在求2||PM PF +的最小值时要用双曲线的定义将2PF 转化为14PF -，最后可得当点1P F M 、、共线时，1||PM PF +最小【详解】因为两条渐近线的方程为：b y x a=±，直线AB 的方程为：x c = 所以,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以2bc AB a= 由22214x y b -=可知2a =， 所以235bc AB bc a===所以2245b c = 又因为224c b =+所以()22445b b +=，可解得25b =因为双曲线上存在一点P 使得2||PM PF t +…所以求t 的最小值即为求2||PM PF +的最小值 易得要使2||PM PF +最小，点P 应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以214PF PF =- 所以21||||4PM P P F M F P =+-+由图可知，当点1P F M 、、共线时，1||PM PF +最小最小值为1MF =所以2||PM PF +的最小值为4故选：D【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化. 12．在棱长为1的正四面体A BCD -中, E 是BD 上一点, 3BE ED =u u u r u u u r ,过E 作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（ ）A ．8πB ．316πC ．4πD ．516π 【答案】B【解析】作图可分析，设过E 作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆E ，则OE 必垂直于该截面，设小圆E 的半径为r ，则必有222r R OE =-，进而求解即可【详解】根据已知条件，作图如下：Q 在棱长为1的正四面体A BCD -中，∴2的正方体内， 224AF OH ==，Q 3BE ED =u u u r u u u r ，1BD =，设H 为BD 中点， ∴14HE =，在Rt OHE ∆中，222OE OH HE =+11381616=+=， 设过E 作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆E ， 则OE 必垂直于该截面，设小圆E 的半径为r ，则必有222r R OE =-2264OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭33381616=-= 则所得截面面积的最小值为2316s r ππ==故答案选B【点睛】本题考查立体几何的截面问题，解答的难点在于把截面面积最小的情况转化为所截的圆面问题，进而列式，属于难题二、填空题13．无论m 取何值，直线410x my m +--=恒过定点________.【答案】(1,4)【解析】将方程410x my m +--=变形为()140x m y -+-=即可【详解】因为410x my m +--=所以()140x m y -+-=所以当1040x y -=⎧⎨-=⎩时，此方程对任意的m 都成立，解得1,4x y ==所以直线410x my m +--=恒过定点(1,4) 故答案为：(1,4) 【点睛】本题考查的是直线过定点问题，属于较简单题.14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160BAA DAA BAD ∠=∠=∠=︒，且所有棱长均为2，则对角线1AC 的长为__________．【答案】【解析】【详解】22cos602AB AD ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r122cos602AB AA ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r122cos602AD AA ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r()11222221111122224AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA AC AC ∴=++=++⋅+⋅+⋅=∴==+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r故对角线1AC的长为15．已知抛物线2:6C y x =，直线l 过点(2,2)P ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为________. 【答案】32【解析】设出M ，N 两点的坐标，利用点差法求出直线l 的斜率即可 【详解】设()()1122,,M x y N x y 、因为点M ，N 在抛物线上，所以有21122266y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 将两式作差可得22121266y y x x -=-所以()()1212126()y y y y x x +-=-因为120x x -≠，120y y +≠ 所以1212126l y y k x x y y -==-+因为线段MN 的中点恰好为点(2,2)P 所以124y y += 所以32l k =故答案为：32【点睛】点差法是求解圆锥曲线中中点弦问题的常用方法，本题也可用点斜式设出直线l 的方程，然后和抛物线的方程联立消元用韦达定理解决.16．已知F 为椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的右焦点，若以F 为圆心，b c -为半径作圆F ，过椭圆上一点P 作圆F 的切线，切点为T，若||)2PT a c ≥-恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围为__________．【答案】3[,52【解析】依题意设切线长PT = ∴当且仅当|PF 2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF 2|min =a ﹣c，)2a c ≥- ，10.2b c a c -∴<≤-从而得到352e ≤< 故离心率e的取值范围是3,52⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；故答案为35⎡⎢⎣⎭． 点睛:这个题目考查了椭圆离心率的求法；主要是通过构造关于a ，b ，c 的方程或者不等式来求解离心率的值或者范围；通常通过椭圆定义，焦半径的范围，点在椭圆上，图形的几何特点，比如中位线等来构造方程或不等式．三、解答题17．已知2:8200p x x --≤；22:230(0)q x mx m m --≤>，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】103m ≥【解析】先分别解出不等式28200x x --≤和22230(0)x mx m m --≤>，p 是q 的充分不必要条件等价于不等式28200x x --≤的解集是不等式22230(0)x mx m m --≤>解集的真子集.【详解】由p 得：210x -≤≤∵0m >，由q 得：3m x m -≤≤ ∵p 是q 的充分不必要条件则2310m m -≤-⎧⎨≥⎩（等号不同时成立），解得103m ≥所以实数m 的取值范围为103m ≥ 【点睛】记命题p ，q 对应的集合分别为A ，B . 若A B ⊆，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ⊇，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.18．已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,0)，端点A 在圆22(2)16x y ++=上运动，M 是线段AB 的中点. （1）求动点M 的轨迹方程.（2）已知点(2,2),(2,6),(4,2)C D E ----，求222||||||MC MD ME ++的最大值和最小值.【答案】（1）224(2)x y x +=≠（2）最大值88，最小值72【解析】(1)设点M 的坐标为(,)x y ，则点A 的坐标为22)2(x y -，，带入方程22(2)16x y ++=化简即可，要注意2x ≠(2)设点M 的坐标为(,)x y ，将222||||||MC MD ME ++表示出来即可 【详解】（1）设点M 的坐标为(,)x y ，则点A 的坐标为22)2(x y -，因为点A 在圆22(2)16x y ++=，代入圆的方程得22(2)(2)16x y +=， 化简得224x y +=.即动点M 的轨迹方程为224(2)x y x +=≠.（也可用定义法） （2）设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||MC MD ME ++222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)x y x y x y =++++++-+-++ 480y =-+因为22y -≤≤，所以当2y =-时，222||||||MC MD ME ++取最大值88；当2y =时，222||||||MC MD ME ++取最小值72 【点睛】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是确定坐标之间的关系．19．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB CD ∥，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BEC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取DE 中点N ，连接MN ，AN ，由三角形中位线定理得，四边形ABMN 为平行四边形，即BM ∥AN ，再由线面平行的判定定理即可得到BM ∥平面ADEF ； （2）由已知中正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，我们易得到ED ⊥BC ，解三角形BCD ，可得BC ⊥BD ，由线面垂直的判定定理，可得BC ⊥平面BDE ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE ⊥平面BEC ．【详解】（1）取DE 中点N ，连接MN ，AN ，在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点 ∴MN ∥CD ，且MN ＝12CD ，由已知AB ∥CD ，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，∴MN ∥AB ，且MN ＝AB∴四边形ABMN 为平行四边形，∴BM ∥AN ，又∵AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ， ∴BM ∥平面ADEF .（2）∵ADEF 为正方形，∴ED ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =，且ED ⊂平面ADEF ，∴ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BC ，在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，可得BC ＝22，在△BCD 中，BD ＝BC ＝22，CD ＝4，∴BC ⊥BD ，∴BC ⊥平面BDE ， 又∵BC ⊂平面BEC ，∴平面BDE ⊥平面BEC【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．20．已知平面上动点P 到定点(2,0)F 的距离比P 到直线1x =-的距离大1.记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(2,0)-的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点是D ，证明：直线BD 恒过点F .【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】(1)先分析出点P 在直线1x =-的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可 (2)设出直线l 的方程和A 、B 两点坐标，联立方程求出m 的范围和A 、B 两点纵坐标之和和积，写出直线BD 的方程，然后利用前面得到的关系化简即可. 【详解】（1）不难发现，点P 在直线1x =-的右侧， ∴P 到(2,0)F 的距离等于P 到直线2x =-的距离.∴P 的轨迹为以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为28y x =.（2）设直线l 的方程为2x my =-，()()1122,,,A x y B x y 联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，得28160y my -+=，264640m ∆=->，解得1m >或1m <-. ∴128y y m +=，1216y y =.又点A 关于x 轴的对称点为D ，()11,D x y - 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即()()()22122221218228y y y y y x x x my my y y ⎛⎫+-=-=- ⎪----⎝⎭令0y =，得22211222888y y y y y x y -=-⋅==.∴直线BD 恒过定点(2,0)，而点(2,0)F . 【点睛】本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点问题的常见方法.21．如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，22BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）60︒【解析】(1)以BD 的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C 的坐标，然后算出PQ uuu r 和DA u u u r的坐标，证明0DA PQ ⋅=u u u r u u u r 即可；(2)算出平面BMC 的一个法向量，利用二面角C BM D --的大小为60°求出C 的坐标即可. 【详解】（1）证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz .由题意知(0,2,2)(0,2,0),(0,2,0)A B D - 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =u u u r u u u r ，所以003231,,4442Q x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭因为点M 为AD 的中点，故(0,2,1)M 又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以00323,,0444PQ x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，(0,0,2),0DA DA PQ =⋅=u u u r u u u r u u u r 所以DA PQ ⊥.（2）解：设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量由()00,1CM x y =-u u u u r，BM =u u u u r知)0000x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩ 取1y =-，得00y m x ⎛+=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是||||1|cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===即2003y x ⎛+= ⎝⎭.① 又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=u u u r u u u r，故()()0000,,0,00x y x y -⋅--=即22002x y +=.②联立①②，解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以tan ||BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒. 【点睛】用空间向量的知识能够很好的解决立体几何中平行、垂直和线线角、线面角、面面角等问题，只是对计算能力要求较高.22．已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b +=>>是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ的最大值.【答案】（1）223144x y +=（2）存在，λ的最大值为3【解析】(1)将||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r化简可得出AOC ∆是等腰直角三角形，然后可得出C 点坐标，带入椭圆方程即可求出b(2)首先由PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴可得出-PC CQ k k =，然后设出PC 的直线方程，联立消元可求出p x 和Q x ，然后可算出PQ k ，进而可表示出||PQ uuu r 并求出||PQ uuu r的最大值，也就可以得出λ的最大值. 【详解】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r，即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC ∆是等腰直角三角形，∵(20)A ，，(11)C ，， 而点C 在椭圆上，∴22111,2a a b +==，∴243b =，∴所求椭圆方程为223144x y +=.（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵(1,1)C ，∴PC 的直线方程为(1)1y k x =-+，①QC 的直线方程为(1)1y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()222136(1)3610k x k k x k k +--+--=，③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113p k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+. ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90,(2,0),(1,1)ACB A C ︒∠=，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴(2,0),(1,1)A B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴//PQ AB ，∴存实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||3PQ ==u u u r ， 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==∴λ的最大值为3. 【点睛】本题考查的是椭圆的综合问题，属于难题，准确的将题目当中的条件进行转化是解题的关键，同时对计算能力要求也较高.。
山西省运城市景胜中学2020_2021学年高二数学12月月考试题理.docx
山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二数学12月月考试题理一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）1.已知命题P："。
,那么”是（）A Vx > x2 < 0B x2 < 0 Q V X< 0 x2 < 0 D Bx>C^ x2 < 02.已知a和8表示两个不重合的平面，a和b表示两条不重合的直线，则平面矽平面6的一个充分条件是（）A a〃b,。
〃（1且打〃6 g a c a, b c a且a〃6, b//6今 TC.o 上％QZ/Q且 b J. 6D. a〃b，o ±。
且 b ± 63.直线1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到1的距离为其短轴长1的'，则该椭圆的离心率为！1113X： B.3 C.2 D.44.如图圆锥的高SO=龙，底面直径舶=2, C是圆。
上一点，且AC=l t则54与BC所成角的余弦值为（5.集合A= 若“x £B”是“x 的充分不必要条件，则B 可以是( )A#/-iSxSl} g {x I — 1 < x < 1) Q {x 10 < x < 2}p {x I 2 < x < 1)AB=BC=2, AAi=l t 则直线BG 与平面880】所成角的正弦值为（7.下列说法正确的是（）A. 命题“若«/ = 5,则x=5"的否命题为“若闰=5,贝『工5…B. “x=T”是，*-5x-6=0…的必要不充分条件C. 命题“永0 £ R3x^ +2x°- 1>0，‘ 的否定是“"£ R* +2x-l< 0»D. 命题“若x=y,贝gsirw= siny 〃的逆否命题为真命题8.已知抛物线C ：”=12y,直线/过点（。
，3）与抛物线C 交于A, B 两点，且网=14,则 直线/倾斜角a 的正弦值为（）、，云 vl yf7A. 4B. 42C. &D. 7c.D.36.在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中, A. 3B. 2D.9.已知成「2是椭圆"的两个焦点，若椭圆C上存在点P满足/研2 = 90',则m的取值范围是( )A. (0,2] U [16, + 8)B. (0,4] U [16, + ~) c (0,2] U [8, + -) D. (0,4] U [8, + «»)10.已知双曲线C：kA-珀>0, b>0）的右焦点为F,点B是虚轴上的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点气若四=2"且阡/ =七则双曲线C的方程为-------- =2A. & 511.点M, '分别是棱长为2的正方体ABCD-A.B^D,中棱BC, CG的中点，动点P在正方形8CC1B］（包括边界）内运动.若P为〃面AMN,则的长度的最大值是C.3D.V5r r-y — -y — 2> 0,b > 0）n12,已知F』，&分别是双曲线'》的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过「2作血PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若iWb,则该双曲线离心率的取值范围为（A.（网B.S9C.（ED.G间二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）13,已知P*x + 若”为假命题，则实数m的取值范围是.14,已知直线y = 2x-2与抛物线尸=8x交于A, B两点，抛物线的焦点为F,则& 的值为•15,己知四棱柱A8CD-4BC0的底面A8CD是矩形，AB = 5, AD=3,诳=4,^BAA1 == 60。
山西省运城市2019-2020学年12月数学普通高中学业水平考试试卷
山西省运城市2019-2020学年12月数学普通高中学业水平考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知集合且，则集合可能是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知复数z满足z=1+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A . ﹣1B . 1C . ﹣iD . i3. （2分） (2019高一下·武宁期末) 已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·西城期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·胶州期中) 下列函数中是奇函数的是（）A .B .C . y=x2+xD . y=x3（x≥0）6. （2分）若A、B是锐角三角形△ABC的两个内角，如果点P的坐标为P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA），则点P在直角坐标平面内位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限t7. （2分） (2018高一上·马山期中) 函数的定义域是A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·定远期中) 已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4 ，则a10=（）A .B .C . 10D . 129. （2分） (2018高一上·滁州期中) 已知，若，则等于（）A . 3B . 5C . 7D . 910. （2分）(2017·太原模拟) 已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A . 3B . 5C . 6D . 811. （2分）设是奇函数，则使的的x取值范围是（0A . （－1，0）B . （0，1）C .D .12. （2分） (2017高一下·安平期末) 已知点P（3，2）和圆的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则它们的位置关系为（）A . 在圆心B . 在圆上C . 在圆内D . 在圆外13. （2分）已知命题，则（）A .B .C .D .14. （2分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A . 5πB . πC . 20πD . 4π15. （2分） (2019高三上·黑龙江月考) 如图，为了测量某湿地A,B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得 .若测得，（单位:百米），则两点的距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)16. （1分）(2017·渝中模拟) 已知向量，，，且，则sin2θ等于________．17. （1分）(2018·杭州模拟) 设各项均为正数的等比数列中,若 , 则公比 =________18. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为________ ．19. （1分）椭圆=1上一点P到右焦点的距离为，则点P到左准线的距离为________三、解答题 (共2题；共20分)20. （10分） (2018高一下·商丘期末) 已知函数（Ⅰ）当且时，求的值域；（Ⅱ）若 ,对任意的使得成立，求实数的取值范围.21. （10分）(2017·大连模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；、（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共4题；共4分)16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共2题；共20分) 20-1、。
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二12月月考数学试题(理)(解析版)
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二12月月考（理）一、选择题（本题共计12 小题，每题5 分，共计60分，）1.已知命题：若，则．下列说法正确的是（）A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是：若，则D.命题的逆否命题是：若，则2.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，则．其中所有正确命题的序号是（）A.①②B.②③C.①③D.①④3.已知，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知命题，，则( )A.是假命题；，B.是假命题；，C.是真命题；，D.是真命题；，5. 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的斜率是A. B. C. D.6.设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当＝时，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为( )A. B. C. D.8. 在长方体中，，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是( )A. B. C. D.9. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. B.C. D.10. 已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)外接球的表面积为，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值是A. B. C. D.11. 如图，四棱柱为正方体，有下列结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为.其中正确结论的个数是A. B. C. D.12. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法错误的是( )A.无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是B.无论点在上怎么移动，都有C.当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且D.当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为二、填空题（本题共计4 小题，每题5 分，共计20分，）13. 已知，：，若￢是￢的充分条件，则实数的取值范围是________．14. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的半径，则椭圆的短轴长是________.15. 在平面直角坐标系中，，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.16. 如图，在边长为的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为_________.三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分，）17.设命题：实数满足，命题：实数满足．Ⅰ若＝，且为真，求实数的取值范围；Ⅱ若，且是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．求直线与平面所成角的正弦值；在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19. 在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为的等边三角形，，是的中点.求证：；若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，分别为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.21. 如图，在多面体中，四边形为正方形，证明：平面平面.若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值.22. 在直角坐标系中，已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；设，是曲线上两动点，线段的中点为，，的斜率分别为，且，求的取值范围.——★参*考*答*案★——一、选择题（本题共计12 小题，每题 5 分，共计60分）1.『答案』B『解答』解：已知命题：若，则．当时，，∴命题为假命题，∴不正确；命题的逆命题：若，则，为真命题，∴正确；命题的否命题：若，则，∴不正确；命题的逆否命题：若，则，∴不正确．故选．2.『答案』D『解答』①，则内一定存在一条直线，使得，又，则，所以，所以正确，②当时，，可能相交，所以错误，③，的位置还可能是相交和异面；3.『答案』D『解答』取＝，＝，则满足，但不满足，即是不充分条件，取＝，＝，满足，但不满足，即是不必要条件，即是既不充分也不必要条件，4.『答案』B『解答』解：∵，∴，则，∴是假命题；，．故选．5.『答案』C『解答』解：设直线被椭圆所截得的线段，，,线段中点为，∴，,，，，的斜率是．故选.6.『答案』B『解答』椭圆的焦点为，，＝，根据正弦定理可得，∴，．设＝，＝，则＝，由余弦定理得，＝＝，∴，∴，又，∴，即＝，故＝，解得：或＝（舍）．7.『答案』A『解答』解：由三视图可知，该四棱锥的底面是长为，宽为的矩形，设高为，所以，解得，则其最长侧棱与底面所成的角的正切值为.故选.8.『答案』B『解答』解：如图，过点作，连接，∵平面，∴，∴平面，∴，平面平面，∴为与平面所成的角，∴，在中，∵，∴，，在中，由射影定理得，由基本不等式得，当且仅当，即为中点时等号成立，∴截面面积的最小值为.故选.9.『答案』A『解答』解：∵由题意可知在底面的射影为正方形的中心．过作，交于，过底面的中心作交于，连接，取中点，连接，，，如图所示，则，则，，．显然，，，均为锐角．∵，，，∴，又，，，∴．故选．10.『答案』D『解答』解：设正三棱柱外接球的球心为，半径为，的中心为，连接，，如图，由题意知，解得，即，因为，所以，所以，取的中点，则平面，取的中点，则, 所以平面，所以就是直线与平面所成的角，因为，所以.故选.11.『答案』D『解答』解：①由正方体的性质得，平面，平面，所以平面；②由正方体的质得，又是在底面内的射影，所以；③由正方体的性质得.又易知，，所以.同理可证，故平面内的两条相交直线，所以平面；④异面直线与所成的角等于直线与所成的角.在等腰直角中，，故直线与所成的角为.故选.12.『答案』D『解答』解：选项，直线在平面中，直线与直线所成的角等价于直线与平面所成的角度，直线与直线,直线所成角度为，即直线与平面所成角度为，所以直线与所成角为，故不选，选项，平面，，平面，，同理，得平面，所以，故不选，选项，移动至得中点时，设正方体的边长为，则，，可得，，所以，故不选，选项，如图所示为的中点，为的中点，设，，即，∴，，故选，故选.二、填空题（本题共计4 小题，每题 5 分，共计20分）13.『答案』『解答』＝，即，＝，即，若￢是￢的充分条件，则是的充分条件，即，∴，解得，14.『答案』『解答』解：圆的方程可化为，半径为，∴椭圆的长轴长，∴.又离心率，∴，，∴椭圆的短轴长是.故答案为：.15.『答案』『解答』解：如图所示：设,，∴，∴，即，,与表示同一个圆.∴∴或∴.故答案为：.16.『答案』『解答』解：由三视图可知该几何体的直观图是如图所示的四棱锥，最长的棱是，且故答案为：.三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）17.『答案』（1）当＝时，，即，由，得若为真，即真或真，＝．所以实数的取值范围是；（2）若，，即，，￢或，且是￢的充分不必要条件，则或即或，故实数的取值范围为．『解答』（1）当＝时，，即，由，得若为真，即真或真，＝．所以实数的取值范围是；（2）若，，即，，￢或，且是￢的充分不必要条件，则或即或，故实数的取值范围为．18.『答案』解：取中点为，连接，，∵，∴，又∵，∴．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，，，，则，，设为平面的法向量，则由得，则．设与平面的夹角为，则；假设存在点使得平面，设，由知，则有，可得平面，为平面的法向量，，即，解得.综上，存在点，即当，点即为所求.『解答』解：取中点为，连接，，∵，∴，又∵，∴．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，，，，则，，设为平面的法向量，则由得，则．设与平面的夹角为，则；假设存在点使得平面，设，由知，则有，可得平面，为平面的法向量，，即，解得.综上，存在点，即当，点即为所求.19.『答案』证明：因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.又因为，所以平面.所以又因为，所以.又由平面，得，又，所以平面.所以.解：由得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为.所以，解得.则.由得两两垂直，所以以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点.则.设平面的一个法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 『解答』证明：因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.又因为，所以平面.所以又因为，所以.又由平面，得，又，所以平面.所以.解：由得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为.所以，解得.则.由得两两垂直，所以以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点.则.设平面的一个法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20.『答案』解：(1)直线的方程为，即，原点到直线的距离为，即.由，得，又，所以，，，故椭圆的标准方程为.(2)由(1)可得，.设，，由于直线的斜率不为，故设其方程为.由，得，所以，.所以.令，则，则，当且仅当，即，即时，的面积取得最大值. 『解答』解：(1)直线的方程为，即，原点到直线的距离为，即.由，得，又，所以，，，故椭圆的标准方程为.(2)由(1)可得，.设，，由于直线的斜率不为，故设其方程为.由，得，所以，.所以.令，则，则，当且仅当，即，即时，的面积取得最大值.21.『答案』证明：因为四边形为正方形，所以，又，所以平面.因为平面，所以平面平面.解：由知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为. 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为.设平面的法向量为，则即令，得易知平面的一个法向量为则由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.『解答』证明：因为四边形为正方形，所以，又，所以平面.因为平面，所以平面平面.解：由知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为. 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为.设平面的法向量为，则即令，得易知平面的一个法向量为则由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.22.『答案』解:设动点，，由于轴于点.∴，又圆与直线，即相切，∴，∴圆,由题意，，得,∴即又点为圆上一动点，∴，所以曲线的方程为.当的斜率不存在时，设直线的方程为：，不妨取点，则，，∴;当的斜率存在时，设直线的方程为：，，由可得，∴，,∵,∴,∴，化简得：,∴.，设，则，.∴，∴.综上，的取值范围为.『解答』解:设动点，，由于轴于点.∴，又圆与直线，即相切，∴，∴圆,由题意，，得,∴即又点为圆上一动点，∴，所以曲线的方程为.当的斜率不存在时，设直线的方程为：，不妨取点，则，，∴;当的斜率存在时，设直线的方程为：，，由可得，∴，,∵,∴,∴，化简得：,∴.，设，则，.∴，∴. 综上，的取值范围为.。
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山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
5. 已知 是直线 被椭圆
所截得的线段的中点，则直线 的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 设椭圆
的焦点为
时，椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
， 是椭圆上一点，且 C．
，若
的外接圆和内切圆的半径分别为 ，当
D．
7. 某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为40，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
， 是 的中点.
（1）求证： （2）若直线
； 与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
20. 已知椭圆
的离心率
，过点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设
分别为椭圆 的左、右焦点，过 作直线交椭圆于
和
的直线与原点的距离为 .
两点，求
面积的最大值.
21. 如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=1．
A．
B．
8. 在长方体 角为 ，则截面 A．
中， 面积的最小值是（ ）
B．
C．
D．
，过点 作平面 与 C．
分别交于
两点，若 与平面 所成的
D．
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
9. 已知四棱锥
的底面是正方形，侧棱长均相等， 是线段 上的点（不含端点），设 与 所成的角为 ， 与平面
，求 的取值范围.
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
上任意一点，满足：
，则 的长为
.
16. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为_________.
三、解答题
17. 设命题 实数 满足
，命题 实数 满足
.
（1）若
，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若
，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
（1）证明：平面ADEF⊥平面ABF． （2）若AF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求二面角A-CD-O的余弦值．
22. 在直角坐标系 中，已知圆 ，设动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
与直线
相切，点A为圆 上一动点，
轴于点N，且动点满足
（2）设P，Q是曲线C上两动点，线段 的中点为T， ， 的斜率分别为 ，且
①若
,
,则
； ②若
,
,
,
,则
；
③若
,
,则
； ④若
,
,
,则
．
其中所有正确命题的序号是( )
A．
B．
C．
D．
3. 已知
，则“
A．充分不必要条件
”是“
”成立的（ ）
B．必要不充分条件
C．充要条件
4. 已知命题
，则（ ）
D．既不充分也不必要
A． 是假命题； B． 是假命题； C． 是真命题； D． 是真命题；
18. 如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
.
（1）求直线 与平面
所成角的正弦值.
（2）在棱 上是否存在点 ，使得
平面
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
19. 在四棱锥 中，底面
为平行四边形，平面
平面
，
是边长为4的等边三角形，
A．1 12. 如图，在正方体
B．2
C．3
D．4
中，点 是线段 上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．当点 移动至 中点时，直线 与平面 B．无论点 在 上怎么移动，都有
所成角最大且为
C．当点 移动至 中点时，才有 与 相交于一点，记为点 ，且
D．无论点 在 上怎么移动，异面直线 与 所成角都不可能是
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
一、单选题
1. 已知命题 ：若 ，则 A．命题 是真命题 B．命题 的逆命题是真命题 C．命题 的否命题是：若 D．命题 的逆否命题是：若
.下列说法正确的是（ ）
，则 ，则
2. 设m，n为空间两条不同的直线, , 为空间两个不同的平面,给出下列命题：
所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)
成角的正弦值是（ ）
A．
B．
外接球的表面积为 ， C．
为 的中点，则直线 与平面
所
D．
11. 如图，
为正方体，下面结论：①
角为45°．其中正确结论的个数是( )
平面
；②
；③
平面
；④直线 与 所成的
二、填空题
13. 已知
，
山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题
，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是_______．
14. 已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆 ：
的半径，则椭圆的短轴长是________.
15. 在平面直角坐标系 中，
是两定点，点 是圆 ：