2019高考物理一轮复习第十章电磁感应第3讲电磁感应中的电路和图象问题学案

第3讲 电磁感应中的电路和图象问题电磁感应中的电路问题 【题型解读】1．电磁感应电路中的五个等效问题2．解决电磁感应电路问题的基本步骤(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E 的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向：感应电流方向是电源内部电流的方向，从而确定电源正、负极，明确内阻r .(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路图．(3)“式”的建立：根据E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt 结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．【典题例析】(2015·高考福建卷)如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R 的导体棒PQ ，在水平拉力作用下沿ab 、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程PQ 始终与ab 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中( )A ．PQ 中电流先增大后减小B ．PQ 两端电压先减小后增大C ．PQ 上拉力的功率先减小后增大D ．线框消耗的电功率先减小后增大[审题指导] 在匀强磁场中，谁运动谁是电源，则PQ 中的电流为干路电流，PQ 两端电压为路端电压，线框消耗的功率为电源的输出功率，再依据电路的规律求解问题．[解析] 设PQ 左侧金属线框的电阻为r ，则右侧电阻为3R －r ；PQ 相当于电源，其电阻为R ，则电路的外电阻为R 外＝r （3R －r ）r ＋（3R －r ）＝－⎝⎛⎭⎪⎫r －3R 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3R 223R，当r ＝3R 2时，R 外max ＝34R ，此时PQ 处于矩形线框的中心位置，即PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中外电阻先增大后减小．PQ 中的电流为干路电流I ＝ER 外＋R 内，可知干路电流先减小后增大，选项A 错误；PQ 两端的电压为路端电压U ＝E －U 内，因E ＝Blv 不变，U 内＝IR 先减小后增大，所以路端电压先增大后减小，选项B 错误；拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P ＝F 安v ＝BIlv ，可知因干路电流先减小后增大，PQ 上拉力的功率也先减小后增大，选项C 正确；线框消耗的电功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为34R ，小于内阻R ；根据电源的输出功率与外电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的电功率先增大后减小，选项D 错误．[答案] C电磁感应中电路问题的误区分析(1)不能正确分析感应电动势及感应电流的方向．因产生感应电动势的那部分电路为电源部分，故该部分电路中的电流应为电源内部的电流，而外电路中的电流方向仍是从高电势到低电势．(2)应用欧姆定律分析求解电路时，没有注意等效电源的内阻对电路的影响．(3)对连接在电路中电表的读数不能正确进行分析，特别是并联在等效电源两端的电压表，其示数应该是路端电压，而不是等效电源的电动势．【跟进题组】1．(2016·高考浙江卷)如图所示，a 、b 两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，边长l a ＝3l b ，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则( )A ．两线圈内产生顺时针方向的感应电流B ．a 、b 线圈中感应电动势之比为9∶1C ．a 、b 线圈中感应电流之比为3∶4D ．a 、b 线圈中电功率之比为3∶1解析：选B.由于磁感应强度随时间均匀增大，则根据楞次定律知两线圈内产生的感应电流方向皆沿逆时针方向，则A 项错误；根据法拉第电磁感应定律E ＝N ΔΦΔt ＝NS ΔB Δt ，而磁感应强度均匀变化，即ΔBΔt恒定，则a 、b 线圈中的感应电动势之比为E a E b ＝S a S b ＝l 2al 2b ＝9，故B 项正确；根据电阻定律R ＝ρL S ′，且L ＝4Nl ，则R a R b ＝l a l b＝3，由闭合电路欧姆定律I ＝E R ，得a 、b 线圈中的感应电流之比为I a I b ＝E a E b ·R b R a＝3，故C 项错误；由功率公式P ＝I 2R知，a 、b 线圈中的电功率之比为P a P b ＝I 2aI 2b ·R a R b＝27，故D 项错误．2．如图所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示)，R 1＝4 Ω、R 2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)．导轨OACO 的形状满足y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x (单位：m)．磁感应强度B＝0.2 T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v ＝5.0 m/s水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：(1)外力F 的最大值；(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； (3)在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：(1)由题图容易看出，当y ＝0时x 有两个值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＝0时，x 1＝0，x 2＝3.这即是O 点和C 点的横坐标，因而与A 点对应的x 值为1.5.将x ＝1.5代入函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，便得A 点的纵坐标，即y ＝2sinπ2＝2(单位：m)．这就是金属棒切割磁感线产生电动势的最大有效长度．当金属棒在O 、C 间运动时，R 1、R 2是并联在电路中的，其等效电路如图所示．其并联电阻R 并＝R 1R 2R 1＋R 2＝83Ω.当金属棒运动到x 位置时，其对应的长度为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ， 此时金属棒产生的感应电动势为E ＝Byv ＝2Bv sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x (单位：V)，其电流I ＝ER 并(单位：A)． 而金属棒所受的安培力应与F 相等，即F ＝BIy ＝B 2y 2vR 并.在金属棒运动的过程中，由于B 、v 、R 并不变，故F 随y 的变大而变大．当y 最大时F 最大，即F max ＝B 2y 2max v R 并＝0.3 N.(2)R 1两端电压最大时，其功率最大． 即U ＝E max 时，R 1上消耗的功率最大， 而金属棒上产生的最大电动势E max ＝By max v ＝2.0 V. 这时P max ＝E 2maxR 1＝1.0 W.(3)当t ＝0时，棒在x ＝0处． 设运动到t 时刻，则有x ＝vt ， 将其代入y 得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3t ，再结合E ＝Byv 和I ＝E R 并， 得I ＝E R 并＝2Bv （R 1＋R 2）R 1R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3t ＝0.75sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3t A.答案：(1)0.3 N (2)1.0 W (3)I ＝0.75sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3t A电磁感应中的图象问题[学生用书P206]【题型解读】借助图象考查电磁感应的规律，一直是高考的热点，此类题目一般分为两类： (1)由给定的电磁感应过程选出正确的图象；(2)由给定的图象分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图象．常见的图象有B －t 图、E －t 图、i －t 图、v －t 图及F －t 图等．1．解题关键弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键．2．解决图象问题的一般步骤(1)明确图象的种类，即是B －t 图还是Φ－t 图，或者E －t 图、I －t 图等； (2)分析电磁感应的具体过程；(3)用右手定则或楞次定律确定方向及对应关系；(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图象或判断图象．3．求解电磁感应图象类选择题的两种常用方法(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项．(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象进行分析和判断．【典题例析】(多选)(2016·高考四川卷)如图所示，电阻不计、间距为l 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R .质量为m 、电阻为r 的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，外力F 与金属棒速度v 的关系是F ＝F 0＋kv (F 0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i ，受到的安培力大小为F A ，电阻R 两端的电压为U R ，感应电流的功率为P ，它们随时间t 变化图象可能正确的有( )[审题指导] 先分别得出i 、F A 、U R 、P 与v 的关系．然后对棒MN 受力分析，由牛顿第二定律列方程分情况讨论棒MN 的运动情况，最后依据各量与v 的关系讨论得到各量与t 的关系．[解析] 设某时刻金属棒的速度为v ，根据牛顿第二定律F －F A ＝ma ，即F 0＋kv －B 2l 2vR ＋r＝ma ，即F 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －B 2l 2R ＋r v ＝ma ，如果k >B 2l 2R ＋r ，则加速度与速度成线性关系，且随着速度增大，加速度越来越大，即金属棒运动的v －t 图象的切线斜率也越来越大，由于F A ＝B 2l 2v R ＋r，F A －t 图象的切线斜率也越来越大，感应电流⎝ ⎛⎭⎪⎫i ＝Blv R ＋r 、电阻两端的电压⎝ ⎛⎭⎪⎫U R ＝BlRv R ＋r 及感应电流的功率⎝ ⎛⎭⎪⎫P ＝B 2l 2v 2R ＋r 也会随时间变化得越来越快，B 项正确；如果k ＝B 2l 2R ＋r ，则金属棒做匀加速直线运动，电动势随时间均匀增大，感应电流、电阻两端的电压、安培力均随时间均匀增大，感应电流的功率与时间的二次方成正比，没有选项符合；如果k <B 2l 2R ＋r，则金属棒做加速度越来越小的加速运动，感应电流、电阻两端的电压、安培力均增加得越来越慢，最后恒定，感应电流的功率最后也恒定，C 项正确．[答案] BC电磁感应图象问题的分析方法【跟进题组】1．(2018·河南三市联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、三象限内有垂直该坐标平面向里的匀强磁场，二者磁感应强度相同，圆心角为90°的扇形导线框OPQ 以角速度ω绕O 点在图示坐标平面内沿顺时针方向匀速转动．规定与图中导线框的位置相对应的时刻为t ＝0，导线框中感应电流逆时针为正．则关于该导线框转一周的时间内感应电流i 随时间t 的变化图象，下列正确的是( )解析：选A.在线框切割磁感线产生感应电动势时，由E ＝12BL 2ω知，感应电动势一定，感应电流大小不变，故B 、D 错误；在T 2～34T 内，由楞次定律判断可知线框中感应电动势方向沿逆时针方向，为正，故A 正确，C错误．2．(2018·河北唐山检测)如图甲所示，矩形导线框abcd 固定在变化的磁场中，产生了如图乙所示的电流(电流方向abcda 为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为( )解析：选D.由题图乙可知，0～t 1内，线圈中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中的磁通量的变化率相同，故0～t 1内磁感应强度与时间的关系是一条斜线，A 、B 错误；又由于0～t 1时间内电流的方向为正，即沿abcda 方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向向里，故0～t 1内原磁场方向向里减小或向外增大，因此D 正确，C 错误．学生用书P207]1．如图所示是两个互连的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，磁场垂直穿过大金属环所在区域．当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E ，则a 、b 两点间的电势差为( )A.12EB.13EC.23E D ．E 解析：选B.a 、b 间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的13，故U ab ＝13E ，B 正确．2．如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n ＝100，线圈的面积S ＝200 cm 2，线圈的电阻r ＝1 Ω，线圈外接一个阻值R ＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示．下列说法中正确的是( )A ．线圈中的感应电流方向为顺时针方向B ．电阻R 两端的电压随时间均匀增大C ．线圈电阻r 消耗的功率为4×10－4W D ．前4 s 内通过R 的电荷量为4×10－4 C解析：选C.由楞次定律，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，选项A 错误；由法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势恒定为E ＝nS ΔB Δt ＝0.1 V ，电阻R 两端的电压不随时间变化，选项B 错误；回路中电流I ＝ER ＋r＝0.02 A ，线圈电阻r 消耗的功率为P ＝I 2r ＝4×10－4W ，选项C 正确；前4 s 内通过R 的电荷量为q ＝It ＝0.08 C ，选项D 错误．3.如图所示，PN 与QM 两平行金属导轨相距1 m ，电阻不计，两端分别接有电阻R 1和R 2，且R 1＝6 Ω，ab 杆的电阻为2 Ω，在导轨上可无摩擦地滑动，垂直穿过导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为1 T ．现ab 以恒定速度v ＝3 m/s 匀速向右移动，这时ab 杆上消耗的电功率与R 1、R 2消耗的电功率之和相等．则( )A ．R 2＝6 ΩB ．R 1上消耗的电功率为0.75 WC ．a 、b 间电压为3 VD ．拉ab 杆水平向右的拉力为0.75 N解析：选D.杆ab 消耗的功率与R 1、R 2消耗的功率之和相等，则R 1·R 2R 1＋R 2＝R ab .解得R 2＝3 Ω，故A 错误；E ＝Blv ＝3 V ，则I ab ＝ER 总＝0.75 A ，U ab ＝E －I ab ·R ab ＝1.5 V ，P R 1＝错误!＝0.375 W ，故B 、C 错误；F 拉＝F 安＝BI ab ·l ＝0.75 N ，故D 正确．4．(高考全国卷Ⅰ)如图甲，线圈ab 、cd 绕在同一软铁芯上，在ab 线圈中通以变化的电流，用示波器测得线圈cd 间电压如图乙所示．已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比，则下列描述线圈ab 中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是( )解析：选C.由题图乙可知在cd 间不同时间段内产生的电压是恒定的，所以在该时间段内线圈ab 中的磁场是均匀变化的，则线圈ab 中的电流是均匀变化的，故选项A 、B 、D 错误，选项C 正确．5．(2015·高考安徽卷)如图所示，abcd 为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，间距为l ，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，导轨电阻不计，已知金属杆MN 倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r ，保持金属杆以速度v 沿平行于cd 的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)．则( )A ．电路中感应电动势的大小为Blvsin θB ．电路中感应电流的大小为Bv sin θrC ．金属杆所受安培力的大小为B 2lv sin θrD ．金属杆的热功率为B 2lv 2r sin θ解析：选B.金属杆的运动方向与金属杆不垂直，电路中感应电动势的大小为E ＝Blv (l 为切割磁感线的有效长度)，选项A 错误；电路中感应电流的大小为I ＝E R ＝Blv lsin θr＝Bv sin θr，选项B 正确；金属杆所受安培力的大小为F ＝BIl ′＝B ·Bv sin θr ·l sin θ＝B 2lv r ，选项C 错误；金属杆的热功率为P ＝I 2R ＝B 2v 2sin 2θr 2·lr sin θ＝B 2lv 2sin θr，选项D 错误．6.(多选)(2018·江西新余模拟)如图所示，在坐标系xOy 中，有边长为L 的正方形金属线框abcd ，其一条对角线ac 和y 轴重合、顶点a 位于坐标原点O 处．在y 轴的右侧，在Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的上边界与线框的ab 边刚好完全重合，左边界与y 轴重合，右边界与y 轴平行．t ＝0时刻，线框以恒定的速度v 沿垂直于磁场上边界的方向穿过磁场区域．取沿a →b →c →d →a 方向的感应电流为正，则在线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i 、ab 间的电势差U ab 随时间t 变化的图线是下图中的( )解析：选AD.在d 点运动到O 点过程中，ab 边切割磁感线，根据右手定则可以确定线框中电流方向为逆时针方向，即正方向，电动势均匀减小到0，则电流均匀减小到0；然后cd 边开始切割磁感线，感应电流的方向为顺时针方向，即负方向，电动势均匀减小到0，则电流均匀减小到0，故A 正确、B 错误；d 点运动到O 点过程中，ab 边切割磁感线，ab 相当于电源，电流由a 到b ，b 点的电势高于a 点，ab 间的电势差U ab 为负值，大小等于电流乘以bc 、cd 、da 三条边的电阻，并逐渐减小；ab 边出磁场后，cd 边开始切割磁感线，cd 边相当于电源，电流由b 到a ，ab 间的电势差U ab 为负值，大小等于电流乘以ab 边的电阻，并逐渐减小，故C 错误、D 正确．7．(多选)如图所示，一金属棒AC 在匀强磁场中绕平行于磁感应强度方向的轴(过O 点)匀速转动，OA ＝2OC ＝2L ，磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里，金属棒转动的角速度为ω、电阻为r ，内、外两金属圆环分别与C 、A 良好接触并各引出一接线柱与外电阻R 相接(没画出)，两金属环圆心皆为O 且电阻均不计，则( )A ．金属棒中有从A 到C 的感应电流B ．外电阻R 中的电流为I ＝3B ωL22（R ＋r ）C ．当r ＝R 时，外电阻消耗功率最小D ．金属棒AC 间电压为3B ωL 2R2（R ＋r ）解析：选BD.由右手定则可知金属棒相当于电源且A 是电源的正极，即金属棒中有从C 到A 的感应电流，A 错误；金属棒转动产生的感应电动势为E ＝12B ω(2L )2－12B ωL 2＝3B ωL 22，即回路中电流为I ＝3B ωL 22（R ＋r ），B正确；由电源输出功率特点知，当内、外电阻相等时，外电路消耗功率最大，C 错误；U AC ＝IR ＝3B ωL 2R2（R ＋r ），D正确．8．上海世博会某国家馆内，有一“发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电．其原因是地板下有一发电装置，如图甲所示，装置的主要结构是一个截面半径为r 、匝数为n 的线圈，紧固在与地板相连的塑料圆筒P 上．磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图乙为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k 的复位弹簧(图中只画出其中的两个)．当地板上下往返运动时，便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为B ，线圈的总电阻为R 0，现用它向一个电阻为R 的小灯泡供电．为了便于研究，将某人走过时地板发生的位移—时间变化的规律简化为图丙所示．(取地板初始位置x ＝0，竖直向下为位移的正方向，且弹簧始终处在弹性限度内．)(1)取图乙中逆时针方向为电流正方向，请在图丁所示坐标系中画出线圈中感应电流i 随时间t 变化的图线，并标明相应纵坐标．要求写出相关的计算和判断过程；(2)t ＝t 02时地板受到的压力；(3)求人踩踏一次地板所做的功．解析：(1)0～t 0时间，地板向下做匀速运动， 其速度v ＝x 0t 0，线圈切割磁感线产生的感应电动势e ＝nB ·2πrv ＝2nB πrx 0t 0，感应电流i ＝eR ＋R 0＝2nB πrx 0（R ＋R 0）t 0； t 0～2t 0时间，地板向上做匀速运动，其速度v ＝x 0t 0，线圈切割磁感线产生的感应电动势 e ＝－nB ·2πrv ＝－2nB πrx 0t 0， 感应电流i ＝eR ＋R 0＝－2nB πrx 0（R ＋R 0）t 0； 图线如图所示．(2)t ＝t 02时，地板向下运动的位移为x 02，弹簧弹力为kx 02，安培力F 安＝nBi ·2πr ＝2nBi πr ，由平衡条件可知，地板受到的压力F ＝2kx 0＋4n 2B 2π2r 2x 0（R ＋R 0）t 0. (3)由功能关系可得人踩踏一次地板所做的功W ＝2i 2(R ＋R 0)t 0＝8n 2B 2π2r 2x 20（R ＋R 0）t 0. 答案：(1)见解析 (2)2kx 0＋4n 2B 2π2r 2x 0（R ＋R 0）t 0(3)8n 2B 2π2r 2x 20（R ＋R 0）t 0。