人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程单元复习课件

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人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件

2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?

第21章一元二次方程小结与复习人教版数学九年级上册课件(29张PPT)

Δ<0,方程无实数根
根
b
*根与系数的关系
x1 x2 c
a
x1 x2 a
解法
直接开平方法：形如 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) 的方程
配方法：一般形式的方程先配方为 (mx + n)2 = p
(p≥0) 的形式再求解
公式法： x b b2 4ac (b2 4ac ≥ 0) 2a
因式分解法：若方程可变形为 (mx + n)(px + q) = 0
(mp≠0)，则
x1
=
n m
，x2
=
q p
列一元二次方程解实际问题的步骤：审解、、设验、、列答、
应用几种常见类型
传播问题单(双)循环问题平均变化率问题销售问题数字问题几何图形面积问题
考点讲练
考点一一元二次方程的定义例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ A ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
针对训练
2. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 −1 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 7 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2023 的值为___2_0_2_2__.

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件

5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达 8000元，销售单价应为多少?
一个未知数
一概念最高次是2
元
整式方程
二
次一般情势： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
Δ>0,方程有两个不等的实数根
根的判别式Δ=b2-4ac Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ<0,方程无实数根
根
b
根与系数的x1 x2 a
因式分解法：若A·B=0，则A=0或B=0
方案设计问题
数字问题
随堂演练
1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般情势为
，
二次x2项-5x系-4数=0、一次项系数和常数项分别是
.
2. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同1，时-加5，上-44的
是（）
A.x2－C2x=5
B.2x2－4x=5
C.x2+4x=5
D.x2+2x=5
3. 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ C） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
4. 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x, 则由题意列方程为（ D ） A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)

第二十一章一元二次方程
重点归类提升练
一、有理数的解法
1．已知：关于 x 的一元二次方程 x －2(2m－3)x＋4m －14m＋8＝0. 3 (1)当 m＝时，用____________法解方程较为简单； 2 (2)当 m＝0 时，用配方法解方程； (3)当 m＝1 时，用公式法解方程；
2
2
第二十一章一元二次方程
2
图21－Z－1
第二十一章一元二次方程
(2)如果在(1)中正方体打孔后，再在正面中心位置(如图 21－Z －1②所示)从前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________． (3)如果把(1)(2)中的边长为 1 cm 的正方形通孔均改为边长为
a cm(a≠1)的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的橡皮泥块的表 2 面积为 118 cm ？如果能，求出 a 的值；如果不能，请说明理由．
第二十一＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由求根公式，得 x ＝ 2（2m－3）± 8m＋4 ＝(2m－3)± 2m＋1. 2 ∵方程有两个整数根，∴必须使 2m＋1为整数且 m 为整数． ∵2m＋1 必是奇数，∴ 2m＋1是奇数．又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81， ∴5＜ 2m＋1＜9，∴ 2m＋1＝7，∴m＝24.
第二十一章一元二次方程
二、一元二次方程的应用
2．实验与操作：小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮泥做了一个棱长为 4 cm 的正方体． (1)如图 21－Z－1①所示，在正方体顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________ cm .
第二十一章一元二次方程

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

第21章一元二次方程复习(复习课件)九年级数学上册(人教版)

3000(1+x)2=5880
解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%.
答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
课堂检测
考点4
人教版数学九年级上册
实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
1.截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第
一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三
二次项系数
一次项系数
常数项
课堂检测
考点1
人教版数学九年级上册
一元二次方程的概念
1.有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0,②3x(x-4)=0,③x2+y-3=0,
1
④ 2 x 2 ,⑤x3-3x+8=0,⑥x2-5x+7=0,⑦(x-2)(x+5)=x2-1.其中是一元二
x
次方程的有( A )
知识梳理
考点4
人教版数学九年级上册
实际问题与一元二次方程—几何问题
例5 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样
宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的
宽应为多少？
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0,
求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.
∵m+2≠0，∴m≠-2，
∴m=2.
课堂检测
考点2
人教版数学九年级上册
一元二次方程的根

九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(新版)新人教版

好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好
友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n= . 10
5. 2014年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转
决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米3240元．
二次项系数是含字母系数切记不要忽略a ≠0. 用自己最熟练的方法就是最好的方法 . 传播问题，平均变化率问题，几何面积问题，数字问题，握手问题与球赛问题必须熟练掌握 .
课后训练
1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（） B
Δ =0
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；方程没有实数根.
Δ <0
配套训练 1.下列所给方程中，没有实数根的是（
） D
A. x2+x=0
C.3x2-4x+1=0
B. 5x2-4x-1=0
D. 4x2-5x+2=0
2.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）． 0
程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，
列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0. 解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
方法归纳解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会

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解：假设能，设AB的长度为x m，则BC的长度为（32-2x）m. 根据题意,得x（32-2x）=126. 解得x1=7，x2=9. ∴32-2x=18或32-2x=14. ∴假设成立.花圃长为18 m,宽为7 m或长为14 m, 宽为9 m.
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
题意,得400(1－x)2=361.
解得x1= =5%，x2=
（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×(1－5%)=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
变式训练
3. 校园空地上有一面墙，长度为20 m，用长为32 m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图1-2112-1. 能围成面积是126 m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
及根与系数的关系（韦达定
理）.
根，则
= ______ ．
4. （青海）某种药品原价每盒 60元，由于医疗政策改革，价格 C. 一元二次方程的经过两次下调后现在售价每盒实际应用. 48.6元，则平均每次下调的百分率为________． 10%
典型例题
知识点1：一元二次方程的解法【例1】用适当的方法解下列方程：
（1）证明：在方程x2－(t－1)x+t－2=0中， Δ=［－(t－1)］2－4×1×(t－2)=t2－6t+9=(t－ 3)2≥0, ∴对于任意实数t，方程都有实数根.
（2）解：设方程的两根分别为m,n. ∵方程的两个根互为相反数， ∴m+n=t－1=0，解得t=1． ∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
典型例题
知识点3：一元二次方程的实际应用【例3】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相等．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4
项系数是 -2 ，常数项是 0
.
，一次
考点二一元二次方程的根的应用例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= -1 .
解析根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
变式训练
2. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有
两根α，β.
（1）求m的取值范围；
（2）若
=-1，则m的值为多少？
解：（1）由题意知， Δ=（2m+3）2-4×1×m2≥0. 解得m≥-
（2）由根与系数的关系,得α+β=-（2m+3）， αβ=m2.
化简,得（m-3）（m+1）=0. 解得m1=-1，m2=3. 由（1）知m≥- ， ∴m1=-1应舍去，则m的值为3.
考点讲练
考点一一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
(x + m) （x + n）＝0
三、一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
（1）（x-5）2-9=0；
（2）6x2－x－2=0.
解：移项，
பைடு நூலகம்
解：a=6,b=-1, c=-2.
得(x-5)2=9.
Δ=b2-4ac=(-1)2- 4×6×
∴x-5=±3.
(-2)=49.
∴x1=8,x2=2.
变式训练
1. 用适当的方法解下列方程：
（1）x（x-4）=1；
解：去括号，得 x2-4x=1.
第二十一章一元二次方程
一元二次方程单元复习课
知识点导学
A. 一元二次方程的解法.
1. （徐州）方程x2－4=0的
解是___________x_=．±2
2. 方程(x－3)(x－9)=0的根
是 ___x__1=_3_，___x_2=__9___．
B.
一元二次方程根的判别式
3. （莱芜区）已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
配方，得x2-4x+22=1+22,
即(x-2)2=5.
∴x-2=± .
∴x1=2+
,x2=2- .
（2）（2x+1）2=2x+1.
解：移项，得（2x+1）2-(2x+1)=0. 因式分解，得 (2x+1)·2x=0. ∴x1=- ,x2=0.
典型例题
知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】已知关于x的一元二次方程：x2－(t－1)x+t －2=0．（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程单元复习 课件