QED中e_单圈图重整化传播子的_精确_计算结果

播子
S (单圈 Fc
)
( p )的严格解析计算问题。利用文献
[
16 ]
对
S ( 单圈 ) Fc
(p
)里的圈函数
(p) 动量正规化 处理后
获得的重整化有限量 c ( p ), 并借鉴文献 [ 2] 中所建
立的一系列有 效计算处理方法,
完成对
S (单圈 ) Fc
(p )的
严格 解析计算并获得 精确 理论结果。需要关注
学基金重点资助项目 ( 8562) 作者简介: 方祯云 ( 1945 ), 男, 重庆大学教授, 博士生导师, 主要从事理论物理的研究, ( T eL ) 023- 65103180;
( E m a il) zyfang@ cqu. edu. cn.
11 2
重庆大学学报 (自然科学版 )
第 30卷
=
m2 4#2
1 0
dx
( 7)
x ( 1- x2 ) ∃(- m2, x ) -
∀ i∀
[(
∀p) -
im ]
,
( 8)
( 1)
于是, ! c (p ) 的计算将转换成计算 ! c ( p ) 和
( 2)
(1)
! c (p )。对 ! c ( p ) 完 成 分 部 积 分 计 算 后, 可
表成:
1 16#2
c
dz
-
4m 2 ( (
∀ p ) - 2im ) x2 + 2m 2 ( ∃( - m 2, x ) - i∀
∀ p ) x3
,
( 9)
! ! 然而, 对 ( 1) (p ) 和 ( 2) ( p ) 考察 x & 0的行为
c
c
时, 容易看出后者将出现 发散 ; 而这种 发散 是属
低能光子所造成的发散 ! ! ! 红外发散 , [ 20] 需要给
算结果。这些研究结果对于深入研究粒子物理学中许

多重要的粒子反应过程的计算及其有关的物理问题的 探讨, 都产生了十分重要的作用和意义 [ 15] 。
笔者针对量子场论中重要相互作用理论 ! ! ! 电磁
相互作用最小耦合模型即量子电动力学 ( QED ), 研究
电子 e反电子 e传递电磁相互作用的单圈图重整化传
严格解析计算, 获得 精确 理论计算结果; 进而又对有关 辐射修正 问题作了全面分析与讨论, 获得具
有参考意义的重要结论。
关键词: 量子电动力学; e- e单圈图重整化传播子; 紫外发散; 红外发散; 辐射修正
中图分类号: O365; O230
文献标志码: A
自上世纪初建立量子场论以 来, 量子场 论 [ 1 2] 一 直是描述微观高能粒子相互作用的成功唯像理论与有 效计算方法。采用量子场论作理论计算时, 成熟和完 善的计算方法至今仍然是微扰理论计算方法。采用微 扰理论作低阶 (树图 ) 微扰计算 较为容易, 且不 出现
理 发散量 与物理 有限量 的有效计算分离 (正规化
处理 ), 获得了重整化有限量函数 c ( p ) 的 严格 解 析计算式 ! ! ! 一维积分计算式:
因含有 红外发散 在计算处理中应予消除。为此, 首
先对式 ( 4)和 ( 5)作考察与分析。将 ! c (p )的计算式
表成以下 2个部分:
! ! ! ( p ) = c
(m 2 + p2 ) (
∀ p) ] z2
# +
2p2 ( ∃( p2,
∀ z)
p ) z3 - i∀
+
1 16#2
c
dz
-
4m2 ( (
∀ p ) - 2im ) z2 - 2m 2 ( ( ∃( - m2, z ) - i∀
∀ p ) - 2im ) z3
,
( 12)
引入 3个标准积分:
# J l ( p2, ∀)
图 1 Q ED 中 e- e传播子
利用 Feym an规则, 可表出图 1中传播子函数:
SF ( p ) = - 1 / ( ( ∀ p ) - im - i∀),
S ( 单圈 ) F
(p )
=
SF (p ) ∀
( p ) ∀ SF ( p ),
( 2)
在
S ( 单圈 ) F
(p
)里
圈函数
(p )为 发散量 函数:
! # (p ) =
1 16 #2
c
dz
[ 2(m 2 + p2 ) ( (
∀ p ) - 2im ) ] x - [ 4p 2 ( ( ∀ p ) - 2im ) + ∃(p2, x ) - i∀
(m 2 + p2 ) (
∀ p ) ]x2
# +
2p2 ( ∃(p 2,
∀ x)
p) -
x3 i∀
+
1. 1 c (p )的 有效计算式
在量子电动力学 ( QED )中, 描述电子 e, 反电子 e 与光子 相互作用唯像理论是最小电磁耦合模型 [ 2] ,
其相互作用拉氏量
L
^
I
(
x
)为
# +
M 21 4#2 0
dx
{
[
∃(
x ( 1- x2 - M 2, x )
) -
]∀ [( i∀
∀ p ) - im ] },
( 1)
(p) +
c
(2)
( p ),
c
( 6)
1 [ ln(单 ) ( ∃( p2, x ) - i∀) -
! # (1) (p ) c
=
i 8#2
0
dx
ln(单 ) ( ∃( - M 2, x ) - i∀) ] ∀ ,
[ 2m + i( 1 - x ) ∀ ( ∀ p ) ]
! # (2) (p ) c
!
c
(p)
=
1 16 #2
(
E
1
+
E2 ),
E1 = [ 2(m 2 + p2 ) ( ( ∀ p ) - 2im ) ] J 1 (p 2, ∀)
- [ 4p2 ( ( ∀ p ) - 2im ) + (m 2 + p2 )
( 13) ( 14)
zj (p2, ∀) = %(p2 ) + (- 1)j+ 1
第 30卷第 11期 2007年 11月
重庆大学学报 ( 自然科学版 ) Journal of Chongqing U niversity( N tur l Sc ience Ed ition)
文章编号: 1000 582X ( 2007) 11 0111 06
V o.l 30 No. 11 Nov. 2007
4 % 4矩阵函数的复杂一维积分, 因而对其作 严格 解
析计算仍具有一定复杂与困难, 借鉴文献 [ 9 10] 中计
__
算 N - N单圈图重整化传播子的有效计算处理方法对
c (p )作 严格 解析计算。 1. 2 对 c ( p )的 有效计算式 中 红外发散 的分离
重整化有限量函数 c ( p )的计算式 ( 4)和 ( 5)中,
的各种近似计算理论与方法。
在文献 [ 9 14 ] 中, 已 从 一 个 研 究 侧 面 探 讨 了
F eym an传播子单圈图及其由单圈构成的无穷阶链图
等高阶微扰计算中的重整化 精确 计算问题, 完成了
有关自旋为 0,
1 2
和
1的单圈图和链图传播子函数的
重整化严格解析计算的系列研究工作, 获得 精确 计
∀p) -
im ]
,
(10)
则不难看出: 式 ( 9)中右端前项积分式中包含了 红外
1
# 发散 ! ! ! 为
dx
0
1 x - i∀
类型发散积分; 对此, 应
(2)
予消除 ! ! ! 因而 ! c ( p ) 消除了 红外发散 的计算
式为
! # ( 2) (p ) = c
- m2 4#2
1 0
dx
x3 m 2x 2 -
题。因此对 红外发散 作了正确分离与合理消除, 以 确保最终 精确 计算结果的可靠性与正确性。
1 QED中 e- e单圈重整化有限量 c ( p )的 有效计 算式
! (p ) = ie2∀ (p ),
c
1
! # (p )
=
i 8#2 0
dx {
[
ln(单 )
(∃(p2,
x)
-
i∀) -
ln(单 ) ( ∃(- M 2, x ) - i∀) ] ∀ [ 2m + i (1- x ) ∀ ( ∀ p ) ] }
( 2)
于分离与消除。若将 ! c (p ) 表成:
第 11期
方祯云, 等: QED 中 e- e单圈图重整化传播子的 精确 计算结果
113
! # (2) (p) = c
m2 4#2
1 0
dx
x m2 x2 -
∀ i∀
[(
∀ p) -
im ]
+
# - m 2
4#2
1 0
dx
x3 m2x2 -
∀ [( i∀
∀ [( i∀
∀ p) -
im ] 。
( 11)
2 对圈函数重整化有限量 c ( p )的 严格 解 析计算
2. 1
将!
( p ) 处理成标准积分
c
对 ! c ( p ) 进行整理并拓广成复变函数积分:
! # (p ) = c
1 16 #2