广东省汕头市金山中学2009届高三期中考试题数学理科

广东省金山中学2009届高三期中考试题数学理科一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分） 1．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={B A x x ⋃∈且B A x ⋂∉}，己知 A={22x x y x -=}，B={22x y y =}，则A ×B 等于A ．(2，+∞)B ．[0，1]∪[2，+∞)C ．[0，1)∪(2，+∞)D ．[0．1]∪(2，+∞)2．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图像可能是3．已知定义域为R 的函数)(x f 在区间(4，+∞)上为减函数，且函数)4(+=x f y 为偶函数，则 ( )A ．)2(f ＞)3(fB ．)2(f ＞)5(fC ．)3(f ＞)5(fD ．)3(f ＞)6(f 4．下列四个函数中，在区间（0，41）上为减函数的是（ ） A ．xx y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B ．x y )21(-= C ．y= xlog 2x D ．31x y = 5. 已知命题:p 不等式m x >-|1|的解集是R ，命题xmx f q -=2)(:在区间),0(+∞上是减函数，若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是 A. )0,(-∞ B. )2,0[ C. （0，2） D. )2,(-∞ 6．若ππ43<<x ，则2cos 12cos 1xx -++等于 （A ）)24cos(2x -π（B ）)24cos(2x--π（C ）)24sin(2x -π（D ）)24sin(2x --π7．已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，且)2(π+=x f y 为偶函数，对于函数)(x f y =有下列几种描述： ①)(x f y =是周期函数②π=x 是它的一条对称轴 ③)0,(π-是它图象的一个对称中心④当2π=x 时，它一定取最大值 其中描述正确的是A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③8．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ． (0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞ 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．不等式21213≤+-xx 的解集为 . 10．若y x 22loglog+≥4，则y x +的最小值为_________．11．由曲线1,1,===y x e y x 所围成的图形面积是 .12．若x 、y 满足(22)1()1,12020-+-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤y x y x y x 则的取值范围是 。

13. 已知,41)6sin(=+πx 则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ=_________. 14．已知表中的对数值有且只有两个是错误的：请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a ＋b －c 的形式）高三数学期中考试题班级 姓名 座号 评分 一．选择题答案栏二．填空题9、_________________;10、_________________;11、________________ 12、_____________;13、_______________;14、_________________. 三、解答题15．函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=112lg )(x x f 的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ． （1）判定函数()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）问：2a ≥是A B ⋂=Φ的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论．16.在ABC ∆中， tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B17．运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.运动员在空中的最高处距水面332米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （Ⅰ）求这条抛物线的解析式；（Ⅱ）运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为518米，问此次跳水会不会失误？18.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？CA B19．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根βα，，且βα<.定义函数12)(2+-=x mx x f（Ⅰ）求()()f f αα+ββ的值；（Ⅱ）判断)(x f 在区间(,)αβ上的单调性，并加以证明；20. 已知集合A={(x,y)|y ≥|x －a|},B={(x,y)|y ≤－a|x|+2a}(a ≥0).(1)证明A ∩B ≠∅;(2)当0≤a ≤4时,求由A ∩B 中点组成图形面积的最大值.高三数学期中考试题班级 姓名 座号 评分 一．选择题答案栏二．填空题 9、(](]103，，－－⋃∞ 10、4 11、e-2 12、⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，13、161914、b a c b a 2112lg ;35.1lg +-≠+-≠ 三、解答题15. 解：A={x|210}1x ->+21100(1)(1)011x x x x x -->⇔<⇔+-<++ ∴ -1<x<1∴A=（-1，1），定义域关于原点对称 f （-x ）=lg11x x +-+= lg 11()1x x --+=- lg 11xx -+， ∴f （x ）是奇函数. （2）B={x|1||0}x a -+≥||11111x a x a a x a+≤⇔-≤+≤⇔--≤≤-B=[-1-a ，1-a]当a ≥2时， -1-a ≤-3， 1-a ≤-1，由A=（-1，1）， B=[-1-a ，1-a]， 有A B =∅反之，若A B =∅ ，可取-a-1=2，则a=-3，a 小于2. （注：反例不唯一） 所以，a ≥2是A B =∅ 的充分非必要条件。

16、解：由tantan 422A B C++= π=++C B A ,得42tan 2tan=+-C C π ∴cossin224sin cos 22C CC C += ∴14sin cos22C C =∴1sin 2C =， 又(0,)C π∈ ∴566C C ππ==，或 由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =6B C π==2()3A B C ππ=-+=17解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为2y ax bx c =++． 由题意，知O （0，0），B （2，－10），且顶点A 的纵坐标为23． 22506421043342100a c ac b b a a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪++=-=⎪⎪⎩⎪⎩或 3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴02ba ->,又∵抛物线开口向下，∴a ＜0,从而b ＞0,故有2510,,063a b c =-== ∴抛物线的解析式为2251063y x x =-+．（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为518米时， 即582518=-=x 时，225810816()65353y =-⨯+⨯=-， ∴此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，因此，此次跳水会失误。

18 解：如图，设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度 为（y －0.5）米 在△ABC 中，依余弦定理得：ACB BC AC BC AC AB ∠∙-+=cos 2222即212)5.0(222⨯-+=-yx x y y 化简，得41)1(2-=-x x y ∵1>x ，∴01>-x因此1412--=x x y 方法一：232)1(43)1(1412+≥+-+-=--=x x x x y当且仅当)1(431-=-x x 时，取“=”号，即231+=x 时，y 有最小值32+CAB方法二：2222/)1(412)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x解⎪⎩⎪⎨⎧=+->041212x x x ，得231+=x ∵当2311+<<x 时，0/<x y ；当231+>x 时，0/>x y ∴当231+=x 时，y 有最小值32+19（Ⅰ）解：∵,αβ是方程210x mx --=的两个实根，∴1m αβαβ+=⎧⎨⋅=-⎩． ∴222()21()()1m f ααβαβααααβααααβ-+--====-+-，同理1()f ββ=，∴()()2f f ααββ+=．（Ⅱ） ∵22()1x m f x x -=+， ∴2222222(1)(2)22(1)()(1)(1)x x m x x mx f x x x +--⋅--'==-++， 当(,)x αβ∈时，21()()0x mx x x --=-α-β<，从而()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上为增函数．20(1)证明:显然(0,a)∈A. 当x=0时,y=－a|x|+2a=2a, ∴(0,2a)∈B.∴A ∩B ≠∅.(2)解:如左上图,当2≤a ≤4时,A ∩B 中点组成如图所示△EFD,易得E(0,2a)、F(－a a +1,a a a ++122)、D(1-a a ,122--a a a )、G(0,a).∴S △EFD =S △EFG +S △FGD=21a ·1+a a +21a ·1-a a =123-a a . 当0<a<2时,A ∩B 中点组成如右上图所示四边形EFGH.易得E(0,2a)、F(－1+a a ,122++a a a )、G(a,0)、H(13+a a ,122+-a a a )、D(－2,0)、Q(2,0),而S 四边形EFGH =S △DEQ －S △DFG －S △GHQ=21×4×2a －21(a+2)·122++a a a －21(2－a)·122+-a a a=1432+-a a a .当a=0时,A ∩B={(0,0)}. 显然适合上式,∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-.42,1,20,142332a a a a a a a当0≤a<2时,S=1432+-a a a ,∴S ′=322)1(4)1)(38(++-+-a a a a a a =23)1(82+++-a a a a =.0)1()4(222>++-a a a a∴S=1432+-a a a 在［0,2)上是增函数.∴0≤S<38.当a ≥2时,S=123-a a ,∴S ′=22322)1(2)1(3-⋅--a a a a a =2224)1(3--a a a =2222)1()3(--a a a >0, ∴S=123-a a 在［2,4］上是增函数.∴38≤S ≤1564.综上所述,当a=4时,A ∩B 中点组成图形面积取得最大值1564.。