关于G-Matlis自反模的换环定理
近世代数第9讲
近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。
有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。
通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
自反闭包r(r)公式
自反闭包r(r)公式摘要：一、自反闭包r(r) 公式简介1.自反闭包r(r) 的定义2.公式推导过程二、自反闭包r(r) 公式应用1.在计算机科学领域的应用2.在数学领域的应用3.在其他领域的应用三、自反闭包r(r) 公式的发展与挑战1.相关研究的进展2.面临的挑战与未来发展方向正文：自反闭包r(r) 公式是一种在计算机科学和数学领域广泛应用的公式。
它是由美国计算机科学家和数学家斯蒂芬·科尔·克莱尼(Stephen Cole Kleene) 在20 世纪50 年代提出的。
该公式描述了一个数论函数的性质，可以用于解决许多实际问题，如计算复杂性、自动机理论、形式语言等。
一、自反闭包r(r) 公式简介自反闭包r(r) 是一个特殊的函数，它满足如下性质：对于任何正整数n，都有r(r(n)) = n。
该函数可以用递归的方式表示，即r(n) = n，当且仅当n 不等于0；r(n) = r(r(n-1))，当且仅当n 等于0。
自反闭包r(r) 公式的推导过程涉及到数论中的一些概念，如素数、同余等。
在这里，我们不详细介绍公式的推导过程，只简要说明一下它的基本思想。
首先，我们将正整数n 表示为二进制表示，然后通过一系列的数学变换，最终得到自反闭包r(r) 的递归定义。
二、自反闭包r(r) 公式应用自反闭包r(r) 公式在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
1.在计算机科学领域，自反闭包r(r) 公式可以用于描述计算的性质。
例如，在计算复杂性理论中，自反闭包r(r) 可以用来刻画一些问题的难度。
此外，它还可以用于研究自动机理论、形式语言等领域的问题。
2.在数学领域，自反闭包r(r) 公式可以用于解决一些数论问题。
例如，它可以用于研究素数分布、同余方程等数学问题。
此外，自反闭包r(r) 公式还可以与其他数学公式相结合，得到一些新的数学结论。
3.在其他领域，自反闭包r(r) 公式也有着一定的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述一些物理系统的性质；在生物学中，它可以帮助我们理解生物序列的性质。
换元积分法公式证明
换元积分法公式证明好嘞，以下是为您创作的关于“换元积分法公式证明”的文章：咱先来说说啥是换元积分法。
简单讲，就是通过巧妙地换个变量，把复杂的积分变得简单好算。
这就好比你在走一条崎岖的山路，突然发现有条小道能让你轻松通过，那这小道就是咱说的“换元”。
比如说，有个积分式子是这样的：∫f(g(x))g'(x)dx。
这看起来是不是有点头疼？别急，咱们设 u = g(x)，那 du = g'(x)dx 。
这时候原来的式子就变成了∫f(u)du ，是不是一下子清晰多啦？我记得我当年给学生们讲这个的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个特别形象的例子。
咱就说要计算从家到学校的路程。
假如你每天走的路线弯弯曲曲，一会儿上坡一会儿下坡，很难直接算出距离。
但要是咱把这路线分成一段段的直线，每段直线都有个固定的速度和时间，那计算起来是不是就简单多啦？这每段直线就相当于咱换元后的简单式子。
那为啥这换元积分法能行得通呢？这就得从积分的本质说起啦。
积分其实就是在求曲线下面的面积。
当我们换元之后，相当于把原来那个复杂的曲线，变成了相对简单的曲线，但是面积是不变的。
比如说，有个积分∫(2x + 3)^2 dx。
咱设 u = 2x + 3，那 du = 2dx ，dx = du/2 。
原来的式子就变成了1/2 ∫u^2 du 。
这就从一个复杂的式子变成了一个简单的幂函数的积分。
再深入一点，换元积分法其实是利用了函数的复合和导数的关系。
就像一个团队合作，每个部分都有自己的作用，但最终的目标是把问题解决好。
在实际应用中，换元积分法可太有用啦。
不管是解决数学作业里的难题，还是在实际的科学研究中，都能派上大用场。
比如说，计算∫sin(2x)dx 。
设 u = 2x ，du = 2dx ，dx = du/2 ，式子就变成1/2 ∫sin(u)du ，结果就是 -1/2 cos(u) + C ，再把 u 换回来就是 -1/2 cos(2x) + C 。
mobius反演公式运用复值函数
Mobius反演公式是复分析中的重要定理，它在复值函数的研究中发挥着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨mobius反演公式在复值函数中的运用，以及其对复分析的重要性。
1. Mobius反演公式的定义和基本概念Mobius反演公式是指对于一个复值函数f(z)，如果我们知道了它的莫比乌斯变换g(z)，那么可以通过反演公式重新得出原函数f(z)。
具体来说，如果有一个函数F(s)和其Laplace变换f(t)，那么在s平面上，F(s)与f(t)是一一对应的。
而mobius反演公式则表明了，在s平面上的某点s0的邻域内，可以通过F(s)的逆变换得出f(t)在t0的邻域内的性质。
2. Mobius反演公式的应用举例在复分析的研究中，mobius反演公式有着广泛的应用。
在数论中，mobius反演公式被用来解决莫比乌斯函数的性质和一些相关问题。
在傅里叶分析中，mobius反演公式也被广泛应用，可以用于解决一些与复值函数相关的积分和级数问题。
在控制理论和信号处理领域，mobius反演公式也有着重要的应用，可以应用于解决一些复值函数的反问题和逆问题。
3. 我对Mobius反演公式的个人观点和理解在我看来，mobius反演公式是复分析中的一个非常重要的定理，它可以帮助我们更深入地理解复值函数的性质和行为。
通过mobius反演公式，我们可以在s平面和t平面之间建立起一种对偶关系，从而可以轻松地将复值函数在不同平面上进行来回的转换和分析。
mobius反演公式也为我们解决复值函数相关问题提供了一种非常便利和高效的方法，有助于我们更加全面和深入地理解复分析领域中的一些重要问题。
mobius反演公式在复值函数的研究中具有重要的地位和作用。
通过对mobius反演公式的深入探讨，我们可以更全面、深刻和灵活地理解复值函数的性质和相关问题。
希望本文对您理解mobius反演公式在复值函数中的运用有所帮助。
4. 深入探讨Mobius反演公式的数学原理和推导Mobius反演公式的数学原理可以通过复函数论和积分变换理论来进行深入探讨和推导。
拉普拉斯反变换指令
拉普拉斯反变换指令拉普拉斯反变换是一种数学工具，用于将复数域中的函数转换为时间域中的函数。
它在信号处理、电路分析、控制系统等领域中得到广泛应用。
本文将介绍拉普拉斯反变换的基本概念、性质以及一些常见的拉普拉斯变换对应的反变换。
一、拉普拉斯反变换的基本概念拉普拉斯反变换是拉普拉斯变换的逆运算，用来将复平面上的函数转换回时间域中的函数。
在数学上，拉普拉斯反变换可以用积分的形式表示。
具体而言，对于给定的拉普拉斯变换函数F(s)，拉普拉斯反变换的定义如下：f(t) = (1/2πj)∫[F(s)e^(st)ds]其中，f(t)表示时间域中的函数，F(s)表示复平面上的函数，s是复变量，t是时间变量，j是虚数单位。
二、拉普拉斯反变换的性质拉普拉斯反变换具有一些重要的性质，这些性质在实际应用中非常有用。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：如果F(s)和G(s)是两个具有拉普拉斯反变换的函数，而a和b是常数，则aF(s) + bG(s)的拉普拉斯反变换等于af(t) + bg(t)。
2. 平移性质：如果F(s)的拉普拉斯反变换是f(t)，则e^(-as)F(s)的拉普拉斯反变换是e^(-at)f(t-a)。
3. 换元性质：如果F(s)的拉普拉斯反变换是f(t)，则F(as)的拉普拉斯反变换是(1/a)f(t/a)。
4. 初值定理：如果F(s)是一个函数在s趋于无穷大时的极限值，则f(0)等于F(s)在s=0处的极限值。
5. 终值定理：如果F(s)是一个函数在s趋于无穷大时的极限值，则f(∞)等于F(s)在s=0处的极限值。
三、常见的拉普拉斯变换对应的反变换下面是一些常见的拉普拉斯变换对应的反变换：1. F(s) = 1/s，对应的反变换是f(t) = 1。
2. F(s) = 1/(s-a)，对应的反变换是f(t) = e^(at)。
3. F(s) = 1/(s^2+a^2)，对应的反变换是f(t) = (1/a)sin(at)。
专题1-1 基本不等式归类(16题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练含答案
A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．2254x x ++的最小值是2C ．2222x x ++的最小值是2D ．若x >0，则2－3x －4x的最大值是2－43【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）A ．若,R a b Î，则22b a b a a b a b+³×=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg 2lg lg x y x y +³×C ．若x ＜0，则4x x+424x x³-×=-D ．若x ＜0，则222222x x x x --+>×=【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是22的是（ ）A ．()20y x x x =+¹B ．()10y x x x=+>C ．22233y x x =+++D ．2xxy e e =+题型02 基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：1t t +，或者b at t+容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin ，其中锐角q q q +，22155x x +++【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知,,a b c R Î且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（ ）A ．[)2,+¥B ．(],2-¥-C ．5,22æù--çúèûD ．52,2æùçúèû【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知ABC V 的面积为23，3A p=，则4sin 2sin sin sin 2sin sin C B BC B C+++的最小值为（ ）A ．162-B ．162+C ．61-D ．61+【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知1,,,12a b c éùÎêúëû，则2222a b c ab bc+++的取值范围是（ ）．A ．[]2,3B ．5,32éùêúëûC ．52,2éùêúëûD ．[]1,3【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数22621x y x -=-的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若()2sin 3sin f x x t x=+++(x,t R Î)最大值记为()g t ,则()g t 的最小值为A ．0B ．14C ．23D ．34题型03 常数代换型【解题攻略】利用常数11m m⨯=代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。
mathematica 拉普拉斯变换 变z变换 -回复
mathematica 拉普拉斯变换变z变换-回复什么是拉普拉斯变换？拉普拉斯变换是数学中一种重要的变换方法，它将一个函数映射到复数域上。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个在时间域上定义的函数转换为在频域上定义的函数。
这种变换对于解决微分方程和信号处理等领域非常有用。
拉普拉斯变换可以看做傅里叶变换的推广，因为它不仅能处理周期性函数，还可以处理非周期性函数。
拉普拉斯变换的定义是：\[ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt \]其中，\( F(s) \) 是函数\( f(t) \) 的拉普拉斯变换，\( s \) 是一个复数。
在这个定义中，\( e^{-st} \) 是拉普拉斯变换的核函数，通过乘以原函数中的每个时间点，并对整个函数求积分，我们可以得到拉普拉斯变换的结果。
拉普拉斯变换的变量从时间域变换到了复平面的\( s \) 平面。
这个复平面上的\( s \) 值可以看做一个复杂的频率，其中实部表示振荡的频率，虚部表示滤波的衰减速率。
在拉普拉斯变换中，我们必须关注函数在复平面上的奇点和极点，以及它们的位置和性质。
拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换有许多有用的性质，可以帮助我们进行变换的计算。
下面是一些常用的性质：1. 线性性质：如果\( F_1(s) \) 是函数\( f_1(t) \) 的拉普拉斯变换，\( F_2(s) \) 是函数\( f_2(t) \) 的拉普拉斯变换，那么对于任意常数\( a \) 和\( b \)，\( aF_1(s) + bF_2(s) \) 是函数\( af_1(t) + bf_2(t) \) 的拉普拉斯变换。
2. 平移性质：如果\( F(s) \) 是函数\( f(t) \) 的拉普拉斯变换，那么\( F(s-a) \) 是函数\( e^{at}f(t) \) 的拉普拉斯变换。
3. 改变比例：如果\( F(s) \) 是函数\( f(t) \) 的拉普拉斯变换，那么\( F(as) \) 是函数\( f(at) \) 的拉普拉斯变换。
魔方换角步骤的素数效应及其含义
以用一个七步法来概括：手持魔方， 让需要 清，甚至于无人过问，主要有两个原因，其一是
换的一个角处在右前上位，对角当然就在左后 难玩， 要求高智力；其二是太费气力， 影响工
上 角 了 。 此 时 作 ： 上 顺 ， （ 右 、 上 、 前 ） 作和学习；另外才真是其为小道，使尊贵的君
反，（ 上 、前、右）顺。这 是 一 个 七 步 法， 子们嗤之以鼻。
在80年代末到90年代初有一个法国人的文章在当时的科学通报上发表过一篇译文内容为一个物种同时有四种极为不同的环境在影响他们的生活以后就会因适应此四种新生活环境而进化为七个不同的新种至于需要证明的方法是一篇艰巨而复杂的拓扑学方法因此在其文中被省略
科技咨询导报 ２００７ ＮＯ．０８ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｓｕｌｔｉｎｇ Ｈｅｒａｌｄ 魔方换角步骤的素数效应及其含义
我想大概和素数本身一样，是够一个人用全部 一种拓扑运算之举？因为这必须与生物学发
精力来揣摩的！
展有关。
第二个令人感慨万端的是：中国人古代
３ 玩方余义
的一句成语：“拨乱反正”，跟复原一个乱方时
魔方是一个玩具， 同时也是一个教具。 所采取的策略是完全一致的。经查《公羊传·
发明人鲁比克最初的愿望，还是为了学建筑工 哀公十四年》“拨乱世而反诸正， 莫近诸《春
另外， 还 有 一 个 十 一 步 法：那 就 是： 而使用的。魔方这东西， 确实也是一个可爱
（ 前、下、右） 顺，（后、右、下）反，（右、 的宝贝， 因为它的结构和功能行为， 是极其多
下、后）顺， （下、前）反。
样的，对整个自然科学和社会科学都可解释和
此一法只有第二层的后右边块翻了身，原 模拟。甚至是哲学上的概念也能表达出来，所
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) Hom R ( T , Π
( 2)
由引理 2, H om R (T ,M S ) 是 A rtin R 2模. 又 H om R ( T , S ) 是 N oether R 2模 . 显然, H om R ( T , . 于是由引理 1 知, H om R ( T , S ) 是 N oether T 2模, H om R ( T ,M S ) , H om R ( T ,M S ) 均为 T 2模 . 由 [ 6 ] 定理 1, 它们均是 G 2 . 又由正合列 ( 2 ) 有正合列 0 → S ) 是 A rtin T 2模 M a tlis 自反 T 2模
0 → S →M → M S → 0.
Π
( 1)
下面着手讨论换环定理. 情形 T 作为 R 2模是有限生成 ( 即 N oether ) 模 . 定理 5 下列各模均为 G 2 . M a tlis 自反 T 2模 1) H om R ( T ,M ) , H om R (M , T ) ; 2) T RM ( M R T ) ; n n 3) E x tR ( T ,M ) , E x tR (M , T ) , 任意 n ≥1;
n
i′
n
Π ′
n
n n 理 2 知, E x tR ( T , S ) 是 N oether T 2模, E x tR ( T ,M S ) 是 A rtin T 2模, 从而为 G 2 M a tlis 自反 T 2 n n 模 . 因 K er i′ < E x tR ( T , S ) , Im Π ′ < E x tR ( T ,M S ) , 所以 K er i′ , Im Π ′ 均为 G 2 . M a tlis 自反 T 2模
Ξ 1995 年 7 月 11 日收到. 国家自然科学基金资助项目.
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情形. 引理 2 [ 3 ] 设 R 是 N oether 完备半局部环, M 为 R 2模 . 下列陈述等价: ( ) 1) 是 模 ; M N oether A rt in 2) Hom R (M , N ) 是 A rt in (N oether ) 模, 对任意 A rt in 模 N ; n 3) Ex tR (M , N ) 是 A rt in (N oether) 模, 对任意 A rt in 模 N 和任意 n ≥0. 引理 3 设 R 是 N oether 完备半局部环, M 为 R 2模 . 下列陈述等价: 1) M 是 N oether (A rt in ) 模; 2) M RN 是 N oether (A rt in ) 模, 对任意 N oether 模 N ; R 3) To rn (M , N ) 是 N oether (A rt in ) 模, 对任意 N oether 模 N 和任意 n ≥0. 证明 由 [ 4 ]P 28, 命题 5. 2′ , (M RN ) ∨ Hom R (M , N ∨ ). 所以对任意 N oether 模 N , 由 引理 2 及 [ 1 ] 命题 4 知, M RN 是 N oether (A rt in ) 模 Ζ (M RN ) ∨ 是 A rt in (N oether ) 模 Ζ ∨ . Hom R (M , N ) 是 A rt in (N oether) 模Ζ M 是 N oether (A rt in ) 模
R n 由 [ 4 ] P 120, 命题 5. 1, To rn (M , N ) ∨ Ex tR (M , N ∨ ). 类似上面的证明可得, 对任意 R N oether 模 N , To rn (M , N ) 是 N oether (A rt in ) 模Ζ M 是 N oether (A rtin ) 模, n ≥0. n 引理 4 [ 5 ] 设M 为 A rtin R 2模, N 为 G 2 M a tlis 自反 R 2模, 则 H om R (M , N ) , E x tR (M , N ) ,
∨ 络 . 设 M 为 R 2模, 则称 Hom R (M , E (R J ) ) 为 M 的 G 2 M a t lis 对偶模, 记为 M . 显然可定义 ∨∨ ∨∨ ∨ = (M ∨ ) ∨. 定义自然同态 Ρ ,Ρ M M M , f ∈M . 因 M:M → M ( x ) ( f ) = f ( x ) , 对任意 x ∈
R 引理 8 . M R T , T orn (M , T ) , n ≥1, 是 G 2 M a tlis 自反 T 2模 证明 由正合列 ( 1) 有正合列
i
S
R
T ——→ M
1T
R
T →M S
R
T → 0.
( 5)
由引理 3, S R T 是 N oether R 2模,M S R T 是 A rtin R 2模 . 又 S R T ,M S R T 是 T 2模, 所以 S R T 是 N oether T 2模,M S R T 是 A rtin T 2模 . 由正合列 ( 5) 有正合列 0→K er i 1T → . 由 [ 6 ] 定理 M RT → M S R T →0. 由于 K er i 1T < S R T , 所以 K er i 1T 是有限生成 T 2模 1, K er i 1T ,M S R T 均为 G 2 . 因此 M R T 为 G 2 . M a tlis 自反 T 2模 M a tlis 自反 T 2模 R R R 由正合列 ( 1) 可得正合列 T orn ( S, T ) →T orn (M , T ) →T orn (M S, T ) , n ≥1. 类似引理 6 的
第 18 卷第 2 期 1998年5月
数 学 研 究 与 评 论
JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON
Ξ
. 18 N o. 2 Vol M ay 1 9 9 8
关 于 G -M a tl is 自 反 模 的 换 环 定 理
R
. 本文推广了这一结果, 设 R M 是 M a t lis 自反 T 2模
和 T 是 N oether 完备半局部环, R →T 是环同态 . 若 T 是有限生成或 A rt in R 2模且 M 为 G 2 n n R R ( ) M a t lis 自反 R 2模, 则对所有 n ≥0, Ex tR T , M , Ex tR (M , T ) 和 To rn ( T , M ) ( To rn (M , T ) ) 均 是 G2 . M a t lis 自反 T 2模
R 4) T orn ( T ,M ) (
T orn (M , T ) ) , 任意 n ≥1.
R
下面分三步证明定理 5. n 引理 6 H om R ( T ,M ) , E x tR ( T ,M ) , n ≥1, 是 G 2 . M a tlis 自反 T 2模 证明 由正合列 ( 1) 有如下正合列
n
( 3) ( 4)
Ex t (M S , T ) → Ex t (M , T ) → Ex t (S , T ) , n ≥ 1.
n R
n R
n R
n R
显然 H om R ( S, T ) , E x t ( S, T ) 均是有限生成 R 2模 . 由引理 1, 它们均是有限生成 T 2模, 从 n 而是 G 2 . 又由于 T 为有限生成 R 2模, 所以由引理 4, H om R (M S, T ) , E x tR M a tlis 自反 T 2模 (M S, T ) 为有限生成 R 2模, 从而是有限生成 T 2模 . 所以它们也是 G 2 . 于是由 M a tlis 自反 T 2模 n 正合列 ( 3) 和 ( 4) 易知, H om R (M , T ) , E x tR (M , T ) , n ≥1, 为 G 2 . M a tlis 自反 T 2模
. n ≥1, 均为有限生成 R 2模
以下总设有环同态 R →T , 且 R 和 T 均为 N oether 完备半局部环, 并且总是假设 M 为 G 2 . 于是由 [ 5 ] 定理 1 知, 存在 M 的有限生成 R 2子模 S, 使得 M S 为 A rtin R 2 M a tlis 自反 R 2模 模 . 此时有正合列
由正合列 ( 1) 可得正合列 E x tR ( T , S ) →E x tR ( T ,M ) →E x tR ( T ,M S ) , n ≥1. 由引理 1 和引 — 278 —
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二 主要结果
引理 1 设 R 和 T 是任意环, R →T 是环同态, A 为 T 2模 ( 此时 A 当然也是 R 2模). 若 A 是 N oether (A rt in ) R 2模, 则 A 是 N oether (A rt in ) T 2模 . 证明 设 A 为 N oether R 2模, P 0 Α P 1 Α P 2 Α …为 A 的 T 2子模升链. 显然该链为 A 的 R 2 子模升链. 而 A 为 N oether R 2模, 所以该链稳定. 故 A 为 N oether T 2模 . 同理可证 A rt in 模的
黄 兆 泳
( 北京师范大 是 N oether 完备半局部环, R →T 是环同态. 本文证明了, 若 T 是
n n ( T , M ) , Ex tR (M , T ) , 有限生成或 A rtin R 2模, M 为 G 2 M atlis 自反 R 2模, 则对所有 n ≥0, Ex tR R To rR M , T ) 均是 G 2 M atlis 自反 T 2模. 所得结果推广了 R. Belshoff 的结果. n ( T , M ) 以及 To rn (