6.3 .2二次函数与一元二次方程 课件2
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《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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新知探究
(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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课堂小测
3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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课堂小测
解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
根x1=x2
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
《二次函数与一元二次方程》PPT课件
（2）当h=20时，20t-5t2=20， 化简得t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
思考
判别式(△)b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t-5t2=0，化简得t2-4t=0， t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
思考
判别式(△)b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t-5t2=0，化简得t2-4t=0， t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
二次函数与一元二次方程课件PPT
知识点一
知识点二
知识点二用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:
(1)画出二次函数的图象;
(2)确定抛物线与x轴交点的个数;
(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;
(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的
近似解(或根).
名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次
D.x<-1或x>4
解析:求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时
对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x<-1或x>3.
答案:C
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y>0时
x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的
x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0时,找
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公
共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两
个不等实数根.
知识点一
知识点二
名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的
由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2
之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1
和2之间.
二次函数与一元二次方程通用课件
100%
抛物线运动问题
在物理和运动学中，利用二次函 数描述物体抛物线运动轨迹，解 决实际问题。
80%
桥梁承载能力分析
通过建立二次函数模型，评估桥 梁在不同负载下的弯曲程度，确 保安全。
利用一元二次方程解决实际问题
速度与距离问题
在匀速运动中，利用一元二次 方程求解未知的速度或距离。
面积与周长问题
在几何图形中，利用一元二次 方程求解图形的面积或周长。
投资回报问题
在金融领域，利用一元二次方 程计算投资回报率，评估投资 方案。
二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用对比
01
02
03
应用范围
二次函数的应用范围更广， 可以描述更复杂的数学关 系；一元二次方程则更侧 重于解决特定的问题。
建模难度
二次函数需要更复杂的建 模过程，而一元二次方程 相对简单，易于理解和应 用。
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的 方程。
详细描述
一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。这个方程只含有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的解法
总结词
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
详细描述
一元二次方程的根具有根的和、根的积、根的判别式等性质。
一元二次方程的根具有一些重要的性质。根的和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；根的积等 于常数项除以二次项系数所得的结果；根的判别式Δ = b^2 - 4ac，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；当 Δ < 0 时，方程没 有实根。这些性质对于理解和求解一元二次方程非常重要。
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
二次函数与一元二次方程课件.ppt
0
18
15
12
9
6
3
0
5
10
15 -15 -10 -5 -3 0
5
10 15
数学应用：
例1 求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两 个不相等的实数根。
证法一： 因为 △ ＝32－4×2×（－7）
=65 >0 所以方程有两个不相等的实数根。
证法二：
设 f(x)=2x2+3x-7 因为函数的图象是一条开口向上的抛物线， 且
课堂练习：
已知函数 f(x)=-x2+4x+12 （1） 求出该函数的零点； （2） 试证明方程f(x)=0有两个不等的实数
根，且两根分别在区间(-3,-1)和(5,7)内。
总结：
二次函数和一元二次方程是一个有机的整体， 函数y= ax2+bx+c (a≠0)的零点就是方程f(x)=0的 实根。在利用二次函数的图象和性质讨论一元二 次方程的实根分布时，经常会用到以下结论：
f(0)=-7<0, 所以函数的f(x)图象与x轴有两个不同的交点， 即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
例2 图2是一个二次函数y=f(x)的图象。
（1） 写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3） 试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大
小关系。
6
44
图1
-44
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
就是二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的值为0时自 变量x的值，
也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，
二次函数与一元二次方程-用PPT课件
点的是（ D ）
(A)yx2 2
(B)yx2 x
(C)yx26x9 (D . )yx2x+c（a≠0）的图象全部 在x轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0
(D）a＜0 b2-4ac＜0
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1 . △＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
x1 x2
x
OA B
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点横坐标与一元二次方 程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
B（x2，0
），
a
a
随堂练习
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ； 则函数 yx24x5的图象与x轴的交点 有 2 个，其坐标是 （-5，0）、（1．，0）
2、方程 x21x0 2 50的根是 x1 x2 5；
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点
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h=－5t２+40t
-----------------------
方法一：从图象上看，就是图象 上纵坐标为60的点的横坐标。 因此当t=2秒或t=6秒时，小 球离地面的高度是60m。
-----------------------------
-----------------------------
（3）何时小球离地面的高度是60m?
h=－5t２+40t
方法二：解方程－5t２+40t=60. 得t1=2，t2=6. 所以，当小球被抛出2秒和6秒 时离地面的高度是60m.(2源自由 3 x 2 x 1 0得
∴此方程有两个不相等的实数根． ∴该抛物线与x轴有两个交点.
b 2 4ac 12 4 3 1 11 0
∴此方程没有实数根． ∴该抛物线与x轴没有公共点.
练一练
y =ax2+bx+c
1、根据图象提供的信息写 出一元二次方程 ax2+bx+c=0 x2 = 0 。 的根：x 1=-2, ━━━━━━━━━━━━。 2、二次函数 y =x2-5x+6的图象 两 个交点，交点坐标是 与x轴有━━━
例题
例 不画图象，判断下列函数的图象与x轴是否有公 共点，并说明理由. (1) y 2 x 2 3x 4 (2) y 3x 2 x 1 解： (1)由 2 x2 3x 4 0得
b 4ac 3 4 2 4 41 0
2 2
方法二：利用一元二次方程解决问题. 由h=0可得方程： -5t 2+40t =0.解得：t1=0，t2=8，可知小 球经过8秒后落地.
探索研究
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
y=x2-2x-3 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象 与x轴有几个交点？你能说出交点的 坐标吗？
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点， 一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根.
探索研究
一般地二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程
ax2＋bx＋c =0的根有什么关系呢？
二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象与x轴有两个交点,那么一元 二次方程ax2＋bx＋c =0有两个不相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点,那么一元二 次方程ax2＋bx＋c =0有两个相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点,那么一元二 次方程ax2＋bx＋c =0没有实数根.
(2)思考：利用交点的坐标你能 说出x取何值时，y=0吗？ 当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0. （3）探究：你能说出一元二次方程 x 2 -2x -3=0的根吗？ 一元二次方程 x2-2x - 3=0的根为x1=-1,x2=3.
探索研究
y=x2-6x+9 y=x2-2x+3
类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二 次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有一个交点：（3，0）， 一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根:x1=x2=3。
问题情境
一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m) 与运动时间t(s)之间的关系为二次函数 h=-5t 2+40t ，其函数 图象如下图所示． 请问小球经过多少秒后落地?与同学进行交流. 解:方法一：利用函数图象解决问题.
图象与x轴的交点坐标为（0，0） （8，0），可知小球经过8秒后落地.
解:（1）利用图象或将t =7代入
h=-5t 2+40t 中都可以得到：当t =7 秒时，小球距地面的高度时35m。 （2）方程-5t2+40t=75的根的实际 意义是小球的高度为75m时所运动 的时间。
-----------------------------------
拓展提高
（3）何时小球离地面的高度是60m? 与同学进行交流。
━━━━━━━━━━━━━━。
（ 2 ， 0 ） , （ 3， 0）
3、课本P22 练习1，2.
拓展提高
在本节一开始的小球上抛问题中, 请问: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2） 方程 -5t 2+40 t =75的根的实际意义是什么？
h=-5t 2+40t
----------------------------
探索研究
一元二次方程ax2＋bx＋c =0有两个不相等的实数根,你又能得 到什么呢？ 可以知道：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点. 一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根,那么二次 函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点. 一元二次方程ax2＋bx＋c没有实数根,那么二次函数y=ax2 ＋bx＋c的图象与x轴没有交点.
-----------------------
方法一：从图象上看，就是图象 上纵坐标为60的点的横坐标。 因此当t=2秒或t=6秒时，小 球离地面的高度是60m。
-----------------------------
-----------------------------
（3）何时小球离地面的高度是60m?
h=－5t２+40t
方法二：解方程－5t２+40t=60. 得t1=2，t2=6. 所以，当小球被抛出2秒和6秒 时离地面的高度是60m.(2源自由 3 x 2 x 1 0得
∴此方程有两个不相等的实数根． ∴该抛物线与x轴有两个交点.
b 2 4ac 12 4 3 1 11 0
∴此方程没有实数根． ∴该抛物线与x轴没有公共点.
练一练
y =ax2+bx+c
1、根据图象提供的信息写 出一元二次方程 ax2+bx+c=0 x2 = 0 。 的根：x 1=-2, ━━━━━━━━━━━━。 2、二次函数 y =x2-5x+6的图象 两 个交点，交点坐标是 与x轴有━━━
例题
例 不画图象，判断下列函数的图象与x轴是否有公 共点，并说明理由. (1) y 2 x 2 3x 4 (2) y 3x 2 x 1 解： (1)由 2 x2 3x 4 0得
b 4ac 3 4 2 4 41 0
2 2
方法二：利用一元二次方程解决问题. 由h=0可得方程： -5t 2+40t =0.解得：t1=0，t2=8，可知小 球经过8秒后落地.
探索研究
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
y=x2-2x-3 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象 与x轴有几个交点？你能说出交点的 坐标吗？
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点， 一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根.
探索研究
一般地二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程
ax2＋bx＋c =0的根有什么关系呢？
二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象与x轴有两个交点,那么一元 二次方程ax2＋bx＋c =0有两个不相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点,那么一元二 次方程ax2＋bx＋c =0有两个相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点,那么一元二 次方程ax2＋bx＋c =0没有实数根.
(2)思考：利用交点的坐标你能 说出x取何值时，y=0吗？ 当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0. （3）探究：你能说出一元二次方程 x 2 -2x -3=0的根吗？ 一元二次方程 x2-2x - 3=0的根为x1=-1,x2=3.
探索研究
y=x2-6x+9 y=x2-2x+3
类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二 次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有一个交点：（3，0）， 一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根:x1=x2=3。
问题情境
一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m) 与运动时间t(s)之间的关系为二次函数 h=-5t 2+40t ，其函数 图象如下图所示． 请问小球经过多少秒后落地?与同学进行交流. 解:方法一：利用函数图象解决问题.
图象与x轴的交点坐标为（0，0） （8，0），可知小球经过8秒后落地.
解:（1）利用图象或将t =7代入
h=-5t 2+40t 中都可以得到：当t =7 秒时，小球距地面的高度时35m。 （2）方程-5t2+40t=75的根的实际 意义是小球的高度为75m时所运动 的时间。
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拓展提高
（3）何时小球离地面的高度是60m? 与同学进行交流。
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（ 2 ， 0 ） , （ 3， 0）
3、课本P22 练习1，2.
拓展提高
在本节一开始的小球上抛问题中, 请问: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2） 方程 -5t 2+40 t =75的根的实际意义是什么？
h=-5t 2+40t
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探索研究
一元二次方程ax2＋bx＋c =0有两个不相等的实数根,你又能得 到什么呢？ 可以知道：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点. 一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根,那么二次 函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点. 一元二次方程ax2＋bx＋c没有实数根,那么二次函数y=ax2 ＋bx＋c的图象与x轴没有交点.