场波教案-6

电磁感应的应用
高速变化的电场（20-30KHz）产生变化磁场，再通过电磁 感应，引发铁锅内的涡电流，再转化为热能。 电磁炉不适用的锅：铜、铝、陶、玻璃材料的锅和容器。
2. 自感与互感 已知线性媒质的磁导率与磁感应强度的大小无关，因而位于线性 媒质中的单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流 I 成正比， 所以穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。 与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以 表示， 令 与 I 的比值为L，即
I1
式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。
同理定义
L22
22
I2
M 21
21
I1
式中L22 称为回路 l2的自感，M21称为回路 l1对 l2的互感。
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得
1 L11I1 M12 I 2
第六章 电磁感应
主 要 内 容 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。 1，电磁感应定律 2，自感与互感 3，磁场的能量 4，磁场力
1. 电磁感应定律 视频：变化的磁场和闭合线圈中的电流。 可以观察到： 1，变化的 磁场会在闭 合线圈中产 生电流。 2，实验表 明，电流的 方向总是在
阻止磁场的
变化。
0 Ir
2πa
2
dr
但是这部分磁通仅与内导体中自内导体
a
O
轴线位臵 0 至 r 之间部分电流 I ' 交链，
c I b I
而不是与总电流 I 交链，因此，对于总
电流 I 来说，这部分磁通折合成与总电
流 I形成的磁通链应为
I b c e
O
r a dr
0 Ir 3 I d i d i dr 4 I 2πa
电磁感应定律: 已知
E dl e
l
S
d dt
由于 B dS ，代入上式得
E dl
l
SB dS t
上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产 生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。
根据斯托克斯定理，由上式得
本身产生的磁通链 22 和电流 I1在回路 l2中产生的磁通链 21 共同形成的，即
1 11 12
2 21 22
11 12 22 ， ， 及 21 均为常数， I2 I1 I1 I2 M 12 12 I2
x
若周围媒质是线性的，则比值
令
L11
11
c I b I
外边宽度为（c－b），如左下图所示。 现将同轴线中内外导体中的电流合
I
并到矩形回路中，内导体中电流归并为
矩形回路的内边电流，外导体中电流归
O
r a dr
b c e
并为矩形回路的外边电流。
L1
同轴线单位长度的电感定义为

I
式中I 为同轴线中的电流， 是单位长度内与电流 I 交链的磁通链。
链增加，M21为正。反之，若线圈电流为逆时针方向时，则B1 与dS 反向， M21 为负。在任何线性媒质中， M21 = M12 。 例2 计算载有直流电流的同轴线单位
a O c b
长度内的电感。 解 设同轴线内导体的半径为b，外半径 为c，如图示。
在同轴线中取出单位长度，沿长度
a
O
方向形成一个矩形回路，内边宽度为a，
由此求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链 i 为
i d i
0
a
0 I
8π
那么，与总电流 I 交链的总磁通链为（o + i） ，因此，同轴线的 单位长度内电感为
L1
o i
I

b ln 0 2 π a 8π
0
式中第一项称为外电感，第二项称为内电感。 后面讨论时变电磁场时，同轴线的内外导体可以当作理想导电体， 因而内外导电体中不可能存在时变电磁场。因此，当同轴线工作于时 变电磁场时，内外导体中的磁通皆可忽略，只须考虑内外导体之间的 磁通，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即 b L1 0 ln 2π a
场过程中作的功即可计算磁场能量。
设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值 I，因而回 路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 。已知回路中产生的反 d 电动势等于回路磁通变化率的负值，即 e 。因此，为了克服 这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压 U = -e ，即
U d dt
M 21
dl1 dl 2 4 π l2 l1 r2 r1

M 12
dl 2 dl1 4 π l1 l2 r1 r2

由此两式还可见，若 dl1与 dl2处处保持垂直，则互感 M 12 M 21 0； 若处处保持平行（例如线圈），则互感 M 值达到最大。 因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应
dt
若时刻 t 回路中的电流为 i(t) ，则此时刻回路中的瞬时功率为
P(t ) i(t )U i(t ) d dt
在dt 时间内外源作的功为
dW P(t )dt i(t )d
已知任一时刻单个回路的磁通链与回路电流的关系为
(t ) Li (t ) 又知单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此
旋关系（由此产生的电流产生方向相反的磁通，即减弱了现有的磁通）；
反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构成右旋关系（由 此产生的电流产生方向相同的磁通，即增强现有的磁通） 。 电动势总是试图阻止磁场的变化。
已知回路中电动势的方向与电流方向相同，因此，线圈中感应
电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通 又称为反磁通。 闭合线圈中产生感应电流意味着导线中存在电场推动电荷运动， 这种电场称为感应电场，以E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合 线积分（即电场力作功）等于线圈中的感应电动势，即
3. 磁场的能量
3. 磁场的能量
3. 磁场的能量
3. 磁场的能量
已知穿过闭合回路的磁通发生变化时，在回路中产生感应电 动势，因而回路中产生感应电流。此时，产生电流所需的能量是 由外部磁场提供的。 若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中， 回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生的 反电动势，以维持电流达到一定数值，外源必须作功。若电流变 化非常缓慢，可以不考虑辐射损失，则外源输出的能量全部储藏 在回路电流周围的磁场中。 上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流，而外源又可 向磁场提供能量。由此可见，磁场具有能量。根据外源在建立磁
彼此平行放臵；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。
此外，应注意互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方 向，但自感始终应为正值。实际上，由上面结果可以推知，若互磁通 与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互 磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。
例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，
实验表明，线圈中的电流大小和磁场变化的快慢和线圈的面积有 关，即与穿过闭合线圈中的磁通 变化 d 有关。 dt 感应电动势：穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的 感应电动势 e 为
e d dt
式中电动势 e 的正方向规定为与磁通方向构成右旋关系。 因此，上式 表明当磁通随着时间增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左
可以导出任意两个回路之间的互感公式为
M 21
21
I1

dl1 dl 2 4π l2 l1 r2 r1

M 12
12
I2

dl 2 dl1 4π l1 l2 r1 r2

考虑到 dl1 dl 2 dl 2 dl1 , r2 r1 r1 r2 ，所以由上两式可见， M 12 M 21
周围媒质为真空，如图示。
z b I1
解 由于导体之间的互感相同，所以只需计算 如导线对线圈的互感即可。 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流 I1一
0
a D r dr
S2 I2
致，则 I1 产生的磁感应强度为
B1
0 I1
2π r
e
与线圈电流 I2 交链的磁通链 21 为
21 B1 dS
2π

D b D
I a Db 1 dr 0 1 ln r 2π D
求得互感 M21 为
M 21
21
I1

0 a D b
ln 2π D
可见 M21 > 0 。这是因为当导线的电流向上，线圈电流为顺时针方
向时，I2 产生的磁通方向与互磁通21 方向相同，因此使电流的磁通
S2
例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，
周围媒质为真空，如图示。
z b I1
解 若线框电流如图所示的顺时针方向，则
0
a D r dr
dS 与B1方向相同。 那么将 B1
S2 I2
0 I1
2π r
e 代入
21 B1 dS
S2
21
0 I 1a

I

N I
若有两个回路存在，如图示。与 回路电流 I1交链的磁通链是由两部分 磁通形成的，其一是 I1本身产生的磁 通形成的磁通链 11 ，另一是电流 I2 在回路 l1中产生的磁通形成的磁通链
dl2
x
12 。
z
同理，与回路电流 I2 交链的磁通链是由
l1
dl1 r1 0 I1 r2 - r 1 r2 y l2 dl2 I2