《一元二次方程》单元复习课件
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《一元二次方程》复习课件
1 D. 2
2
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2）
x 6x 7 0
2
配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
解： x2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 另一个根为__. 6
2 2 2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 个根为0.则a的值为（ B ）
2
C. 2a b 2c 0
D. a 2b 2c 0
7. 若关于 x 的一元二次方程 x px 1 0 的一个 实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
4 4. 已知 2 是方程 x c 0 的一个根, 则 c _____.
与5a 是同类项，则m 5或-1
9
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
它的另一个根______. -3/5
4.方程2 x ² -mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= 2或-1 ，另一个根
为 2或1/2
。
5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0, 且 满足 b a c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ). A.1 B. 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(2a b) x 2 (2b c ) x 2c a 0的根, 则a, b, c满足的关系是(A ). A. a b c 0 B. a b c 0
2
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2）
x 6x 7 0
2
配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
解： x2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 另一个根为__. 6
2 2 2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 个根为0.则a的值为（ B ）
2
C. 2a b 2c 0
D. a 2b 2c 0
7. 若关于 x 的一元二次方程 x px 1 0 的一个 实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
4 4. 已知 2 是方程 x c 0 的一个根, 则 c _____.
与5a 是同类项，则m 5或-1
9
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
它的另一个根______. -3/5
4.方程2 x ² -mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= 2或-1 ，另一个根
为 2或1/2
。
5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0, 且 满足 b a c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ). A.1 B. 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(2a b) x 2 (2b c ) x 2c a 0的根, 则a, b, c满足的关系是(A ). A. a b c 0 B. a b c 0
中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
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：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
右边开平方 后，根号前 取“±”。
2021/3/26
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9
2、
：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即
k
8
9
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即
K＜
9 8
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算
2出021△/3/2，6 再由题目给出的《根一元的二次情方况程》确复习定pp△t课的件 情况。
18
审 1. 清题意，弄清题中的已知量和未知量找出
题中的等量关系。
设 2. 恰当地 出未知数，用未知数的代数式表
示未知量。
列 3. 根据题中的等量关系 出方程。
解 4. 方程得出方程的解。
检 5. 验看方程的解是否符合题意。
答 6. 作 《注一元意二次单方位程》。复习 ppt课件
17
练习三
类型一：判别式问题
2021/3/26
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10
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式的积； ②分别设两个因式为0，求解。
2021/3/26
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一元二次方程 复习课件
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程复习
定义和一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一 元 二
解法
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b2 4ac 0,
方程没有实数根
二次三项式 ax2 bx c 是 完全平方式的条件是：b2 4ac 0.
k为何值时，二次三项式 x2 （k 1）x k是完全平方式 .
练习
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是
；
当k
解题步骤
(2)配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
(3)公式法
x b b2 4ac 0
2a
(4)因式分解法 (x a)(x b) 0
阅 读 一元二次方程的解法：（配方法）
例 解方程 x2 6x 7 0
阅 读 一元二次方程的解法：（因式分解法）
例 解方程 （y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一 个整体，分解
因式，化为 a×b=0形式。
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
一元二次方程复习
定义和一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一 元 二
解法
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b2 4ac 0,
方程没有实数根
二次三项式 ax2 bx c 是 完全平方式的条件是：b2 4ac 0.
k为何值时，二次三项式 x2 （k 1）x k是完全平方式 .
练习
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是
；
当k
解题步骤
(2)配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
(3)公式法
x b b2 4ac 0
2a
(4)因式分解法 (x a)(x b) 0
阅 读 一元二次方程的解法：（配方法）
例 解方程 x2 6x 7 0
阅 读 一元二次方程的解法：（因式分解法）
例 解方程 （y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一 个整体，分解
因式，化为 a×b=0形式。
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
一元二次方程复习课件
02 一元二次方程解法
直接开平方法
01
对于形如 $x^2 = a$ （$a geq 0$） 的方程，可以直接开平方得到 $x = sqrt{a}$ 或 $x = -sqrt{a}$。
02
注意：当 $a < 0$ 时，方程无实 数解。
配方法
步骤
移项、配方、开方、求解。
示例
解方程 $x^2 + 4x + 3 = 0$，可以配方为 $(x + 2)^2 = 1$，然后开方得到 $x + 2 = pm 1$，最后求解得 $x_1 = -1, x_2 = -3$。
05 一元二次方程的特殊形式 及解法
完全平方形式及Leabharlann 法1 2 3完全平方形式
一元二次方程可以表示为 $(ax+b)^2=c$ 的形 式，其中 $a, b, c$ 为常数，且 $a neq 0$。
解法
对于完全平方形式的一元二次方程，可以直接开 平方求解。即 $x = pm sqrt{frac{c}{a^2}} frac{b}{a}$。
06 一元二次方程复习策略与 建议
系统梳理知识体系
回顾一元二次方程的定义、标 准形式及相关概念，明确方程 的基本性质。
梳理一元二次方程的解法体系， 包括直接开平方法、配方法、 公式法和因式分解法。
总结一元二次方程与一元一次 方程、二元一次方程组的联系 与区别，形成知识网络。
熟练掌握各种解法技巧
示例
方程 $(x+3)^2=16$ 可以直接开平方求解，得 到 $x = pm 4 - 3$，即 $x_1 = 1, x_2 = -7$。
平方差形式及解法
平方差形式
一元二次方程可以表示为 $(ax+b)(cx+d)=0$ 的形式，其 中 $a, b, c, d$ 为常数，且 $ac neq 0$。
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
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变式练习
11.若关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，则m的值是 －1.
12.一元二次方程x2－5x－7＝0根的情况为 有2个不相等的实 数根，若x1，x2是方程两根，那么x12＋x22＝ 39.
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(2)根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则： x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
3.选择与填空： (1)若关于x的一元二次方程x2－4x＋4＝0，下列说法正确的是 ( A) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
6.【例 1】关于 x 的方程(m－3)xm2－7－x＋9＝0 是一元二次方 程，则 m＝ －3 .
7.【例 2】若关于 x 的一元二次方程(a－2)x2－4x－1＝0 有实 数根，则 a 的取值范围为 a≥－2且a≠2 .
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知识点五：实际问题与一元二次方程 (1)增长率问题、传播问题； (2)面积问题； (3)数字问题； (4)球赛、握手问题； (5)动点问题．
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10.【例5】某品牌相机，原售价每台4 000元，经连续两次降 价后，现售价每台3 240元，已知两次降价的百分率一样． (1)求每次降价的百分率； (2)如果按这个百分率再降价一次，求第三次降价后的售价？
一元二次方程单元复习课件
6.用配方法证明：
关于x的方程
（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0，无 论m取何值，此方程都是一元二次方 程
四：根与系数关系：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两根分别为x1、x2，则
x1
x2
c a
x1
x2
b a
1、用配方法解方程2x²+4x +1 =0，配方后得到的方程
是
销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x，则
可列方程（
100(1-20%)(1+x)2=135.2）
拓展提高：
某超市1月份的营业额为200万元， 第一季度营业额为1000万元，若 平均每月增长率相同，求该增长率。
200+200(1+x)+200(1+x)2=1000
某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈
6000元
由题意得:
(10+x)(500-20x)=6000
解得: x1=5,x2=10 因为为了使顾客得到实惠,所以x=5
答:每千克应涨价5元.
（二）几何问题
方法提示：1)主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的 面积公式是等量关系, 如果图形不规则应割或补成规则图形, 找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出 方程;
解:(1)横条道路的面积为2a平方米,
竖条道路的面积为2b平方米.
b (2)设b=x米,则a=2x米
由题意得:
(x-2)(2x-2)=312
a
解得: x1=14,x2=-11(不合,舍去)
答:此矩形的长与宽各为28米,14米.
拓展提高：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三环节：情境中合作学习
2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫， 根据市场调查，如果以20元/件的价格销售， 每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上 涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种 衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购 进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫 该如何定价？此时该进货多少？
3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有
到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435
次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同
x(x 1) 435
学共有x人，则根据题意，可列方程： 2
.
4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自
己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班
第三环节：情境中合作学习
3、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分 别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动 的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s， 几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 5？ A
8 P
C
QB
第三环节：情境中合作学习
共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题
意，可列方程( B )
A.x(x+1)=1640
B. x(x－1)=1640
C.2x(x+1)=1640
D.x(x－1)=2×1640
第四环节：巩固提高
5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品， 若每件商品售价为x元，则每天可卖出(350－10x)件， 但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商 店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品？每件商 品的售价应定为多少元？
第二章 一元二次方程
回顾与思考
第一环节 课前准备----构建知识结构
1、定义：可化为ax2+bx+c=0(a≠0)的整式方程 ① 配方法
㈠ 问题 情 境 ---
② 公式法 ax2+bx+c=0 2、解法： (a≠0，b2-4ac≥0)的解为：
—元二
x b b2 4ac
次方程
2a
③分解因式法
笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m， (1) 花圃的面积能达到180m2吗？
A
D
(2) 花圃的面积能达到200m2吗？
(3) 花圃的面积能达到250m2吗？
B
C
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此
时，篱笆该怎样围？
(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花
5、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)
第三环节：情境中合作学习
1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔， 根据市场调查，如果以20元/支的价格销售， 每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上 涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种 钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？ 此时店主该进货多少？
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B速 两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀 运动，它们的速度都是1m/s，几秒后
A △PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
P
C
QB
第三环节：情境中合作学习
5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙
的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱
圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，
此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？
第四环节：巩固提高
1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地
上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、
纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩
形场地面积的 11 ，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，
65
则根据题意， 可列方程为 (40
2x)(26
x)
40
26
(1
11 65
)
.
2、由.. 于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得
消费者，在半年之内连续两次降价，从4980元降到3698
元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x，则 根据题意，可列方程为 4980(1－x)2=3698.
第四环节：巩固提高
2、针对自己对本章的理解，每名同学出 一份自命题试卷，要求时间在60分钟左右， 重点突出，难度适宜，并配有答案 .
都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点 A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速 度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船 最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 北
A
东
B
第五环节：课பைடு நூலகம்小结
第六环节：布置作业
1、本节课中涉及的所有题目在课下进行 分类整理，留作资料；
3、应用 ：其关键是能根据题意找出等量关系. ㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.
㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.
第二环节 基础知识重现
1、当m =－1 时，关于x的方程
(m－1) x m21 +5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m ≠±1 时，是一元二次方程；
6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无盖的长 方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒 子的宽和高应为多少？
第四环节：巩固提高
7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接 到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北
移动，距台风中心 20 10 海里的圆形区域(包括边界)
当m =-1 时，是一元一次方程.
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式
是 (x－1)2=3；此方程的根是 x 1 3 .
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为
(D )
A.(x+4)2=7
B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25
D.(x+4)2=－7
第二环节 基础知识重现